Osnovi_teorii(прост учебник) (1021136), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Параметр и показатели качествадвухальтернативного обнаружениядискретизированной выборки сигналаВ предыдущих главах было показано, что параметр обнаружениясигнала (квадратичный, линейный) на фоне внутреннего шума представляет собой отношение энергии сигнала к спектральной мощности этого шумана входе линейного тракта обработки (по мощности и напряжению). Приобработке сигналов на фоне внешних коррелированных помех отношениесигнал/помеха по мощности находится как отношение величины квадратаматематического ожидания весовой суммы ξ или ξн при наличии сигнала ипомехи к величине дисперсии этой же самой весовой суммы (она не изменяется в зависимости от наличия или отсутствия сигнала). Параметры обнаружения оптимальных обнаружителей, приведенных на рис.
8.4–8.6,одинаковы при одинаковых условиях на входе. Поэтому расчет проведемG Gдля схемы, показанной на рис. 8.6, при наличии сигнала Mсп ( y ) = x , так чтоG GG G GM сп (ξн ) = M сп ( y T ) r / q = x T ϕ−1 x / q = q 2 / q = q .Учитывая единичное значение дисперсии помехи, получаем квадратичный параметр обнаружения q2, а линейный – q. Формально введенная383Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехникивыше величина q2 приобретает смысл параметра обнаружения (отношеG G Gния сигнал/помеха по мощности). Наряду с приведенным q 2 = x T ϕ−1 xсправедливы следующие выражения для q2 и q:G G G GG G G Gq 2 = x T r = r T x , q = x T rн = rнT x = M сп (ξ н ) .(8.33)Произвольная весовая сумма ξн или ξ, будучи линейной комбинациейнормально распределенных величин yi, подчиняется нормальному законураспределения.
Так как Mп (ξн) = 0, Mп ( ξн2 ) = 1, Mcп (ξн) = q, Mcп [(ξн – q)2] = 1,выражения плотностей вероятности нормированной весовой суммы приотсутствии и наличии сигнала имеют следующий вид:2pп (ξ н ) = (1/ 2π )e ξн / 2 ,pсп (ξ н ) = (1/ 2π )e − ( ξн − q )2/2.(8.34)Кривые, полученные по соотношениям (8.34), и уровень порога ξ0нпредставлены на рис. 8.7. Заштрихованные на рисунке площади, соответствующие интегралам от указанных плотностей вероятности в областиξн > ξ0н, определяют условные вероятности ложной тревоги Pл и правильного обнаружения P0.
При интегрировании используют табулированныедля u ≥ 0 значения интеграла вероятностиuΨ (u ) = (2 / 2π ) ∫ e −ξ2/2dξ ;(8.35)0при этом ψ (∞) = 1. Доопределяя для u < 0 значения функции ψ (–u) = –ψ (u),зависимость ψ (u) можно пояснить графиком, приведенным на рис. 8.8.рп (ξн)рсп (ξн)Pл0ξ0нP0qξнРис. 8.7. Графики плотностей вероятности нормированнойвесовой суммы при отсутствии и наличии сигнала384Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов1ψ0,50–3 –2–112u3–0,5–1Рис. 8.8.
Закон изменения интеграла вероятностиРл1Рл′Рл′0,5Рл′′ < Рл′Рл′′ < Рл′0q0qРис. 8.9. Кривые условных вероятностей правильного обнаруженияИмея в виду условие наличия сигнала, заменим интеграл суммой интегралов:ξ0н−ξ2 /2∫e−∞qξ2 /2dξ = ∫ e−∞ξ0н2dξ+ ∫ e−ξ /2dξ .qПри отсутствии сигнала положим в приведенном соотношении q = 0.Замечая, что ψ (–∞) / 2 = –1/2, находим условные вероятности правильногообнаружения и ложной тревоги:Р0 =ξ0н∫pсп (ξн )dξн = 0,5 + 0,5ψ(q −ξ0н ),(8.36)−∞385Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехникиРл =ξ0н∫pп (ξн )d ξн = 0,5 − 0,5ψ (ξ0н ).(8.37)−∞Кривые условных вероятностей правильного обнаружения приведены на рис. 8.9.
Каждая из кривых относится к фиксированному уровню порога ξ0н, а значит, к фиксированному уровню условной вероятности ложной тревоги Рл. Величина порогового уровня ξ0н, показанная на рис. 8.6,устанавливается в соответствии с выражением (8.37) по заданному значению Рл = Рл0 . Величина порогового уровня ξ0 = qξ0н (Рл), приведенная насхеме рис.
8.5, зависит, как уже отмечалось, и от Рл0 , и от q.8.7. Обнаружение непрерывного сигналас известными параметрами на фонегауссовской коррелированной помехи8.7.1. Переход от дискретизированныхреализаций к непрерывнымРаспространим алгоритм оптимального обнаружения дискретизированных сигналов на непрерывные сигналы. Для этого перейдем от одинарной нумерации элементов yi принимаемой выборки к двойной ylj , относянижний индекс к номеру канала обработки (антенного канала), а верхний –к номеру элемента в данном канале.
Новая нумерация поясняется рис. 8.10.1yi = ylj------0jL ∆tt------μyk = yμλ-----L ∆t0Mt∆tРис. 8.10. Принцип перехода от дискретногок непрерывному сигналу386Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналовОдинарные суммы с m = M L, слагаемые в выражениях (8.31) и (8.33),перейдут при этом в двойные с L и M, слагаемые в каждой сумме:L Mξ= ∑∑l =1 j =1ylj rjl ,L Mq = ∑∑xlj rjl .2(8.38)l =1 j =1Сомножители ylj и xlj сводятся к значениям функций yj (t) и xj (t)в дискретные моменты времени t = t1 (l = 1, 2, …, L).
Элементы весовоговектора rjl , зависящие от КМП, требуют специального обсуждения.Наряду с другими своими составляющими реальная помеха включаетобычно шум с равномерным распределением спектральной плотностимощности N0, Вт/Гц. По аналогии с белым светом его называют белымшумом. Равномерность распределения спектральной плотности мощностиобеспечивается для основной модели белого шума (модели первого вида)во всем диапазоне частот 0 ≤ f < ∞. При дискретизации Котельникова полоса частот ограничивается пределами 0 < f < fmax, а интервал ∆t междудискретами составляет ∆t = 1/2 fmax. Дисперсия дискретизированного напряжения суммарной помехи на единичном сопротивлении с учетом составляющих небелого шума определяется выражением22σ2 = σнб+ N0 fmax = σнб+ N0 /2Δ t .(8.39)Не увязанные с интервалом дискретизации ∆t составляющие небелогошума учтены в формуле (8.39) отдельно. При вычислении весовых коэффициентов rjl они нормируются пропорционально 1 / σ2.
В процессе предельного перехода ∆t → 0 они уменьшаются примерно пропорционально ∆t,а значит, имеют нулевые предельные значения. Пределы же отношенийrjl / ∆t при ∆t → 0 оказываются конечными:lim rjl /Δ t = rj (t) .Δ t→0(8.40)Определяемые соотношением (8.40) функции rj (t) (j = 1, 2 … М)принято называть весовыми функциями каналов. Заменяя в выражении(8.38) значение rjl на эквивалентное ему rj (tl) ∆t, после предельного перехода получим выражения для весового интеграла и параметра обнаружения:∞ M∞G Gξ = ∫ ∑ y j (t )rj (t )dt = ∫ yT (t )r (t )dt,(8.41)−∞ j=1−∞387Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники2q =∞ M∞GGT∫ ∑ x j (t)rj (t)dt = ∫ x (t)r (t)dt.−∞ j=1(8.42)−∞GВ приведенных выражениях y(t) = ||yi (t)|| – вектор-столбец функций,Gописывающих принимаемые каналами непрерывные колебания; x(t) = ||xi (t)|| –Gвектор-столбец функций, описывающих ожидаемый сигнал; r(t) = ||ri (t)|| –вектор-столбец весовых функций (весовой вектор). Весовые функции учитывают возможное непостоянство оптимальных весов принимаемых колебанийдвоякого рода: в различные моменты времени и для различных каналов.
Число слагаемых в суммах (8.41), (8.42) соответствует числу каналов М.8.7.2. Интегрально-матричное уравнениевесового вектораG G GGОптимальный весовой вектор r =ϕ−1x дискретизированной выборки yявляется решением матричного уравненияGG Gϕ r = x.(8.43)Каждая его скалярная составляющая ri является решением системы скалярных уравненийm∑ ϕik rk = xi ,(i = 1, 2,..., m).(8.44)k =1Введя в соотношение (8.44) двойную нумерацию, с учетом последующегоперехода к пределу, заменимxi на xlj = x j (tl ), rk на rμλ = rμ (tλ )Δ t.(8.45)Корреляционный момент φik i- и k-го элементов дискретной выборкипомехи заменим, в свою очередь, на равное ему значение взаимной корреляционной функции φjμ (tl, tλ) канальных напряжений j-го канала в моментвремени tl и μ-го канала в момент времени tλ:ϕik = M п [ y j (tl ) yμ (tλ )] =ϕ jμ (tl , tλ ) .(8.46)Одинарную сумму (8.44) по k от 1 до m = LM заменим, наконец,двойной по μ от 1 до М и по λ от 1 до L.
Подставив выражения (8.45)и (8.46) в (8.44), получимL M∑∑ϕjμ (tl ,tλ )rμ (tλ )Δtλ = xj (tl ).λ=1 μ=1388Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналовОбозначая tl = t, tλ = s и переходя к пределу ∆s = tλ → 0, получаемсистему j = 1, 2 … М скалярных интегральных уравнений∞ Mϕ jμ (t , s ) rμ ( s ) ds = x j (t ).∫∑μ =1(8.47)−∞Для упрощения записи этой системы введем матрицу взаимных корреляционных функций канальных помеховых напряженийGϕ (t , s ) = ϕ jμ (t , s ) .(8.48)GGGЕе произведение ϕ(t, s) r (s) на вектор-столбец r(s) = ||rμ (s)|| также являетсявектор-столбцом, j-й элемент которого сводится к подынтегральному выражению формулы (8.47).
Система интегральных уравнений (8.47) сводится к одному интегрально-матричному уравнению∞GGGϕ(t,s)r(s)ds=x(t ).∫(8.49)−∞Левая и правая части уравнения (8.49) определяют вектор-столбцы одинаковой размерности М. Это уравнение разбивается по строкам, каждая изкоторых соответствует своему скалярному уравнению (8.47).8.7.3. Основные результаты теории многоканальногообнаружения непрерывных сигналов и примерыее использованияGДля определения весового вектора r(s) достаточно решить интегрально-матричное уравнение (8.49). Ядром этого уравнения является матGрица взаимных корреляционных функций помехи ϕ(t, s) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
