Аналитическая геометрия 1-14 (1016732)
Текст из файла
М. Н. ПРОХОРОВ, С. В. КОСТИНАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯТИПОВОЙ РАСЧЕТ(2012/2013 учебный год)(осенний семестр)МОСКВА2012АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)(1-й курс, 1-й семестр)(2012/2013 учебный год)Типовой расчетВариант 1Задача 1. Даны точки A, B, C, D:A = 11, 0, −12,1)2)3)4)5)6)НайтиНайтиНайтиНайтиНайтиНайтиB = 10, 2, −32,C = 12, 4, −22,D = 1−2, 6, 22.объем VABCD пирамиды ABCD.площадь SABC грани ABC.уравнение прямой AB (прямая L).длину ребра AB.уравнение плоскости ABC (плоскость Q).проекцию D1 точки D на плоскость ABC.Задача 2. Дана точка P и дана прямая L:y+1z+1x−2==.P = 13, 4, 02, L =123Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точку P и через прямую L.Задача 3.
Даны прямые L1 и L2 :x−2y+1z+3L1 ===,122L2 = {4x − y − z − 4 = 0, 2x − y − 1 = 0}.1) Доказать, что прямые L1 и L2 параллельны.2) Найти расстояние d(L1 , L2 ) между прямыми L1 и L2 .Задача 4. Дана прямая L и дана плоскость Q:L = {x + z − 1 = 0, y − 2 = 0},Q = {y − z = 0}.1) Найти точку P пересечения прямой L и плоскости Q.2) Найти угол ∠(L, Q) между прямой L и плоскостью Q.Задача 5. Дана точка A и дано геометрическое место точек M :A = 13, −5, 72,M = {P ∈ Ω | точка P является серединойнекоторого отрезка AB, конец B которого лежит в координатной плоскости Oxy}.Найти уравнение ГМТ M .1Задача 6. Кривая Γ задана своим уравнением в полярных координатах:r=5.1 − cos ϕ12Определить тип кривой Γ.Задача 7.
Даны точки P1 , P2 и дана поверхность второго порядка Σ:P1 = 11, −1, 12,P2 = 13, 1, 12,Σ = (x − 1)2 + (y + 1)2 + 2z 2 = 4 .1) Определить тип поверхности Σ.2) Изобразить схематически поверхность Σ.3) Изобразить сечения поверхности Σ координатными плоскостями, по возможности соблюдая масштаб. Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности Σ лежат точки P1 и P2 .5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью Σ имеет прямая, проходящаячерез точки P1 и P2 (прямая L).Задача 8. Дана точка S и дана сфера Σ:S = 15, 0, 02,Σ = {x2 + y 2 + z 2 = 9}.Найти уравнение конической поверхности Σ1 , вершина которой находится в точке S, аобразующие касаются сферы Σ.Замечание 1.
Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнениеплоскости.Замечание 2. Везде, где сказано найти уравнение прямой в пространстве, надо найтиканоническое уравнение прямой в пространстве.2АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)(1-й курс, 1-й семестр)(2012/2013 учебный год)Типовой расчетВариант 2Задача 1. Даны точки A, B, C, D:A = 13, 1, 12,1)2)3)4)5)6)НайтиНайтиНайтиНайтиНайтиНайтиB = 11, 3, 12,C = 11, 1, 32,D = 11, 2, 32.объем VABCD пирамиды ABCD.площадь SABC грани ABC.уравнение прямой AB (прямая L).длину ребра AB.уравнение плоскости ABC (плоскость Q).проекцию D1 точки D на прямую AC (прямая L1 ).Задача 2. Даны точки P1 , P2 и дана прямая L:P1 = 12, 1, 52,P2 = 11, 2, 52,L=y−3z+4x+1==100.Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точки P1 и P2 и образующей угол 45◦ спрямой L.Задача 3. Дана точка P и дана прямая L:P = 1−4, 3, 32,L = {x − 2y + z − 4 = 0, 2x + y − z = 0}.Найти уравнение прямой L1 , проходящей через точку P параллельно прямой L.Задача 4.
Даны прямые L1 и L2 :x+3y+1z+1L1 ===,121L2 = {x − 3z + 4 = 0, y − z − 2 = 0}.1) Доказать, что прямые L1 и L2 пересекаются.2) Найти точку P пересечения прямых L1 и L2 .3) Найти уравнение плоскости Q, проходящей через прямые L1 и L2 .Задача 5. Дана точка A и дано геометрическое место точек M :A = 1−3, −5, 92,M = {P ∈ Ω | точка P является серединойнекоторого отрезка AB, конец B которого лежит в координатной плоскости Oyz}.Найти уравнение ГМТ M .3Задача 6. Кривая Γ задана своим уравнением в полярных координатах:r=5.1 − cos ϕОпределить тип кривой Γ.Задача 7. Даны точки P1 , P2 и дана поверхность второго порядка Σ:P1 = 10, 0, 12,P2 = 1−1, −2, −22,Σ = {2(z + 1) = 2x2 + y 2 }.1) Определить тип поверхности Σ.2) Изобразить схематически поверхность Σ.3) Изобразить сечения поверхности Σ координатными плоскостями, по возможности соблюдая масштаб.
Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности Σ лежат точки P1 и P2 .5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью Σ имеет прямая, проходящаячерез точки P1 и P2 (прямая L).Задача 8. Дана сфера Σ:Σ = {(x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 9}.Найти уравнение конической поверхности Σ1 , вершина которой находится в начале координат O, а образующие касаются сферы Σ.Замечание 1. Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнениеплоскости.Замечание 2.
Везде, где сказано найти уравнение прямой в пространстве, надо найтиканоническое уравнение прямой в пространстве.4АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)(1-й курс, 1-й семестр)(2012/2013 учебный год)Типовой расчетВариант 3Задача 1. Даны точки A, B, C, D:A = 1−1, 0, −42,1)2)3)4)5)6)НайтиНайтиНайтиНайтиНайтиНайтиB = 11, 2, −32,C = 11, 8, −62,D = 1−5, −3, 72.объем VABCD пирамиды ABCD.площадь SABC грани ABC.уравнение прямой AB (прямая L).длину ребра AB.уравнение плоскости ABC (плоскость Q).точку D1 , симметричную точке D относительно плоскости ABC.Задача 2. Дана точка P и даны прямые L1 и L2 :yz+1x−1= =,P = 11, 1, 22, L1 =234L2 =x−2y−1z==341.Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точку P параллельно прямым L1 и L2 .Задача 3.
Дана точка P и даны плоскости Q1 и Q2 :P = 10, 2, 12,Q1 = {x − 2y = 0},Q2 = {x − 2y + 2z = 0}.Найти уравнение прямой L, которая проходит через точку P параллельно плоскости Q1и образует угол 60◦ с плоскостью Q2 .Задача 4. Даны точки P1 , P2 , P3 и дана прямая L:P1 = 11, 0, 02,P2 = 11, 1, 22,P3 = 10, 1, 52,L = {x = 2t − 1, y = t + 2, z = −t + 1}.1) Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точки P1 , P2 , P3 .2) Найти точку P пересечения прямой L и плоскости Q.3) Найти угол ∠(L, Q) между прямой L и плоскостью Q.Задача 5. Даны точки A, B и дано геометрическое место точек M :A = 12, 3, −52,B = 12, −7, −52,Найти уравнение ГМТ M .5M = {P ∈ Ω | AP 2 − BP 2 = 13}.Задача 6.
Кривая Γ задана своим уравнением в полярных координатах:r=10.1 − cos ϕ32Определить тип кривой Γ.Задача 7. Даны точки P1 , P2 и дана поверхность второго порядка Σ:P1 = 11, 2, 02, P2 = 1−1, 3, 02,(x − 1)2z22Σ=+y −=0 .241) Определить тип поверхности Σ.2) Изобразить схематически поверхность Σ.3) Изобразить сечения поверхности Σ координатными плоскостями, по возможности соблюдая масштаб. Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности Σ лежат точки P1 и P2 .5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью Σ имеет прямая, проходящаячерез точки P1 и P2 (прямая L).Задача 8.
Дана точка S и дан эллипсоид Σ:S = 13, 0, −12,Σ=x2 y 2 z 2++=1 .623Найти уравнение конической поверхности Σ1 , вершина которой находится в точке S, аобразующие касаются эллипсоида Σ.Замечание 1. Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнениеплоскости.Замечание 2. Везде, где сказано найти уравнение прямой в пространстве, надо найтиканоническое уравнение прямой в пространстве.6АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)(1-й курс, 1-й семестр)(2012/2013 учебный год)Типовой расчетВариант 4Задача 1. Даны точки A, B, C, D:A = 13, 2, 22,1)2)3)4)5)6)НайтиНайтиНайтиНайтиНайтиНайтиB = 12, 2, 32,C = 12, 3, 22,D = 12, 2, 22.объем VABCD пирамиды ABCD.площадь SABC грани ABC.уравнение прямой AB (прямая L).длину ребра AB.уравнение плоскости ABC (плоскость Q).точку D1 , симметричную точке D относительно прямой AC (прямая L1 ).Задача 2. Даны точки P1 , P2 и дана плоскость Q:P1 = 1−1, −2, 02,P2 = 11, 1, 22,Q = {x + 2y + 2z − 4 = 0}.Найти уравнение плоскости Q1 , проходящей через точки P1 и P2 перпендикулярно плоскости Q.Задача 3.
Даны точки P1 , P2 и дана плоскость Q:P1 = 10, 0, 42,P2 = 12, 2, 02,Q = {x + y − z = 0}.1) Найти уравнение прямой L, проходящей через точки P1 и P2 .2) Найти точку P пересечения прямой L и плоскости Q.3) Найти угол ∠(L, Q) между прямой L и плоскостью Q.Задача 4. Дана точка P и даны плоскости Q1 , Q2 :P = 1−4, 3, 02,Q1 = {x − 2y + z = 0},Q2 = {2x + y − z = 0}.Найти уравнение прямой L, проходящей через точку P параллельно плоскостям Q1 и Q2 .Задача 5. Даны точки A, B и дано геометрическое место точек M :A = 1−1, 0, 02,B = 11, 0, 02,Найти уравнение ГМТ M .7M = {P ∈ Ω | AP 2 + BP 2 = 4}.Задача 6. Кривая Γ задана своим уравнением в полярных координатах:r=12.2 − cos ϕОпределить тип кривой Γ.Задача 7.
Даны точки P1 , P2 и дана поверхность второго порядка Σ:P1 = 11, 0, 02,P2 = 13, 1, 12,Σ = {9(x − 1)2 + 4y 2 − 36z 2 = 36}.1) Определить тип поверхности Σ.2) Изобразить схематически поверхность Σ.3) Изобразить сечения поверхности Σ координатными плоскостями, по возможности соблюдая масштаб. Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности Σ лежат точки P1 и P2 .5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью Σ имеет прямая, проходящаячерез точки P1 и P2 (прямая L).Задача 8.
Дан вектор a и дана окружность Γ:a = 12, −3, 42,Γ = {x2 + y 2 = 9, z = 1}.Найти уравнение цилиндрической поверхности Σ, образующие которой параллельны вектору a, а направляющей служит окружность Γ.Замечание 1. Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнениеплоскости.Замечание 2.
Везде, где сказано найти уравнение прямой в пространстве, надо найтиканоническое уравнение прямой в пространстве.8АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)(1-й курс, 1-й семестр)(2012/2013 учебный год)Типовой расчетВариант 5Задача 1. Даны точки A, B, C, D:A = 11, 2, −32,B = 15, 1, −22,C = 12, −2, −22,D = 12, 2, 82.1) Найти объем VABCD пирамиды ABCD.2) Найти площадь SABC грани ABC.3) Найти уравнение прямой AB (прямая L).4) Найти длину ребра AB.5) Найти уравнение плоскости ABC (плоскость Q).6) Найти уравнение прямой L2 , симметричной прямой AD (прямая L1 ) относительно плоскости ABC.Задача 2. Дана точка P и даны плоскости Q1 , Q2 :P = 1−1, −1, 22,Q1 = {x − 2y + z − 4 = 0},Q2 = {x + 2y − 2z + 4 = 0}.Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точку P перпендикулярно плоскостямQ1 и Q2 .Задача 3.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
