Аналитическая геометрия 1-14 (1016732), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Даны прямые L1 и L2 :L1 = {2x − y − 7 = 0, 2x − z + 5 = 0},L2 = {3x − 2y + 8 = 0, 3x − z = 0}.1) Доказать, что прямые L1 и L2 скрещиваются.2) Найти угол ∠(L1 , L2 ) между прямыми L1 и L2 .Задача 4. Дана прямая L и дана плоскость Q:x+1y+1z−3L===,2−13Q = {2x + y − z = 0}.1) Доказать, что прямая L параллельна плоскости Q.2) Найти расстояние d(L, Q) между прямой L и плоскостью Q.Задача 5. Пусть Σ — куб, центр которого находится в начале координат O, грани параллельны координатным плоскостям, а длина ребра равна 2.
Дано геометрическое местоточек M :M = {P ∈ Ω | сумма квадратов расстояний от точки Pдо плоскостей граней куба Σ равна 8}.Найти уравнение ГМТ M .9Задача 6. Кривая Γ задана своим уравнением в полярных координатах:r=5.3 − 4 cos ϕОпределить тип кривой Γ.Задача 7. Даны точки P1 , P2 и дана поверхность второго порядка Σ:P1 = 10, 0, 22,P2 = 10, −1, 22,Σ = {x2 + (y + 1)2 + 2z 2 = 4}.1) Определить тип поверхности Σ.2) Изобразить схематически поверхность Σ.3) Изобразить сечения поверхности Σ координатными плоскостями, по возможности соблюдая масштаб. Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности Σ лежат точки P1 и P2 .5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью Σ имеет прямая, проходящаячерез точки P1 и P2 (прямая L).Задача 8.
Дана плоскость Q и дана поверхность Σ:Q = {x + y + z = 0},Σ = {x2 − y 2 = z}.Найти уравнение цилиндрической поверхности Σ1 , образующие которой перпендикулярныплоскости Q, а направляющей служит кривая Γ = Σ ∩ Q.Замечание 1. Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнениеплоскости.Замечание 2. Везде, где сказано найти уравнение прямой в пространстве, надо найтиканоническое уравнение прямой в пространстве.10АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)(1-й курс, 1-й семестр)(2012/2013 учебный год)Типовой расчетВариант 6Задача 1. Даны точки A, B, C, D:A = 1−3, 2, 02,1)2)3)4)5)6)НайтиНайтиНайтиНайтиНайтиНайтиB = 11, 1, 12,C = 14, 4, 12,D = 14, 1, 72.объем VABCD пирамиды ABCD.площадь SABC грани ABC.уравнение прямой AB (прямая L).длину ребра AB.уравнение плоскости ABC (плоскость Q).проекцию L2 прямой AD (прямая L1 ) на плоскость ABC.Задача 2. Даны прямые L1 , L2 :yz+1x−1= =,L1 =342L2 =x−1y − 1/2z−1==650.Найти уравнение плоскости Q, проходящей через прямую L1 параллельно прямой L2 .Задача 3.
Даны плоскости Q1 , Q2 , Q3 :Q1 = {3x − 4y = 0},Q2 = {y = 0},Q3 = {z = 0}.Найти уравнение прямой L, проходящей через начало координат O и образующей одинаковые углы с плоскостями Q1 , Q2 и Q3 .Задача 4. Дана точка P и дана прямая L:P = 1−1, 2, −32,L = {x − 2 = 0, y − z − 1 = 0}.1) Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точку P перпендикулярно прямой L.2) Найти точку P1 пересечения прямой L и плоскости Q.Задача 5. Даны точки A, B и дано геометрическое место точек M :A = 11, 2, −32,B = 13, 2, 12,Найти уравнение ГМТ M .11M = {P ∈ Ω | AP = BP }.Задача 6.
Кривая Γ задана своим уравнением в полярных координатах:r=1.3 − 3 cos ϕОпределить тип кривой Γ.Задача 7. Даны точки P1 , P2 и дана поверхность второго порядка Σ:P1 = 10, 2, 02,P2 = 10, 0, 22,Σ = {2(1 − z) = 2x2 + y 2 }.1) Определить тип поверхности Σ.2) Изобразить схематически поверхность Σ.3) Изобразить сечения поверхности Σ координатными плоскостями, по возможности соблюдая масштаб. Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности Σ лежат точки P1 и P2 .5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью Σ имеет прямая, проходящаячерез точки P1 и P2 (прямая L).Задача 8.
Дана плоскость Q и дана сфера Σ:Q = {x + y − 2z − 5 = 0},Σ = {x2 + y 2 + z 2 = 1}.Найти уравнение цилиндрической поверхности Σ1 , образующие которой перпендикулярныплоскости Q и касаются сферы Σ.Замечание 1. Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнениеплоскости.Замечание 2. Везде, где сказано найти уравнение прямой в пространстве, надо найтиканоническое уравнение прямой в пространстве.12АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)(1-й курс, 1-й семестр)(2012/2013 учебный год)Типовой расчетВариант 7Задача 1.
Даны точки A, B, C, D:A = 1−1, 1, −12,1)2)3)4)5)6)НайтиНайтиНайтиНайтиНайтиНайтиB = 11, 3, 02,C = 10, −1, 12,D = 19, −3, −72.объем VABCD пирамиды ABCD.площадь SABC грани ABC.уравнение прямой AB (прямая L).длину ребра AB.уравнение плоскости ABC (плоскость Q).проекцию D1 точки D на плоскость ABC.Задача 2. Дана точка P и даны плоскости Q1 , Q2 :P = 11, 1, 12,Q1 = {2x + 2y − z − 1 = 0},Q2 = {x − 2y + 2z + 3 = 0}.Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точку P и образующей угол 60◦ с плоскостями Q1 и Q2 .Задача 3. Даны прямые L1 , L2 и дана плоскость Q:yzx−2L1 ===, L2 = {3x + 2y + z − 6 = 0, 2x + y + z − 4 = 0},1−20Q = {x + y + z − 3 = 0}.1) Найти точку P1 пересечения прямой L1 и плоскости Q.2) Найти точку P2 пересечения прямой L2 и плоскости Q.3) Найти уравнение прямой L, проходящей через точки P1 и P2 .Задача 4.
Дана точка P и дана прямая L:P = 13, 4, 02,L = {2x + y − z + 4 = 0, x + 2y + z = 0}.Найти уравнение прямой L1 , проходящей через точку P параллельно прямой L.Задача 5. Даны точки A, B и дано геометрическое место точек M :A = 10, 0, −42,B = 10, 0, 42,Найти уравнение ГМТ M .13M = {P ∈ Ω | AP + BP = 10}.Задача 6. Кривая Γ задана своим уравнением в полярных координатах:r=144.13 − 5 cos ϕОпределить тип кривой Γ.Задача 7. Даны точки P1 , P2 и дана поверхность второго порядка Σ:P1 = 10, 1, 02,P2 = 1−1, 3, 42,Σ = {2x2 + 4(y − 1)2 − z 2 = 0}.1) Определить тип поверхности Σ.2) Изобразить схематически поверхность Σ.3) Изобразить сечения поверхности Σ координатными плоскостями, по возможности соблюдая масштаб. Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности Σ лежат точки P1 и P2 .5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью Σ имеет прямая, проходящаячерез точки P1 и P2 (прямая L).Задача 8.
Дана прямая L и дана сфера Σ:L = {x = 2t − 3, y = −t + 7, z = −2t + 5},Σ = {x2 + y 2 + z 2 = 1}.Найти уравнение цилиндрической поверхности Σ1 , образующие которой параллельны прямой L и касаются сферы Σ.Замечание 1. Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнениеплоскости.Замечание 2. Везде, где сказано найти уравнение прямой в пространстве, надо найтиканоническое уравнение прямой в пространстве.14АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)(1-й курс, 1-й семестр)(2012/2013 учебный год)Типовой расчетВариант 8Задача 1.
Даны точки A, B, C, D:A = 13, 2, 32,1)2)3)4)5)6)НайтиНайтиНайтиНайтиНайтиНайтиB = 11, 4, 32,C = 11, 2, 52,D = 11, 2, 32.объем VABCD пирамиды ABCD.площадь SABC грани ABC.уравнение прямой AB (прямая L).длину ребра AB.уравнение плоскости ABC (плоскость Q).проекцию D1 точки D на прямую AC (прямая L1 ).Задача 2. Дана точка P :P = 12, 3, −42.Найти уравнение перпендикуляра L, опущенного из точки P на ось Oy.Задача 3. Даны точки P1 , P2 и даны плоскости Q1 , Q2 :P1 = 1−1, 1, 02,Q1 = {3x + y − z + 2 = 0},P2 = 13, 3, 32,Q2 = {x + 3y − z + 2 = 0}.1) Найти уравнение прямой L пересечения плоскостей Q1 и Q2 .2) Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точки P1 и P2 параллельно прямой L.Задача 4. Даны точки P1 , P2 и дана прямая L:P1 = 1−1, −1, −12,P2 = 10, −2, −22,L = {x − 2z + 1 = 0, y + 2z − 1 = 0}.1) Найти уравнение прямой L1 , проходящей через точки P1 и P2 .2) Найти угол ∠(L1 , L) между прямыми L1 и L.Задача 5.
Даны точки A, B и дано геометрическое место точек M :A = 10, −5, 02,B = 10, 5, 02,Найти уравнение ГМТ M .15M = {P ∈ Ω | |AP − BP | = 6}.Задача 6. Кривая Γ задана своим уравнением в полярных координатах:r=18.4 − 5 cos ϕОпределить тип кривой Γ.Задача 7. Даны точки P1 , P2 и дана поверхность второго порядка Σ:P1 = 10, 1, 02,P2 = 13, 1, 42,Σ = {9x2 + 4(y − 1)2 − 36z 2 = 36}.1) Определить тип поверхности Σ.2) Изобразить схематически поверхность Σ.3) Изобразить сечения поверхности Σ координатными плоскостями, по возможности соблюдая масштаб. Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности Σ лежат точки P1 и P2 .5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью Σ имеет прямая, проходящаячерез точки P1 и P2 (прямая L).Задача 8. Дана точка A и дана прямая L:A = 12, −1, 12,L = {x = 3t + 1, y = −2t − 2, z = t + 2}.Найти уравнение круговой цилиндрической поверхности Σ, проходящей через точку A,если осью этой поверхности является прямая L.Замечание 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
