Аналитическая геометрия 1-14 (1016732), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнениеплоскости.Замечание 2. Везде, где сказано найти уравнение прямой в пространстве, надо найтиканоническое уравнение прямой в пространстве.16АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)(1-й курс, 1-й семестр)(2012/2013 учебный год)Типовой расчетВариант 9Задача 1. Даны точки A, B, C, D:A = 10, −1, 22,1)2)3)4)5)6)НайтиНайтиНайтиНайтиНайтиНайтиB = 11, 1, 42,C = 13, −1, 52,D = 12, 1, −42.объем VABCD пирамиды ABCD.площадь SABC грани ABC.уравнение прямой AB (прямая L).длину ребра AB.уравнение плоскости ABC (плоскость Q).точку D1 , симметричную точке D относительно плоскости ABC.Задача 2.
Дана плоскость Q:Q = {2x + y −√5 z = 0}.Найти уравнение плоскости Q1 , проходящей через ось Oz и образующей угол 60◦ с плоскостью Q.Задача 3. Дана точка P и дана прямая L:P = 11, 2, 82,L=x−1yz==2−11.Найти проекцию P1 точки P на прямую L.Задача 4. Дана точка P и даны плоскости Q1 , Q2 :P = 11, 2, 42,Q1 = {2x − y + 3z − 6 = 0},Q2 = {x + 2y − z + 3 = 0}.1) Найти уравнение прямой L пересечения плоскостей Q1 и Q2 .2) Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точку P и через прямую L.Задача 5. Даны точки A, B и дано геометрическое место точек M :A = 10, −2, 02,B = 10, 2, 02,Найти уравнение ГМТ M .17M = {P ∈ Ω | AP + BP = 5}.Задача 6. Кривая Γ задана своим уравнением в полярных координатах:r=5.1 − 2 cos ϕОпределить тип кривой Γ.Задача 7.
Даны точки P1 , P2 и дана поверхность второго порядка Σ:P1 = 11, −4, 02,P2 = 13, −3, 22,Σ = {(x − 1)2 + (y + 1)2 + 2z 2 = 4}.1) Определить тип поверхности Σ.2) Изобразить схематически поверхность Σ.3) Изобразить сечения поверхности Σ координатными плоскостями, по возможности соблюдая масштаб. Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности Σ лежат точки P1 и P2 .5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью Σ имеет прямая, проходящаячерез точки P1 и P2 (прямая L).Задача 8.
Дана точка S и дана сфера Σ:S = 15, 0, 02,Σ = {x2 + y 2 + z 2 = 9}.Найти уравнение конической поверхности Σ1 , вершина которой находится в точке S, аобразующие касаются сферы Σ.Замечание 1. Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнениеплоскости.Замечание 2. Везде, где сказано найти уравнение прямой в пространстве, надо найтиканоническое уравнение прямой в пространстве.18АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)(1-й курс, 1-й семестр)(2012/2013 учебный год)Типовой расчетВариант 10Задача 1. Даны точки A, B, C, D:A = 12, −1, −12,1)2)3)4)5)6)НайтиНайтиНайтиНайтиНайтиНайтиB = 1−1, −1, 22,C = 1−1, 2, −12,D = 1−1, −1, −12.объем VABCD пирамиды ABCD.площадь SABC грани ABC.уравнение прямой AB (прямая L).длину ребра AB.уравнение плоскости ABC (плоскость Q).точку D1 , симметричную точке D относительно прямой AC (прямая L1 ).Задача 2. Дана точка P и даны плоскости Q1 , Q2 :P = 12, 0, −32,Q1 = {3x − y + 2z − 7 = 0},Q2 = {x + 3y − 2z − 3 = 0}.1) Найти уравнение прямой L пересечения плоскостей Q1 и Q2 .2) Найти уравнение прямой L1 , проходящей через точку P параллельно прямой LЗадача 3.
Дана прямая L и дана плоскость Q:L = {3x − y + 1 = 0, 3x + 2z − 2 = 0},Q = {2x + y + z − 4 = 0}.Найти угол ∠(L, Q) между прямой L и плоскостью Q.Задача 4. Дана точка P , дана прямая L и дана плоскость Q:y−1z+1x==, Q = {x + 2y + 3z − 29 = 0}.P = 11, 5, 102, L =2121) Найти точку P1 пересечения прямой L и плоскости Q.2) Найти уравнение прямой L1 , проходящей через точки P и P1 .Задача 5.
Даны точки A, B и дано геометрическое место точек M :A = 10, −10, 02,B = 10, 10, 02,Найти уравнение ГМТ M .19M = {P ∈ Ω | |AP − BP | = 12}.Задача 6. Кривая Γ задана своим уравнением в полярных координатах:r=3.2 − 3 cos ϕОпределить тип кривой Γ.Задача 7. Даны точки P1 , P2 и дана поверхность второго порядка Σ:P1 = 11, 2, 32,P2 = 10, −3, 22,Σ = {36z = 4x2 + 9(y + 3)2 }.1) Определить тип поверхности Σ.2) Изобразить схематически поверхность Σ.3) Изобразить сечения поверхности Σ координатными плоскостями, по возможности соблюдая масштаб.
Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности Σ лежат точки P1 и P2 .5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью Σ имеет прямая, проходящаячерез точки P1 и P2 (прямая L).Задача 8. Дана сфера Σ:Σ = {(x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 9}.Найти уравнение конической поверхности Σ1 , вершина которой находится в начале координат O, а образующие касаются сферы Σ.Замечание 1. Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнениеплоскости.Замечание 2. Везде, где сказано найти уравнение прямой в пространстве, надо найтиканоническое уравнение прямой в пространстве.20АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)(1-й курс, 1-й семестр)(2012/2013 учебный год)Типовой расчетВариант 11Задача 1.
Даны точки A, B, C, D:A = 12, −2, 12,B = 11, −1, −12,C = 12, 0, −12,D = 1−4, 4, 12.1) Найти объем VABCD пирамиды ABCD.2) Найти площадь SABC грани ABC.3) Найти уравнение прямой AB (прямая L).4) Найти длину ребра AB.5) Найти уравнение плоскости ABC (плоскость Q).6) Найти уравнение прямой L2 , симметричной прямой AD (прямая L1 ) относительно плоскости ABC.Задача 2.
Даны прямые L1 , L2 :yzx==,L1 =2−12L2 = {x − 2 = 0, y − 2 = 0}.1) Найти уравнение плоскости Q1 , проходящей через прямую L1 параллельно прямой L2 .2) Найти уравнение плоскости Q2 , проходящей через прямую L2 параллельно прямой L1 .3) Найти расстояние d(Q1 , Q2 ) между плоскостями Q1 и Q2 .Задача 3. Даны прямые L1 , L2 :L1 = {x − y + z − 4 = 0, 2x + y − 2z + 5 = 0},L2 = {x + y + z − 4 = 0, 2x + 3y − z − 6 = 0}.Найти угол ∠(L1 , L2 ) между прямыми L1 и L2 .Задача 4.
Дана точка P и дана прямая L:P = 11, 0, −12,L=y−1zx+1==12−3.Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точку P перпендикулярно прямой L.Задача 5. Дана точка A, дана плоскость Q и дано геометрическое место точек M :A = 11, 2, 32,Q = {x + y + z = 0},M = {P ∈ Ω | точка P является серединойнекоторого отрезка AB, конец B которого лежит в плоскости Q}.Найти уравнение ГМТ M .21Задача 6. Кривая Γ задана своим уравнением в полярных координатах:r=4.3 − cos ϕОпределить тип кривой Γ.Задача 7. Даны точки P1 , P2 и дана поверхность второго порядка Σ:P1 = 10, 0, 22,P2 = 11, 2, 32,Σ = {2(2 − z) = x2 + 2y 2 }.1) Определить тип поверхности Σ.2) Изобразить схематически поверхность Σ.3) Изобразить сечения поверхности Σ координатными плоскостями, по возможности соблюдая масштаб.
Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности Σ лежат точки P1 и P2 .5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью Σ имеет прямая, проходящаячерез точки P1 и P2 (прямая L).Задача 8. Дана точка S и дан эллипсоид Σ:S = 13, 0, −12,Σ=x2 y 2 z 2++=1 .623Найти уравнение конической поверхности Σ1 , вершина которой находится в точке S, аобразующие касаются эллипсоида Σ.Замечание 1. Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнениеплоскости.Замечание 2.
Везде, где сказано найти уравнение прямой в пространстве, надо найтиканоническое уравнение прямой в пространстве.22АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)(1-й курс, 1-й семестр)(2012/2013 учебный год)Типовой расчетВариант 12Задача 1. Даны точки A, B, C, D:A = 10, 5, 12,1)2)3)4)5)6)НайтиНайтиНайтиНайтиНайтиНайтиB = 11, −2, −12,C = 11, 1, 22,D = 1−7, −7, 82.объем VABCD пирамиды ABCD.площадь SABC грани ABC.уравнение прямой AB (прямая L).длину ребра AB.уравнение плоскости ABC (плоскость Q).проекцию L2 прямой AD (прямая L1 ) на плоскость ABC.Задача 2. Даны прямые L1 , L2 :yz−1x−3= =,L1 =212L2 =x+1y−1z==212.1) Доказать, что прямые L1 и L2 параллельны.2) Найти уравнение плоскости Q, проходящей через прямые L1 и L2 .Задача 3. Дана точка P и дана прямая L:P = 13, 0, 42,L = {2x − y + 1 = 0, 2x − z = 0}.Найти расстояние d(P, L) от точки P до прямой L.Задача 4.
Дана прямая L и дана плоскость Q:L = {x + 2y + 3z − 13 = 0, 3x + y + 4z − 19 = 0},Q = {5x − 3y + z = 0}.1) Найти точку P пересечения прямой L и плоскости Q.2) Найти угол ∠(L, Q) между прямой L и плоскостью Q.Задача 5. Даны точки A, B и дано геометрическое место точек M :A = 1−2, 0, 02,B = 12, 0, 02,Найти уравнение ГМТ M .23M = {P ∈ Ω | AP 2 + BP 2 = 16}.Задача 6. Кривая Γ задана своим уравнением в полярных координатах:r=1.1 − cos ϕОпределить тип кривой Γ.Задача 7. Даны точки P1 , P2 и дана поверхность второго порядка Σ:P1 = 10, 0, 12,P2 = 13, −2, 12,Σ = {2x2 + 4y 2 = (z − 1)2 }.1) Определить тип поверхности Σ.2) Изобразить схематически поверхность Σ.3) Изобразить сечения поверхности Σ координатными плоскостями, по возможности соблюдая масштаб.
Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности Σ лежат точки P1 и P2 .5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью Σ имеет прямая, проходящаячерез точки P1 и P2 (прямая L).Задача 8.
Дан вектор a и дана окружность Γ:a = 12, −3, 42,Γ = {x2 + y 2 = 9, z = 1}.Найти уравнение цилиндрической поверхности Σ, образующие которой параллельны вектору a, а направляющей служит окружность Γ.Замечание 1. Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнениеплоскости.Замечание 2. Везде, где сказано найти уравнение прямой в пространстве, надо найтиканоническое уравнение прямой в пространстве.24АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)(1-й курс, 1-й семестр)(2012/2013 учебный год)Типовой расчетВариант 13Задача 1. Даны точки A, B, C, D:A = 11, −2, 02,1)2)3)4)5)6)НайтиНайтиНайтиНайтиНайтиНайтиB = 1−2, 4, −22,C = 10, 7, 42,D = 15, 6, −32.объем VABCD пирамиды ABCD.площадь SABC грани ABC.уравнение прямой AB (прямая L).длину ребра AB.уравнение плоскости ABC (плоскость Q).проекцию D1 точки D на плоскость ABC.Задача 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
