Osnovi_teorii(прост учебник) (1021136), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Теоретические основы радиолокационной системотехникиМногоканальный обнаружитель выдает оценку дискретного параметраG G ⎧1(«да»),GlA ⎡⎣ y (t ) | α, λ ⎤⎦ = ⎨⎩0(«нет»),(8.2)которую будем считать однозначно зависящей от принимаемой реализацииGy ( t ) или, как говорят, являющейся функционалом этой реализации (функционал – число, зависящее от функции). Когда ничего другого, кроме выражения (8.2) не выдается, обнаружение называют двухальтернативным. Когдамогут выдаваться еще ответы «не знаю» (на промежуточных этапах обнаружения), решение становится трехальтернативным «да», «нет», «не знаю».Оптимизации двухальтернативного (трехальтернативного) обнаружения часто предшествует дискретизация принимаемых колебаний какGфункций времени.
Это позволяет: а) перейти от случайных функций y ( t )Gк случайным многомерным величинам y ; б) ввести плотности вероятностипринимаемых реализаций как функции многих переменных. Кроме того,временнáя дискретизация приобретает самостоятельное значение при переходе к цифровой обработке сигналов. Пусть каждая из скалярных функций yi (t) включает L временны́х дискретов (рис. 8.2).
Общее число дискретов при М-канальном приеме, i = 1, 2, …, М, составит m = LM. Решениепринимается в этом случае по m-мерной строке (столбцу):GyТ = y1 y2 .... ym .y1y2y1 (t)(8.3)yL = y1 (tL)y3tyМ (t)tТ∆t = 1 / 2fmaxyМ (t)tРис. 8.2. Эпюры, поясняющие принцип дискретизации сигнала372Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналовРешающий функционал (8.2) переходит в решающую функцию mскалярных переменных:⎧1,G G Gl(8.4)A ⎡⎣ y | α, λ ⎤⎦ = ⎨0.⎩При достаточном числе временны́х дискретов от m-мерной их выGGборки y можно вернуться к непрерывной функции y ( t ) , пользуясь, например, теоремой Котельникова.
Одновременно от решающей функции этихдискретов (8.4) необходимо перейти к функционалу (8.2). В дальнейшемG Gуказание в формулах (8.2), (8.4) на фиксацию параметров α , λ будем вряде случаев опускать.8.3. Основные показатели эффективностидвухальтернативного обнаруженияЗа счет воздействия помех и флюктуации сигнала случайные решеA0 ) могутния двухальтернативного обнаружителя lA = 1,0 (события lA1 , lне соответствовать условиям наличия или отсутствия выбранной целиA = 1,0 (событиям A1, A0).
При этом возможны четыре ситуации совмещения случайных событий «решения» и «условия» для выделенного разрешаемого объема:lA1 A1 – правильное обнаружение;lA0 A1 – пропуск цели;lA1 A0 – ложная тревога;lA0 A0 – правильное необнаружение.Возможными показателями эффективности обнаружения можно было бы считать вероятности совмещения событий P ( lAi Ak ), i, k = 0, 1.
Каждая из вероятностей совмещения сводится к произведению условной вероA A ) на вероятность условия P (Ak), т. е.ятности решения P( likP( lAi Ak ) = P( lAi Ak ) P( Ak ).(8.5)Вероятности условий наличия P (A1) или отсутствия P (A0) цели, называемые априорными (доопытными), обычно неизвестны. Условные жеA A ) могут быть оценены экспериментально иливероятности решений P( likрасчетом. Поэтому они, а не вероятности ситуаций совмещения, используются в качестве показателей эффективности обнаружения.373Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехникиПри наличии цели вводят, в частности, условные вероятности правильного обнаруженияP0 = P( lA1 A1 )(8.6)и пропуска целиi = P( mPA0 A1 ) = 1 − P0 .0(8.7)При отсутствии цели вводят условную вероятность ложной тревогиPл = P( lA1 A0 )(8.8)и значительно реже – правильного необнаружения)(i =P mPA0 A0 =1− Pл .л(8.9)Более общим показателем является средний риск ошибок обнаружения – усредненная «плата» за ошибки, ее математическое ожиданиеr = M (r).
Для двухальтернативного обнаружения цели()()mA + r P lr = M (r ) = r01P AA1 A0 .0 110(8.10)Здесь r01 и r10 – стоимости пропуска и ложной тревоги, учитывающие стеA0 A1 и lA1 A0. Подразумевается нулепень важности ошибочных решений lвая плата за правильные решения r00 = r11 = 0. Условная вероятность совокупной ложной тревоги из n разрешающих объемов Pлn ≈ n Pл, откудаPл ≈ Pлn /n, в связи с чем допустимыми обычно считают малые значенияPл = 10–4–10–10.8.4. Критерии оптимальности обнаруженияЗадачей оптимизации обнаружения является понижение условныхi и Pл согласно каким-то определенвероятностей ошибочных решений P0ным критериям.
Требования понижения обеих условных вероятностейi и Pл противоречивы. Всегда можно добиться значения Pi = 0.ошибок P00GДостаточно принимать решение о наличии цели для всех реализаций y , нозначение Pл возрастает тогда до единицы. Можно добиться значения Pл = 0,i возрастаетпринимая всегда решение об отсутствии цели. В этом случае P0до 1. Подобные крайности предотвращаются при использовании критерия374Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналовминимума среднего риска r = min, достаточно универсального критерияоптимальности обнаружения.
На его основе можно получить и другие критерии оптимальности. Поясним это на примере двухальтернативного обнаружения. Используя формулу (8.5), приводим выражение среднего риска(8.10) к видуi + r P ( A ) Р = r P ( A )( Pi + l Р ).r = r01P ( A1 ) P0100л01100 л(8.11)Здесь l0 – некоторый весовой множитель, объединяющий четыре упоминавшиеся величины,l0 = r10 P ( A0 ) r01P ( A1 ) .(8.12)Поскольку r01 P (A1) > 0, получим весовой критерий оптимальностиобнаруженияi + l Р = min.P(8.13)00 лi =1 − Р и Pi + l Р =1 − ( Р − l Р ) видоизменим записьПосле замен P0000 л00 лвесового критерия:Р0 − l0 Рл = max .(8.14)Ограничивая условную вероятность ложной тревоги Pл ≤ Рл0 сверху,приходим к критерию Неймана – Пирсона.
Согласно этому критерию, оптимальный обнаружитель обеспечивает наибольшую условную вероятностьправильного обнаружения P0 = P0 max из всех обнаружителей, у которых условная вероятность ложной тревоги не больше заданной вероятности Рл0 .8.5. Методика оптимизации решенийпри двухальтернативном обнаруженииОптимизация состоит в выборе наиболее целесообразного правилапринятия решений «да», «нет» с позиций весового критерия (8.13) илиGG(8.14). Плотности вероятности принимаемых реализаций pсп ( y) и pп ( y)при условиях наличия сигнала и помехи (индекс «сп») и одной помехи(индекс «п») полагаем известными. Задаемся вначале неоптимальнойGв общем случае решающей функцией A( y ).
Условные вероятности P0 и Pлмогут быть представлены тогда выражениямиР0 =∫G( y)lA( yG ) p ( yG )dyG, Р =спл∫G( y)lA( yG ) p ( yG )dyG.п375Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехникиИнтегрирование ведется в этих выражениях по многомерному проG Gстранству y; dy – элемент интегрирования (при дискретизации по КотельGGникову dy = dy , dy ,..., dy ) . Функция lA( y ) принимает всего два значения:12m0 или 1. Приведенные выражения аналогичны поэтому выражению вероятности попадания одномерной величины y в некоторый интервал y1 < y < y2:P( y1 < y < y2 ) =y2∞y1−∞∫ p( y)dy = ∫ lA( y) p( y)dy.GЗдесь множитель lA( y ) , равный единице (при y1 < y < y2) или нулю (приy < y1 и y > y2), определяет область интегрирования.
Одномерная областьGв общем случае заменяется многомерной, в которой lA( y ) = 1,0.Вычисляя взвешенную разность приведенных выражений, имеемР0 − l0 Рл =∫GGG GlA( y )[ рсп ( y ) − l0 pп ( y )]dy.( y)ИначеР0 − l0 Рл =GGG G∫ lA( y)[l ( y) − l0 ] pп ( y)dy.(8.15)( y)ЗдесьGGGl ( y) = pсп ( y ) / pп ( y)(8.16)– отношение правдоподобия, т. е. отношение плотностей вероятностиодной и той же реализации принимаемых колебаний при двух условиях:наличия сигнала и помехи и наличия только помехи. Отношение (8.16) характеризует правдоподобность гипотез о присутствии и отсутствии сигнала, возрастая в первом и убывая во втором случае.Основополагающую роль отношения правдоподобия выявим изформального исследования соотношения (8.15).
Поскольку плотность веGроятности рп ( y ) неотрицательна, наибольшее значение взвешенной разности P0 – l0 Pл достигается при наибольших величинах произведенийGGGlA( y )[l ( y ) − l0 ] для каждого возможного y . Значения произведений для возGGGA( y) = 1 и lA( y) = 0 равны соответственно l ( y ) – l0 > 0можных значений lGGи 0. Если l ( y ) > l0, то бóльшим является значение l ( y ) – l0, достигаемое приGGA( y) = 1, предпочтительном в данном случае. Если l ( y ) < l0, торешении lGA( y) = 0. Еслибóльшим является значение 0, достигаемое при решении lGGA( y) несущественен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
