11.03.04_28.03.01_12.03.02_12.05.01_fti_curs_c_2012 (1016569), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для решения этой задачи рекомендуется следовать следующему алгоритму.3.1 Полагая, что данный эксперимент описывается моделью(6), и используя соотношения (7), напишите программу, позволяющую по полученным экспериментальным данным, приведенным в таблице 2 (варианты задания), определить значение параметра r закона теплообмена Ньютона.11Таблица 2 – Данные об остывании чашки кофе.Время,мин.0123456789101112131415Время,мин.0123456789101112131415080.577.575.073.071.070.068.066.564.563.562.061.060.058.558.056.5189.586.583.081.579.078.075.073.571.070.067.565.563.563.061.060.5688.584.582.580.577.576.074.572.570.568.067.064.563.563.060.560.0777.074.571.068.065.561.059.056.054.550.550.048.046.045.042.539.5N варианта2388.589.584.586.582.583.080.581.577.579.076.078.574.575.072.573.570.571.568.070.067.067.564.565.563.563.563.063.060.061.060.060.5N варианта8986.078.582.577.582.076.580.572.578.572.077.568.577.068.076.567.576.064.074.062.073.061.572.061.071.558.569.558.069.056.568.555.0489.583.579.074.071.565.563.561.558.055.052.051.549.047.544.543.0588.579.576.572.568.065.061.060.055.554.050.048.047.046.044.043.01066.563.060.056.553.549.549.048.045.544.041.541.040.538.037.034.01151.548.548.046.544.542.541.541.038.037.034.534.033.032.533.032.012Продолжение таблицы 2.Время,мин.0123456789101112131415Время,мин.01234567891011121314151276.572.572.068.567.567.064.062.561.561.058.558.056.555.054.053.01341.541.039.039.035.536.035.034.031.532.033.031.031.530.030.028.01861.058.558.056.555.054.053.051.550.549.047.547.045.544.544.043.51982.582.079.078.577.576.075.575.074.573.072.572.071.070.567.567.0N варианта141570.068.068.067.565.564.061.062.060.061.560.061.059.559.058.058.555.056.554.055.053.054.052.053.052.551.050.050.550.049.049.047.5N варианта202179.079.575.576.075.070.575.068.074.565.074.061.571.059.070.056.069.054.068.551.068.048.567.547.067.044.566.043.564.041.063.540.51659.559.057.056.055.053.051.551.050.049.548.047.046.045.044.543.51743.041.540.539.037.536.035.534.533.532.532.030.031.541.530.029.02251.048.047.045.043.042.040.039.537.036.535.534.033.533.032.031.52372.068.064.561.058.556.054.050.549.047.044.543.542.040.539.538.513Кофе находится в стакане из материала высокой теплопроводностью, помещенной в керамический стакан (температура кофе регистрировалась с точностью до 0.5ºС, температура окружающего воздуха равна 22ºС).Указание: При выполнении этого задания воспользуйтесьметодом наименьших квадратов, применив его к логарифму разности T(t)–T S из соотношения (7).

Предложите, как исходя из соотношения (7) и данных эксперимента оценить предполагаемоеначальное значение параметра r, и в соответствии с вариантомзадания выполните эту оценку. Затем напишите код программы,которая, варьируя параметр r, определяет при каком его значениисумма квадратов отклонений данных эксперимента от ln(T(t)–T S )минимальна. Полученное таким образом значение r используйтезатем для моделирования процесса остывания кофе.3.2 С целью определения справедливости модели (6) для полученного значения параметра r напишите программу, моделирующую процесс теплопередачи (6) путем численного решениядифференциального уравнения первого порядка.

Для этого используйте код программы, приведенный на рисунке 4, внеся необходимые изменения в обозначения переменных и код программы. Задайте следующие переменные и начальные условия:t = 0 – начальное время (мин),T = 83 – начальная температура кофе (ºС),room_T – комнатная температура (ºС),r = – коэффициент остывания (1/мин), определенный в п.1.dt = 0.01 – шаг по времени (мин),tmax – длительность моделирования (мин),n – общее количество шагов.3.3 Модифицируйте программу так, чтобы исходное значение параметра r и начальные условия можно было вводить с клавиатуры.3.4 Один из методов определения точности численного решения заключается в повторении вычислений с меньшим шагоми сравнении результатов (метод Рунге-Кутта).

Если решения вобоих результатах совпадают с заданной точностью, то можноограничиться достигнутым шагом разбиения. Исходя из этих со-14ображений, убедитесь, что выбранное значение величины шагапо времени достаточно мало и не оказывает влияние на получаемую зависимость температуры от времени.

Предложите способытестирования правильности работы программы.3.5 Используя дополнительный вложенный цикл, модернизируйте программу, так чтобы полученные результаты выводились в консоль и сохранялись в текстовом файле.Указание: Вывод в текстовый файл можно реализовать, используя следующие операторы://открытие //файла с данными моделирования:FILE* f=fopen ("Nevton_r.txt","w");//запись в //файл значения параметра:fprintf (f, "%5.3f\n", r);//запись результатов вычисленных значений в цикле:{…fprintf (f, "%02d %4.2f %4.2f%4.2f\n",i,t, T,T+change_T);…}fclose (f);3.6 Модифицируйте программу так, чтобы значения параметров и начальных условий можно было считывать из текстового файла инициализации.3.7 Модернизируйте разработанный программный код так,чтобы значение интегрального коэффициента теплоотдачи определялось автоматически.

Для этого используйте код программы,полученной в п.3.1 как подпрограмму.153.8 С целью исследования применимости модели сравнитеполученные результаты моделирования с аналитическим решением. Для этого импортируйте данные численного моделирования п.2в текстовый файл, а затем в электронных таблицах Excel постройтеграфики данных опыта из таблицы 2, а также численного и аналитического решения задачи об остывании кофе. Оформите надлежащим образом график в Excel и импортируйте его в документWord.

Пример оформления: см. рисунки 5 и 6.r t i T(t i+1 )T(t i )Рисунок 5 - Текстовый файл с результатами работыпрограммы моделирования задачи об остывании кофе.16Рисунок 6 – Пример оформления графика с даннымиэксперимента и расчетными данными задачи об остываниикофе. Для наглядности график аналитического решения смещенна 0,5ºС вниз.Контрольные вопросы и упражнения:I* Начальная разность температур между кофе и окружающей средой равна 61ºС. Сколько надо остужать кофе, чтобы этаразность составила 61/2=30,5ºС? Через какое время разность тем-17ператур уменьшится до 61/4ºС и до 61/8ºС? Прежде, чем проводить моделирование, попытайтесь из простых соображений предугадать результаты.II* Пусть добавление молока понижает температуру кофе на5ºС.

Используя разработанную вами программу моделирования иподобранное значение коэффициента остывания, решите, как быстрее охлаждать кофе до температуры 75ºС: 1) добавить сначаламолоко или 2) дожидаться, когда температура понизится до80 градусов, а потом добавить молоко?III* С помощью программы, разработанной в пп. 6 и 7 задания, вычислите температуры в момент времени 1 мин, изменяязначения шага t по времени: 0.1, 0.05, 0.025, 0.01 и 0.005 мин.Постройте таблицу, содержащую разность между точным и численным решением уравнения как функцию шага по времени. Будет ли эта функция убывающей? Постройте график функции.

Если шаг уменьшить в два раза, как изменится разность? В случае,если разность между аналитическим и численным решениямипропорциональна Δx n , численный метод называется методомn-го порядка точности. Какой порядок точности метода Эйлера?IV* Какой нужно выбрать величину шага, чтобы достигаласьточность 0,1% в момент времени 1 мин? В момент времени 5 мин?V* Используя электронные таблицы Excel, найдите время,необходимое для того, чтобы разность температур между температурой кофе и комнатной температурой составила 1/e 0,37 отначальной (время релаксации). Проверьте, зависит ли это время отначальной температуры кофе или комнатной температуры? Попробуйте взять различные значения коэффициента r и определитезависимость времени релаксации от r.4 Численные методы решения дифференциальных уравненийвторого порядка на примере моделирования падения тел поддействием силы, зависящей от скоростиОбщее выражение для описания одномерного движениявдоль оси y материальной точки (частицы) массой m под действием равнодействующей силы F y (y,v):18d2y(12) Fy ,dt 2где v=dy/dt – скорость частицы.Рассмотрим частный случай.

Пусть тело падает вертикальновниз с высоты y 0 без начальной скорости под действием сил тяжести и тормозящей силы, причем тормозящая сила зависит отскорости тела. Пусть ось y направлена вертикально вверх, и начало отсчета находится на поверхности земли (см. рисунок 7).myy0Fd mg  Fg 0Рисунок 7 – Силы тяжести и сопротивления воздуха.В общем случае вид зависимости силы сопротивления отскорости обусловлен многими факторами и определяется из данных опыта. Поскольку вычисление наклона кривых, необходимоедля нахождения скорости и ускорения сопряжено с большимиошибками, то лучшим является метод, когда заранее предполагается какой-то определенный вид зависимости силы сопротивления от скорости F d (v).Обычно зависимость величины силы сопротивления от скорости задается феноменологическим выражением (т.е.

выражением, которое не является точным законом физики, а используется19для приближенного описания в ограниченных диапазонах аргументов и параметров):или Fd (v)  k2  v 2(13)Fd (v)  k1  vгде параметры k 1 и k 2 зависят от свойств среды.Поскольку в данном случае предполагается, что сопротивление растет со скоростью, то существует предельная или установившаяся скорость v 1 или v 2 , соответствующая моменту, когдаравнодействующая сил тяжести F g и сопротивления F d , будетравна нулю, т.е. будет выполняться условие F d =Fg =mg (g – ускорениесвободногопадения,стандартноезначение2g = 9.80665 м/сек ). Соответствующие выражения для величинустановившейся скорости:v1 mgk1или mg v2  k 2 12(14)Отсюда, переходя для удобства численных расчетов к безразмерной скорости, получаем выражения для сил сопротивленияF 1d и F 2d и равнодействующих сил F 1 и F 2 :vvF1d  k1v1   mg   v1  v1 или F2 d 22vv  mg   (15) v2  v2 k2 v22  v2 vF1 (v)   mg 1   или F2 (v)   mg 1  2  v1  v2  ,(16)где F 1 и F 2 – проекции результирующей силы на ось y (эти выражения рекомендуется получить самостоятельно).Обобщение метода Эйлера на случай решения дифференциальных уравнений второго порядка (т.е.

Характеристики

Список файлов учебной работы