Osnovi_teorii(прост учебник) (1021136), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Условие оптимизацииl ( y ) = l0, то выбор решения l376Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналовдвухальтернативного обнаружения в этом случае принимает следующийвид:G1,еслиl(y) ≥ l0 ,⎧Gl(8.17)Aопт ( y ) = ⎨G0,еслиl(y)l.<0⎩Для выработки оптимального решения после приема многомернойGGреализации y вычисляется отношение правдоподобия l ( y ) , которое сравнивается с пороговым уровнем (порогом) l0.
Если оно ниже порога, принимается решение «нет», в противном случае – решение «да». Правило (8.17)Gостается справедливым при переходе к непрерывной реализации y (t) засчет сокращения интервала дискретизации ∆t (рис. 8.2):G1,еслиl[y(t )] ≥ l0 ,⎧Gl(8.18)Aопт [ y (t )] = ⎨G0,еслиl[y(t)]l.<0⎩GGGВеличину l [ y (t )] = lim [ pсп ( y ) / pп ( y )], являющуюся функционалом приΔt → 0нимаемой реализации, условимся называть также отношением правдоподобия.На вход обнаружителя (рис. 8.3) поступает принимаемая реализацияGGy или y (t), содержащая сигнал и помеху или одну помеху.
По этой реалиGGзации в ВУ вычисляется отношение правдоподобия l ( y ) или l [ y (t)]. Оносравнивается в ПУ с некоторым порогом l0. В зависимости от превышенияили непревышения порога принимается решение о наличии или отсутствиисигнала. Такое решение обеспечивает: минимумы среднего риска r и сумi + l0 Pл; максимум разностного весовогомарного весового критерия P0критерия P0 – l0 Pл.GyВУGl ( y)lA(yG) =⎧1, l ≥l0⎨⎩0, l <l0ПУl0Рис.
8.3. Структурная схема обнаружителя:ВУ – вычислительное устройство; ПУ – пороговое устройствоСтруктура обнаружителя не зависит от выбираемого значения l0. Незнание определяющих его величин (8.12) не влияет на его структуру. От выбора l0 здесь зависит условная вероятность ложной тревоги Pл: чем ниже l0,377Раздел III.
Теоретические основы радиолокационной системотехникитем выше Pл. Значение же l0 может выбираться по допустимому уровню Рл0условной вероятности ложной тревоги согласно критерию Неймана – Пирсона. Так, структурная схема обработки, приведенная на рис. 8.3, обеспечивает при этом максимально возможное значение P0 (минимально возi ) из всех возможных схем обработки с выбранным допустимымможное P0уровнем условной вероятности ложной тревоги Pл.8.6. Оптимальное обнаружение дискретногосигнала с известными параметрами на фонегауссовской коррелированной помехи8.6.1. Постановка задачи. Модели сигнала и помехиЗадача обнаружения сигнала с полностью известными параметрами –одна из наиболее важных задач в теории обработки РЛ сигналов.
Абстрагирование от реальных случайных параметров сигнала позволяет получатьрезультаты в наглядной форме, выявлять существенные особенности обработки принимаемых колебаний при обнаружении и измерении. С некоторыми изменениями результаты решения распространяются на ситуацииGналичия случайных параметров сигнала α с известными и неизвестнымизаконами распределений.Итак, полагаем, что сигнал характеризуется неслучайным векторGстолбцом x = ||xi||, размерность которого определяется общим числом временны́х дискретов во всех антенных каналах. Сигнал может отсутствоватьили присутствовать, аддитивно накладываясь в последнем случае на помеху.
В результате принимается выборкаGG Gy = Ax + n ,(8.19)Gгде неизвестное значение А равно 0 или 1. Требуется дать зависящее от yрешение lA = 0 или lA = 1 либо (в трехальтернативном случае) – соответствующее решение «не знаю».Помеха характеризуется при этом случайным вектор-столбцомGn = ||ni|| своих выборочных значений. Математическое ожидание каждогоиз элементов выборки помехи полагается равным нулю: М (ni) = 0. МатеGGматическое ожидание вектор-столбца n также равно нулю: М ( n ) = 0.Считаем, что каждый из элементов выборки помехи ni распределен по га221уссовскому (нормальному) закону p (n) =e− n / 2σ .2πσ378Глава 8.
Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналовЗдесь σ2 = M {[n – M (n)]}2 = M (n2) = n 2 – дисперсия помехи. Помехав общем случае считается нестационарной: различные элементы выборкипомехи могут иметь различные дисперсии σ i2 .Различные элементы выборки ni и nk могут быть взаимозависимы,так что их центрированный корреляционный момент, называемый такжековариацией,ϕik = M {[ni − M(ni )][nk − M(nk )]} = M(ni nk )в общем случае не равен нулю.
Как и в предыдущих главах, степень взаимной корреляции будем характеризовать коэффициентом корреляцииэлементов помеховой выборкиρik = M (ni nk ) / σi σk ,(8.20)где величина ρik изменяется от +1 до –1.Значения ρik равны ±1 , когда величины ni и nk пропорциональны(очень жесткая связь, так что произведение ni nk всегда сохраняет знак).Если же значения ni и nk некоррелированны, то положительные и отрицательные знаки произведений ni nk встречаются одинаково часто. Математические ожидания таких произведений, а следовательно, значения ρik обращаются в нуль. Совокупность корреляционных моментов (ковариаций)элементов помеховой выборки образует прямоугольную таблицу, названную ранее КМП:Gϕ= ϕik = ρik σi σk .(8.21)В силу переместительного свойства закона умножения ni nk = nk niGGимеем ρik = ρki, а ρki = ρik. Поэтому КМП является симметричной, т. е.
ϕT = ϕ .Диагональными элементами КМП оказываются дисперсии элементов выGборки: φii = σ i2 (ρii = 1). Важной характеристикой КМП ϕ является ее опреGGделитель (детерминант), обозначаемый | ϕ | или det ϕ . При отличном от нуGля его значении существует ОКМП ϕ −1 . Последняя определяется так, чтоGGGпроизведение матриц ϕϕ−1 сводится к единичной матрице I .
Зная опредеGGлитель | ϕ | и матрицу ϕ −1 , можно найти плотность вероятности гауссовскогоG(нормального) закона распределения помехового вектор-столбца n , т. е. совместного закона распределения всех его элементов ni:G −1/ 2GG G Gp ( n ) = (2 π) − m / 2 ϕexp( − n T ϕ −1n / 2)илиG −1/ 2GG G Gpп ( y ) = (2 π) − m / 2 ϕexp( − y T ϕ −1 y / 2).(8.22)379Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехникиИндекс «п» в формуле (8.22) соответствует наличию одной помехи,а матричное произведение в нем представляет собой квадратичную формуGвыборки y .8.6.2. Алгоритмы оптимального обнаружениядискретизированного сигнала с известнымипараметрамиВ соответствии с результатами параграфа 8.5 оптимальные алгоритмы двухальтернативного обнаружения сведем к сравнению с порогом логарифма отношения правдоподобияGGln l = ln pсп ( y) − ln pп ( y) ,(8.23)являющегося некоторой монотонно нарастающей функцией самого отношения правдоподобия l.Будем считать, чтоGG Gpсп ( y) = pп ( y − x ) .(8.24)Подставляя выражения (8.22) и (8.24) в (8.23), получаемG G G G GG G GG G G G G GG G Gln l = − ( y − x )T ϕ−1 ( y − x ) / 2 + y T ϕ−1 y / 2 = ( y T ϕ−1 x + x T ϕ−1 y ) / 2 − x T ϕ−1 x / 2.Поскольку произвольный скаляр в результате транспонирования неG G G G G Gизменяется, то y T ϕ−1 x = ( y T ϕ−1 x )T .
Учитывая правило транспонированияпроизведения матриц (abc)T = cTbTaT, а также симметрию матрицыGGG G G G G Gϕ−1 = (ϕ−1 )T , найдем y T ϕ−1 x = x T ϕ−1 y .Выражение ln l представим окончательно в виде двух взаимно эквивалентных выражений:ln l =ξ − q 2 / 2 = q (ξн − q / 2).(8.25)Величина ξ в формуле (8.25) определяется одним из двух выражений:илиВ свою очередь,380G G Gξ = x T ϕ−1 y(8.26)G G Gξ = y T ϕ−1 x .(8.27)G G Gq 2 = x T ϕ −1 x ,(8.28)ξн = ξ / q .(8.29)Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналовТак как величины ln l, ξ = ln l + q2 / 2, ξн = ln l /q + q / 2 связаны монотонно нарастающими зависимостями с отношением правдоподобия l, токаждая из них может быть использована для сравнения с соответствующимпорогом обнаружении.
Отсюда приходим к ряду вариантов структурныхсхем оптимальных двухальтернативных обнаружителей, представленныхна рис. 8.4–8.6. Подача на элементы этих схем скалярных, векторныхи матричных величин показана с помощью соответственно одинарных,двойных и зачерненных стрелок. По структурной схеме рис. 8.4 проводятся два вида обработки m-элементного вектор-столбца принимаемых колеGбаний y . Первоначальная обработка сводится к его линейному преобразованиюG G G(8.30)η = ϕ −1 y ,зависящему только от структуры m2-элементной КМП.G Gξ = x TηG G Gϕ−1 y = ηGy×ПУ×GxGϕ−1lA = (1, 0)ξ0Рис.
8.4. Структурная схема многоканального обнаружителяGyξПУ×GrlA = (1, 0)ξ0Рис. 8.5. Структурная схема многоканального обнаружителяс весовым векторомGyξнПУ×G Gr =r / qlA = (1, 0)ξ0нРис. 8.6. Структурная схема многоканального обнаружителяс нормировкой381Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехникиПоследующая обработка сводится к образованию скалярной весовойGT G mсуммы элементов преобразованного вектор-столбца ξ = x η= ∑ xi ηi с весоi =1вым коэффициентом xi, соответствующим составляющим полезного сигнала и не зависящим от КМП. Небезынтересно, что линейное преобразование(8.30) декоррелирует преобразованный помеховый вектор-столбец по отношению к принимаемому, т. е. условное математическое ожидание матGGричного произведения ηy T при наличии только помехи сводится к едиGGGG G GGGничной матрице M п (η y T ) = ϕ−1M п ( y y T ) = ϕ−1ϕ= I .GСоставляющие вектор-столбца η нельзя, однако, считать взаимнодекоррелированными, поскольку КМПGGGG GGGGG GM п (ηηT ) = ϕ−1M п ( yy T )(ϕ−1 )T = ϕ−1ϕϕ−1 = ϕ−1не сводится в общем случае к единичной и обратна входной.Показанная на структурной схеме рис.
8.4 обработка сильно осложGняется из-за необходимости учета m2-элементной матрицы ϕ −1 . Такая обработка может быть оправдана лишь в случае одновременного обнаружения большого числа разновидностей сигналов. При этом может оказатьсявыгодным выполнить единожды сложную операцию матричной обработкиG G Gη = ϕ−1 y , с тем чтобы после нее проводить множество более простых опеG G mраций весовой обработки ξ = x T η = ∑ xi ηi с коэффициентом, не зависящимi =1от характера помеховых колебаний. В структурной схеме рис.
8.5 предусмотрена только операция m-элементной весовой обработкиG G mξ = y T r = ∑ yi ri(8.31)i =1с коэффициентами ri, являющимися составляющими весового вектораGr = ||ri||. Весовой векторG G Gr = ϕ −1 x(8.32)GGзависит как от КМП ϕ , так и от ожидаемого сигнала x , но содержитвсего m элементов. Случайная величина весовой суммы ξ в отсутствиесигнала имеет нулевое математическое ожидание и дисперсиюσ2 = Mп (ξ2) = Mп (ξξ).Подставляя в произведение ξξ взаимно эквивалентные выражения(8.26), (8.27), получаем382Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналовGGG G G G G G G G G G Gσ 2 = x T ϕ−1M п ( yy T )ϕ−1 x = x T ϕ−1ϕϕ−1 x = x T ϕ−1 x = q 2 .Это означает, что выходной уровень помехиG в схемах рис.
8.4, 8.5 зависитGкак от КМП ϕ , так и от вектора сигнала x . В соответствии с этим уровнемдолжен подбираться и уровень порога ξ0, обеспечивающий заданную условную вероятность ложной тревоги Рл.От указанного недостатка свободна структурная схема обработки,приведенная на рис. 8.6, отличающаяся изменением уровня порога и весоGвых коэффициентов в q раз. Иначе, вместо весового вектора r , используG G G G GG Gется нормированный весовой вектор rн = r / q = ϕ −1 x / x T ϕ −1 x . Последний неизменяется при увеличении интенсивности ожидаемого сигнала в произвольное число раз. Вместо весовой суммы получается при этом нормироmванная весовая сумма ξн = ∑ yi rнi = ξ / q , которая в отсутствие сигнала имеi =12σн = M п (ξп2 ) = M п (ξ 2 ) / q =1 .ет единичную дисперсиюПроведенный в процессе теоретического исследования переходGк нормированному весовому вектору rн учитывает реально используемуюв РЛ приемниках АРУ по выходному уровню помехи.8.6.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
