В.А.Горбаренко - Физическая оптика (1022087), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Было установлено, что водном метре укладывается 1 650 763,73 длины волны в вакуумеэтой линии атома криптона, и тем самым определен первичныйэталон длины.3. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА3.1. Дифракция света и условия ее наблюденияДифракцией света называется явление огибания световымиволнами препятствий или, другими словами, отклонение волн отпервоначального распространения в средах с резко выраженнымиоптическими неоднородностями, размеры которых сопоставимыс длиной волны.37a) S *ЭЭб) S *AЭРис.3.1.Рис.3.1Если на пути света, испускаемого источником S, поставитьнепрозрачный экран с малым отверстием, то световые волны отклоняются от прямолинейного пути распространения.
Свет, огибая края отверстия, распространяется в область геометрическойтени, и на экране Э (рис. 3.1а) получится более широкое светлоепятно, чем это следует из геометрических построений.Точно так же, если на пути света поместить непрозрачныйкруглый диск малого диаметра (рис.3.1б), то за центром диска вточке А на экране получим светлое пятно, интенсивность которого быстро уменьшается по мере увеличения размера диска. Внегеометрической тени получается система концентрических светлых и темных колец.383.2. Принцип Гюйгенса-ФренеляЯвление дифракции может быть объяснено с помощьюпринципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка, до которойдоходит волновое возмущение в момент времени t, является центром вторичных волн.
Огибающая этих волн дает положениефронта волны в момент времени t+dt (рис.3.2).Пусть на плоскую преграду с отверстием (рис.3.3) падаt+dtет волна с параллельным преСферическаяграде фронтом. По Гюйгенсуволнакаждая точка выделяемого отверстием участка волновогофронта служит центром испусt*Источниккания вторичных волн, которые в однородной и изотропной среде будут сферическими.ОгибающаяПостроив огибающую вторичных волн, мы убеждаемся втом, что за отверстием волнаРис.3.2.проникает в область геометриРис. 3.2ческой тени, огибая края преграды.Однако принципПлоская волнаГюйгенса не дает никакой информации обамплитуде, а следовательно, и об интенсивОгибающаяности волн, распространяющихся в различных направлениях.Рис.
3.3Этот недостаток былРис.3.3.устраненФренелем,дополнившим принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн, которые являются когерентными, т.к.исходят из одного источника. Учет фаз и амплитуд этих вторич-39ных волн позволяет найти амплитуду результирующей волны влюбой точке пространства.С помощью принципа Гюйгенса-Френеля удалось объяснитьцелый ряд дифракционных явлений, а также устранить одно изосновных затруднений волновой теории света - показать, как согласуется волновая природа с наблюдающимся на опыте прямолинейным распространением света.СогласнопринципуnГюйгенса-Френеля каждыйэлемент dS волновой поdSϕверхности служит источниrком вторичной сферическойBволны, амплитуда которойудовлетворяет следующимSусловиям: она пропорциональна площади dS и убывает с расстоянием от источника по закону 1/r. ОтРис.3.4.Рис.3.4каждого участка dS волновой поверхности в точкунаблюдения B (рис.3.4) приходит световое колебаниеrrrE dS(3.1)dE = C (ϕ ) 0 cos ωt − k r + α0 ,rгде (ωt+α0) и E0- фаза и амплитуда колебаний в месте, где расположен элемент dS, r - расстояние от элемента dS до точки B,k=2π/λ - волновое число.
Коэффициент пропорциональности С(ϕ)rубывает при увеличении угла между нормалью к dS (вектором n )rи вектором r , причем С(0)=1, С(π/2)=0.Результирующее световое колебание в точке наблюденияпредставляет собой суперпозицию колебаний, дошедших в точкуВ от всех элементов поверхности S:E(3.2)E = ∫ C (ϕ ) 0 cos(ωt − kr cosϕ + ϕ0 )dS .rSЭта формула является аналитическим выражением принципаГюйгенса-Френеля. Однако вычисления с использованием фор-()40мулы (3.2) в общем случае чрезвычайно трудны и даже для простейших объектов (дифракция на круглом отверстии, прямоугольной щели) требуют использования нетривиальных численных методов.Френель показал, что в ряде случаев нахождение результирующей амплитуды может быть осуществлено простым алгебраическим или геометрическим суммированием.3.3.
Метод зон ФренеляПрименим принцип Гюйгенса-Френеля для нахождения амплитуды светового колебания, возбуждаемого в точке В сферической волной, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S. Для этого разобьем волновую поверхность накольцевые зоны, называемые зонами Френеля, построенные таким образом, что расстояние от краев соседних зон до точки наблюдения В отличается на половину длины волны λ/2 (рис.3.5).M5M4M3M2 b + 3 λ1 2M1b+2λ12b+λ12S*a0bРис.3.5.Рис.3.5Расстояние от краев соседних зон до точки наблюдения будут равны: М1В=b+λ/2, М2В=b+2λ/2 и т.д., в том числе для k-йзоны МkВ=b+kλ/2, где b - расстояние от вершины волновой поверхности О до точки наблюдения В.Из формулы (3.2) следует, что амплитуды световых колебаний пропорциональны площади соответствующего участка волновой поверхности.
Для оценки амплитуды колебаний, создаваемых зонами Френеля, определим площади этих зон.41ϕab+кλ/2rкS*hкbРис.3.6.Рис.3.6Внешняя граница k-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты hk (рис.3.6). Площадь k-го сегмента Sk равна Sk=2πahk, а площадь (k-1)-го, Sk-1=2πahk-1 где а радиус волновой поверхности. Тогда площадь k-й зоны можнозаписать в видеΔSk=Sk − Sk-1.(3.3)Из рис.3.6 видно, что2λ⎞2⎛(3.4)= a − ( a − hk ) = ⎜ b + k ⎟ − ( b + hk ) ,⎝2⎠где rk - радиус k-й зоны Френеля (точнее, ее внешней границы).Так как hk<<a,b то из (3.3) следует:rk2222⎛ λ ⎞2bk λ + k ⎜ ⎟⎝ 2⎠hk ≅,2(a + b)или, для не слишком больших значений kbk λhk ≅.2(a + b)Следовательно,πabSk =kλ ,a+bа из (3.3) и (3.6) получаем, что площадь k-й зоны(3.5)(3.6)42πab(3.7)λ,a+bт.е.
площади зон Френеля не зависят от k и одинаковы для неслишком больших значений k.Таким образом, зоны Френеля излучают вторичные волны спримерно одинаковой амплитудой.Рассмотрим действия зон в точке наблюдения. Обозначимамплитуду волны, дошедшей до точки наблюдения от центральной зоны как E1, от следующей - как E2 и т.д.Поскольку колебания, приходящие в точку наблюдения B отразных зон, будут иметь в среднем разность хода λ/2 и, следовательно, разность фаз π, то результирующее колебание Е получим,суммируя величины Е1, Е2, Е3 и т.д. с учетом разных знаков этихвеличин у четных и нечетных зон:Е = Е1-Е2+Е2-Е3+Е4- ...
= Е1-(Е2-Е3)-(Е4-Е5)- ... (3.8)Амплитуда дошедших до точки световых колебаний от каждой иззон убывает с увеличением номера зоны как из-за увеличения угла между нормалью к волновой поверхности и направлением наточку наблюдения, так и из-за увеличения расстояния (b + kλ/2)до точки B. Тогда можно записать, чтоЕ1 > Е2 > Е3 > Е4 > Е5 >... .(3.9)Из (3.8) и (3.9) следует, чтоЕ < Е1 .(3.10)Перепишем ряд (3.8) в видеE ⎛EE ⎞ ⎛EE ⎞E = 1 + ⎜ 1 − E2 + 3 ⎟ + ⎜ 3 − E4 + 5 ⎟ + ...(3.11)2 ⎝22⎠ ⎝ 22⎠Так как величина+ E k +1E,(3.12)E k ≅ k −12то из (3.11) и (3.12) получаетсяE(3.13)E ≅ 1.2Таким образом, действие всей волновой поверхности эквивалентно половине действия центральной зоны Е1.Из (3.4) можно получить выражение для радиусов зон ФреΔS k =43неляabkλ .(3.14)a+bДля плоской волны, устремляя a → ∞ , получимrk = bk λ .(3.15)В частности, для a=b=1 м и λ=0.5 мкм (зеленый свет) расчетдает r1∼0.5 мм, ΔS<1 мм2 .Следовательно, свет от источника к точке наблюдения распространяется как бы в пределах очень узкого прямого канала луча.
Мы видим, что широко используемое в геометрической оптике понятие луча вытекает из теории дифракции.rk =3.4. Метод графического сложения амплитудРазобьем волновую поверхность на равные по площадикольцевые подзоны, аналогичные зонам Френеля, но гораздоменьше по ширине. Колебание, создаваемое в точке наблюдениякаждой такой подзоной, можно изобразить в виде вектора, длинакоторого равна амплитуде колебаний, а угол, образуемый вектором с направлением, принятым за начало отсчета, дает начальную фазу колебаний.
Колебание, создаваемое в точке В любой изтаких подзон, имеет приблизительно такую же амплитуду, как иколебание, создаваемое предшествующей подзоной, но будет отставать от него на практически одинаковую для всех соседнихподзон величину. На рис.3.7а изображена векторная диаграмма,получающаяся при сложении колебаний для действия одной центральной зоны, а на рис.3.7б - для действия всей волновой поверхности.Если бы при переходе от зоны к зоне амплитуда оставаласьпостоянной, конец последнего из векторов совпадал бы с началомпервого вектора. В действительности, амплитуда слабо убывает ивекторы образуют не замкнутую фигуру, а ломанную спираль.Если ширину кольцевых зон устремить к нулю, векторная диаграмма примет вид спирали, закручивающейся к центру С(рис.3.7б).
Фазы колебаний в точках 0 и 1 отличаются на π, т.е.участок 0-1 соответствует первой зоне Френеля. Вектор, прове-44денный из точки 0 в точку1, изображает колебание,возбуждаемое в точке Вэтой зоной (рис.3.8а). ВекCтор 1-2 (рис.3.8б) изображает колебание, возбуждаемое второй зоной Фре2неля. Колебания от первой00и второй зон находятся вaбпротивофазе, векторы 0-1Рис.3.7.Рис.3.7и 1-2 направлены в противоположныестороны(рис.3.8а,б).
Колебание, возбуждаемое всей волновой поверхностью, изобразится вектором 0С (рис.3.8в). Видно, что амплитудав этом случае равна половине амплитуды, создаваемой первойзоной. Ранее этот же результат был получен алгебраически. Нарис.3.8г вектор 0Р изображает колебание, создаваемое внутренней половиной первой зоны, а вектор Р-1 - внешней половинойпервой зоны.3.5. Простейшие случаи дифракции Френеля3.5.1. Дифракция Френеля от круглого отверстияНа пути сферической волны, распространяющейся от источ11C1CCC220000а)б)в)г)Рис.3.8Рис.3.8.P45ника S, поместим непрозрачный экран с малым отверстием MNрадиуса r0, как показано на рис.3 9.Mr0*S0abNЭРис.3.9Рис.3.9Если расстояния a и b удовлетворяют условию (3.14), то отверстие оставит открытым k первых зон Френеляr02 ⎛ 1 1⎞k = ⎜ + ⎟.(3.16)λ ⎝ a b⎠Амплитуда колебаний в точке В будет равнаE=E1-E2+E3-E4+...±Ek.(3.17)Переписывая формулу (3.17) в виде (3.11), можно показать,чтоE E(3.18)E= 1± k .22Знак "−" берется для нечетных зон, знак "+" - для четных.Из (3.18) видно, что если в отверстии помещается четноеколичество зон, то в точке В будет минимум интенсивности света, а при нечетном количестве зон - в точке В будет максимуминтенсивности.
Изменение расстояния b приведет к изменениюосвещенности в точке В: она будет то темной, то светлой.Изобразим графически распределение интенсивности светадля дифракции на круглом отверстии. Точка В - центр экрана, x расстояние от центра дифракционной картины (рис.3.10). Длярис.3.10а k - нечетное, 3.10б k - четное.46IBIxа)Bxб)Рис. 3.10Рис.3.10.Для точек на экране, смещенных относительно В, будут попеременно выполняться условия максимума и минимума, и дифракционная картина будет иметь вид чередующихся темных исветлых колец.Рис. 3.11На рис. 3.11 представлена дифракционная картина, полученная на круглом отверстии по мере уменьшения расстояния от отверстия до экрана.
При этом число открытых зон Френеля увеличивается слева направо с 2 до 6. Видно, что размер дифракционной картины уменьшается, приближаясь к диаметру отверстия.3.5.2. Дифракция Френеля от круглого дискаПоместим теперь между точечным источником света и точкой наблюдения В непрозрачный круглый диск радиусом r0 так,чтобы он закрывал k первых зон Френеля (рис.3.12).47b+(к+ 1) λ*Sr0a0/2b+кλ/2bBЭРис.3.11.Рис.3.12Число закрытых зон Френеля находится из (3.16).Путем алгебраического суммирования для результирующейамплитуды в точке В получимE=Ek+1-Ek+2+Ek+3-...=EE ⎞⎛E= k +1 + ⎜ k +1 − E k +2 + k +3 ⎟ + ...(3.19)⎝ 222 ⎠Выражения в скобках близки к нулю.
ОтсюдаEE ≅ k +1 > 0 .(3.20)2IТаким образом, в центре экрана за непрозрачным диском должно быть светлое пятно, окруженное кольцевыми зонами чередующегося света и тени.График распределения интенсивности в дифракционной картине в зависимости от расстояния до точки Вxпредставлен на рис.3.13, а сама диРис.3.12.фракционная картина – на рис. 3.1б.Рис.3.13Предположение о том, что в центре тени должно находиться светлое пятно, было выдвинуто Пуассоном как доказательство несостоятельности теории Френеляпри ее рассмотрении в Парижской академии. Однако Араго произвел соответствующий опыт и показал, что выводы Пуассонасоответствуют действительности. С тех пор светлое пятно в центре тени называется пятном Пуассона.483.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
