В.А.Горбаренко - Физическая оптика (1022087), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Дифракция Фраунгофера на одной щелиДо сих пор рассматривали дифракцию сферической волны,изучая дифракционную картину в точке, лежащей на конечномрасстоянии от препятствия (дифракция Френеля).Фраунгофер в 1821-22 гг. рассмотрел несколько иной типявления - дифракцию в параллельных лучах. Хотя принципиально фраунгоферова дифракция не отличается от рассмотреннойвыше дифракции Френеля, тем не менее подробное рассмотрениеэтого случая является весьма существенным.
Это связано с тем,что, в отличие от сферических волн, математическое описаниемногих важных случаев дифракции Фраунгофера относительнонетрудно и позволяет до конца разобрать поставленную задачу.Кроме того, этот случай весьма важен практически, т.к. он находит применение при рассмотрении многих вопросов, касающихсядействия оптических приборов (дифракционные приборы, оптические инструменты).В случае дифракции впараллельных лучах в выражении (3.2) амплитудаϕвторичных волн одинаковаϕ*Sϕдля любого элемента, не зависит от расстояния до точки наблюдения, и в (3.1) коЭLDL12эффициент пропорциональности С(ϕ) = 1.
Это означаРис.3.13.Рис.3.14ет, что в (3.2) результирующую амплитуду световыхколебаний в точке наблюдения для случая дифракции Фраунгофера можно записать в виде2π(3.21)E = E 0 ∫ cos(ωt −r + α )ds .λИнтеграл в выражении (3.21) во многих, имеющих практическое значение случаях, имеет аналитическое решение.
Оптическая схема для наблюдения дифракции Фраунгофера представлена на рис.3.14. Малый источник света помещается в фокусе лин-49зы L1. А собирается свет от источника с помощью линзы L2 наэкране Э. Между линзами L1` и L2 помещают экран с диафрагмойD. Линза L2 лучи, вышедшие из диафрагмы D под одним углом ϕи лежащие в одной плоскости, собирает в одной точке фокальнойплоскости. Таким образом, на экране Э, расположенном в фокальной плоскости линзы L2, получается пространственное распределение интенсивности света, соответствующее угловомураспределению лучей после диафрагмы D.
Решить задачу дифракции - значит найти это распределение интенсивности в зависимости от размеров и формы препятствий, вызывающих дифракцию. В своем рассмотрении мы ограничимся разбором наиболее простых, и в то же время весьма важных случаев. Большоезначение имеет случай, когда отверстие является длинной щелью.Найдем распреxделение освещенности на экране за щеАDBx лью аналитическимφCпутем.Пусть на узкуюдлинную щель ABшириной b нормальLно падает плоскаясветовая волна, коφторая описываетсявыражением0φ0E=Emcos ωt.За щелью располоРис.3.14.Рис.
3.15женасобирающаялинза, а в ее фокальной плоскости - экран для наблюдения дифракционной картины(рис.3.15). Разобьем волновую поверхность в пределах щели АВна элементарные зоны - узкие щели шириной dx. Для решенияпоставленной задачи нам необходимо написать выражение дляволны, излучаемой каждым элементом щели dx, и проссуммировать действие всех элементов в каждой точке экрана. Амплитудаволны, излучаемой элементом dx, очевидно, пропорциональна его50ширине, т.е. равна kdx. Коэффициент k определяется из предположения, что по направлению ϕ=0 амплитуда волны, излучаемаявсей щелью, равна Е0 (амплитуда волны в точке О - фокусе линзы), т.е.
kb=E0, откуда k=Е0/b. Таким образом, световое колебание в соответствующем участке щели выразится соотношениемE(3.22)dE = 0 dx cosωt .bДля того, чтобы найти действие всей щели в направлении,определяемом углом ϕ, необходимо учесть разность фаз, которуюимеют волны, доходящие от различных элементов щели до точкинаблюдения Оϕ. За плоскостью АС разность фаз лучей остаетсяпостоянной, т.к. линза не вносит никакой дополнительной разности хода. Значит распределение фаз, которое будет иметь местона плоскости АС, определяет соотношение фаз элементарныхволн, собирающихся в точке Оϕ. Из рисунка 3.15 видно, что разность хода между волнами, идущими от элементарной зоны вточке А (край щели) и от зоны в точке D, лежащей на расстоянииx от края щели, есть Δx=x sin ϕ.Световое колебание в точках плоскости АС выразится как2π2πE⎞⎛⎞ E⎛Δ x ⎟ = 0 cos⎜ ωt −dEϕ = 0 dx cos⎜ ωt −x sin ϕ ⎟ dx .
(3.23)⎠⎝⎠⎝λλbbСуммарное поле в точке Оϕ можно найти путем интегрирования (3.23) по всей ширине щелиbE2π⎛⎞Eϕ = ∫ 0 cos⎜ ωt −x sin ϕ ⎟ dx .(3.24)⎝⎠bλ0В (3.24) делаем замену переменныхdz2π.ωt − x sin ϕ = z и dx = −2πλsin ϕПодставив (3.25) в (3.24), получимλ(3.25)51E0Eϕ ==b2πλsin ϕωt − 2πb sinϕλ∫ cos zdz =ωt(3.26)2π⎡ ⎛⎤⎞sin⎜ ωt −b sin ϕ ⎟ − sin ωt ⎥ .⎢2π⎝⎠λ⎦b sin ϕ ⎣E0λВоспользовавшись в (3.26) формулой преобразования разностисинусов двух углов, получим⎛π⎞sin⎜ b sin ϕ ⎟⎝λ⎠π⎛⎞(3.27)Eϕ = E 0cos⎜ ωt − b sin ϕ ⎟ .π⎝⎠λb sin ϕλАмплитуда результирующей волны в направлении, определяемомуглом ϕ, будет иметь вид⎛π⎞sin⎜ b sin ϕ ⎟⎝λ⎠.(3.28)E 0ϕ = E 0πb sin ϕλПри значениях ϕ, удовлетворяющих условиюπ(m=1,2,3,...),(3.29)bsin ϕ = ± m πλамплитуда E0ϕ равна нулю.
Условиеb sin ϕ = ±mλ(3.30)определяет положение минимумов амплитуды света.Главный максимум имеет место при ϕ=0, при этом равенство (3.28) превращается в неопределенность вида 0/0. Раскрываяее по правилу Лопиталя, получим Еϕ=0=Е0.Для определения положения вторичных максимумов приравниваем нулю производную по углу ϕ от (3.28) и получаемтрансцендентное уравнениеπ⎛π⎞b sin ϕ = tg⎜ b sin ϕ ⎟ .(3.31)⎝λ⎠λ52Решая его численными методами или графически, получим условие вторичных максимумовπbπbπbsin ϕ ≅ 143, π,sin ϕ ≅ 2,46π ,sin ϕ ≅ 3,47π , ...илиλλλb sin ϕ ≅ (2m + 1)λ, где m=±1,2,3,...(3.32)2На рис.3.16 показан ход кривой Е0ϕ в зависимости от sinϕ.Учитывая, что интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, получим⎞⎛πsin2 ⎜ b sin ϕ ⎟⎠⎝λ.(3.33)Iϕ = I 02⎛π⎞⎜ b sin ϕ ⎟⎠⎝λIϕEϕ0sin ϕРис.3.16Рис.3.15.sin ρРис.3.17Рис.3.16.Графики распределения амплитуды Е0ϕ и интенсивности Iϕв зависимости от sinϕ имеют вид, представленный на рисунках.3.16 и 3.17.Так как I−ϕ=I+ϕ, то дифракционная картина симметрична относительно центра линзы.3.7.
Характерные области дифракции светаИногда встречается утверждение, что дифракция Фраунгофера отличается от дифракции Френеля тем, что в первом случае53на исследуемый объект падает плоская волна, а во втором - сферическая. Это утверждение, вообще говоря, неверно.Пусть плоская волна с длиной волны λ падает нормально наэкран с отверстием (например, круглым) радиусом r0, а точка наблюдения находится на оси симметрии за экраном на расстоянииL от него.Характер дифракционной картины зависит от того, сколькозон Френеля укладывается в отверстии, или от значения параметра дифракции ρ, равного отношению размера первой зоны Френеля к размеру отверстия r0.
Из (3.15) следует, что радиус первойзоны Френеля равен r 1 = L λ , тогдаLλρ=.(3.34)r0Различают следующие характерные области дифракции света, отвечающие разным значениям ρ:- геометрическая область - ρ<<1;- область дифракции Френеля - ρ∼1;- область дифракции Фраунгофера - ρ>>1.При фиксированном размере отверстия r0 и длине падающейволны λ по мере удаления точки наблюдения от отверстия (т.е. сувеличением L) последовательно проходят указанные области.r02В первой, прилегающей к отверстию области ( L << ), по-λперечное (в плоскости L=const) распределение амплитуды повторяет (исключая малую окрестность вблизи границ геометрической тени) распределение амплитуды на самом отверстии и отвечает приближению геометрической оптики.r02Во второй области ( L ≈ ) поперечное распределение ам-λплитуды существенно искажается.
При этом картина дифракциизависит от того, сколько зон Френеля помещается в отверстии(дифракция Френеля).r02Наконец, в третьей, удаленной области ( L >> ), размерλ54отверстия значительно меньше первой зоны Френеля. Дифракцияпри выполнении этого условия, называется фраунгоферовой. Заметим, что в чистом виде дифракция Фраунгофера наблюдаетсяна бесконечности ( L → ∞ ) - дифракция в параллельных лучах.Рис.3.18На рис.
3.18 представлено распределение интенсивностисвета на экране, расположенном за отверстием в виде тонкогокольца, по мере увеличения расстояния между отверстием и экраном. Можно проследить плавный переход от геометрическойоптики (1-3) через дифракцию Френеля (4-7) к дифракции Фраунгофера (9-11). Число открытых зон уменьшается слева направо.3.8.
Дифракционная решеткаРассмотрим дифракцию Фраунгофера на системе N одинаковых щелей, разделенных равными промежутками. Пусть ширина каждой щели b, а расстояние между центрами соседних щелей (период) d. То есть мы имеем одномерную периодическуюструктуру, называемую дифракционной решеткой.55Пусть дифракционная решетка освещаетсяпараллельнымϕпучком монохроматиϕческого света с длинойволны λ, падающимнормально на нее. ЗаLрешеткой параллельноей располагается собирающая линза L, а в еефокальной плоскости экран Э для наблюдеЭниядифракционной0φ0картины (рис. 3.19).Рис.3.17.Рассмотрим лучи, отРис.3.19клонившиеся в результате дифракции от своего первоначального направления на уголϕ. Каждая щель является источником когерентных волн, которыемогут интерферировать друг с другом. Разность хода между двумя лучами, вышедшими из точек, расположенных на одинаковомрасстоянии от краев двух соседних щелей, равна Δ=dsinϕ, значит,разность фаз между ними есть δ = 2πΔ/λ.Таким образом, после решетки под углом ϕ к нормали идутN когерентных лучей, для которых разность фаз между лучом 1 илучами 2,3,...,N равна δ,2δ,...,(N-1)δ.
Так как все эти лучи падаютна линзу под одним углом ϕ, то после прохождения линзы всеони сходятся в одной точке экрана Оϕ. Очевидно, что эта точкавидна из центра линзы под углом ϕ. Интенсивность света в точкеОϕ может быть найдена как результат интерференции N когерентных лучей с регулярной разностью фаз между ними.Тогда можно использовать формулу (2.32), из которой следует, что интенсивность света в точке Оϕ равнаbd56⎞2 ⎛ πNdNδsinsin ϕ ⎟⎜sin⎝ λ⎠2 =II ϕ = I 0ϕ,0ϕdπ⎛⎞2δsinsin2 ⎜ sin ϕ ⎟⎝λ⎠2где I0ϕ - это интенсивность света, вышедшего из одной щели подуглом ϕ.
Но эта величина была найдена в п.3.6 (формула (3.33)),следовательно,⎛π⎞⎛ πN d⎞sin2 ⎜ b sin ϕ ⎟ sin2 ⎜sin ϕ ⎟⎠⎝ λ⎠⎝λ,(3.35)Iϕ = I 0⋅2dπ⎛⎞⎛π⎞sin2 ⎜ sin ϕ ⎟⎜ b sin ϕ ⎟⎝λ⎠⎝λ⎠здесь I0 - интенсивность света, вышедшего из одной щели под углом ϕ=0.Проанализируем полученное выражение. Его можно представить как произведение двух сомножителей:⎞⎛π⎞⎛ πN dsin2 ⎜ b sin ϕ ⎟sin2 ⎜sin ϕ ⎟⎠⎝λ⎠⎝ λ.I ϕ1 = I 0иI=Iϕ202dπ⎛⎞⎛π⎞sin2 ⎜ sin ϕ ⎟⎜ b sin ϕ ⎟⎝λ⎠⎠⎝λГрафики функций Iϕ1 и Iϕ2 в зависимости от sin ϕ представлены на рис.3.18 а.
и б., а их произведения - на рис.3.18в. Мы видим, что при освещении дифракционной решетки монохроматическим светом, распределение интенсивности света на экране заней представляет из себя ряд максимумов (называемых главными), разделенных практически темными участками. Угловое положение главных максимумов определяется из условияπd(3.36)sin ϕ = m π или d sin ϕ = m λ (m=0,±1,±2,...),λПри выполнении этого условия I=N2I0, т.е.
в направлении углов,удовлетворяющих (3.36), происходит увеличение интенсивностисвета, прошедшего через одну щель, в N2 раз.Между главными максимумами располагается N-1 минимуминтенсивности, угловое положение которых находится из усло257вийπNd⎫sin ϕ = k π ⎪λN −1 N +1λ⎪λ,λ ,... (3.37)⎬ откуда d sin ϕ = ,...,NNN⎛ πd⎞sin⎜ sin ϕ ⎟ ≠ 0⎪⎪⎭⎝λ⎠Угловая ширинаглавногоIφ1максимумаδϕопределяется кака.угловое расстояние между направлениями наsin φминимумы, блиIφ2жайшие к данномумаксимуму.б.Взяв дифференциал от выражения (3.37), легкополучить, чтоsin φλ.δϕ =IφN d cosϕОтсюдавидно,в.что ширина главных максимумовуменьшаетсясsin φростом числа щелей N.Рис.3.18.Рис.3.20583.9. Дифракционные спектрыРассмотрение действия дифракционной решетки показывает, что при большом числе щелей свет, прошедший через решетку, собирается в отдельных, резко ограниченных участках экрана.Положение этих участков, определяемое формулой (3.36), зависит от длины волны λ, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
