Перельман Я.И. - Занимательная механика (1937) (1015819), страница 12
Текст из файла (страница 12)
в первом случае 1.2 нм, во втором — 1,Ь мм. Продолжительность удара в обоих слу- 1 чаях — около . =-=- секунды. Кратковременностью удара 5000 объясняется то, что материал шаров не разрушается прп столь значительном давлении (15 — 20 тонн на смз). Впрочем, так мала продолжительность удара только при небольших размерах шаров. Расчет покаэьгвает, что для стальных шаров планетных размеров (радиус =- -= 10 000 км), соударяющихся со скоростью 1 см/сек. время удара должно равняться 40 часам.
Круг соприкосновения имеет прн этом радиус 12,5 км, а сика взаимного сданливання — около 400 биллггоноз тони г ИЗУЧИТЕ СВОИ МЯЧ Те формулы удара тел, с которыми мы познакомились на предыдущих странипах, непосредственно иа практике мало применимы. Число тел, причисляемых к «вполне ие- упругим» или к «вполне упругим», весьма ограниченно.
Преобладающее большинство тел не принадлежит ни н тем, ни к другим: они «не вполне упруги». Возьмем мячик. Не страшась насмешки стнрниного баоио4пмсца, спроаим себя: мячик вещь какая> Вполне упругая или не Вполне упругая с точки зрения механики? Имеется простой способ испытать мяч иа упругость! уронить с некоторой вьгсоть4 на т"вердую площадку. Вполне упругий мяч должен подскочить на ту же высоту. Это вытекает кз форнулы упругого удара." 2 (т,а!+ валей У ~з 24,, еВ' Вп! + Юз Прзлагая ее к случаю мяча, ударяющегося а пеподвзжкую площадку, мы можем массу Вят площадки считать бесконечно большой, скорость же ее равна пулю! Впт — со от= — О. До подстазовкп зткз 2 взачезпй в предыдущую формулу преобразуем ее.
разделив чвслвтель з звамепатель дроби за ж : ЗВВ г ~'-'-";+те) р— 2'В. з! юз После подстаповкп получаем! г (-"-" Вй+ О) у = — 2'!. ВКВ +м Ы! Так как —.! -- О, то дробь стаяовптся равной кулю к форлВула со получает нкап У =.= — 2'!. Та-есть мяч должен отскочзть ат площадкк с той же скосюстью. с какой достиг ее.
Но падая с высоты Н, тело првобретает скорость ~К~И, откуда 44 =-. — ° Жя 107 Подбрвюевяае же втвгсвв гв скврастью о, тело достигает вмсогм в Н= —. 2я' Звачвг, д = Н: мвч долмев подскочить дв того урвввв, с какого ов упал. Шар неупругий не подскакивает совсем (легко убедиться соответственной подстановкой в формулу). Как же должен вести себя мяч не в полне упругий) Чтобы уяснить это, вникнем в картину упругого удара. Мяч достигает площадки; н точке соприкосновения он вдавливается, и вдавливающая сила уменьшает его скорость. До сих пор мяч ведет себя так, как вело бы себя и не- упругое тело; значит, его скорость в этот момент равна х, а потеря скорости в, — к.
Но вдавленное место начинает сразу же вновь выпячиваться; при этом .мяч, конечно, напирает на площадку, мешающую ему выпячиваться; возникает опять сила, дегютвующая на мяч и уменьшающая его скорость. Если шар при этом вгюлне воостанавжшает свою прежнюю форму, т. е. проходит в обратном порядке те же этапы изменения формы, которые прошел он при сжатии, то новая поте р я скорости должна равняться прежней, или в, — з, а следовательно. в обшемскорость вполне упругого мяча должна уменьшиться на 2 (р,—:г) н равняться э,— 2 (г,— з),= — 2г — ро Когда мы говорим, что мяч «не вполне упругв, .го мы собственно хотим сказать, что он не вполне восстанавливает свою форму после ее изменения под действием внешней силы.
Прн восстановлении его формы действует сила, меньшая той, которая эту форму изменила, а соответственно этому потеря скорости за период восстановления м е н ь ш е первоначальной; она равна не е, — я, а составляет некоторую долю ее, которую обозначим правильной дробью е 108 («коэфициснт восстановления») . Итак, потеря скорости при ущ)уГОм ударе В перВом пОриоде раВНЙ 51 ж, Во Втором равна е (ю, — ж) . Общая потеря равна (1 + В) (0~ ж), а скорость ~~, остающаяся после удйра, равна у=~,— (~ + ~) (~,— ~) = (1 + 6) ~ — 6~1.
люгко Вычислить, Но у — скорость подскакивающего шара — равна $~2уЬ, где Ь— высота, на котоРУю он подскакивает. $~~ — — ~/ 2,Я е У в с которой мяч упал. Значит, 2уО' Итак. мы нашли способ определять «коэфициент Восстановления» (е) мяча, характеризующий степень отступления его свокств от вполне упругих: надо измерить рькоту, с которой его роняют, 'и'аьн:оту, на которую он Скорость же й ударяемого тела (В данном случае площадки), которое Отталиивается мячОм по 3ажОну про" тиводействия, дОлжнй равняться, 'кйк Равность г — у обеих скоростей равна 60~ — 602 — с (6~ — 02), откуда находим, что «коэфициент восстановления» Для мяча, ударяющегося о неподвижную площадку, 8 = (~ + е) ж' — 6'уф = Ов 62 — О.
( ледовательно, 358ои Йм (~! ! Рис. 45. Хороший мяч для тенниса д©лФен иодпрыгнутьнримерно иа 14О см, если его уронить с высоты 25Осм. Во второй раз, т . е. после падения с высоты Й вЂ”" =- 140 см, мяч подскочит на высоту й„причем / дч 0,75 = откуда Ь, == 78 см.
Высоту йа третьего подъема мяча найдем из уравнения 0,75= $/ Г йз $' 78' откуда й; = 44 см. Дальнейшие расчегы ведутся таким же путем. У~роненный с вакаты Эйфелевой башни (Н=ЗОО и) —,акой мяч подскочил бы в первый раз на 168 и, но вто-, рой — на 94 и и т. д.. если не принимать в расчет сопротивления воздуха, которое в атом случае должно быть велико (из-за значительной скорости), Вторая задача: сколько всего времени мяч, уроненный с высоты П. будет подскакиватьу Мы знаем, что Тз ~е 1з Н= — а — — ° Й=-а- — - Й =- е ':и т. д. 2'2''2 И следовательно, Т= —; 1= —; 1, = — ' и т. д.
Продолжительность подсканивання равна Т+ 2~+ 21, +2~ + и т. дт т. е. — — +2 —,+ 2 — '+ и т. д. К й К ш После некоторых преобразований, которые читатель-математик легко проделает самостоятельно, получаем для искомой суммы выражение: Подставляя: П =250 см, я=980 см~сек'-, е=.0,75, имеем общую продолжительность подскакннання разной 5 сек.: мяч будет подскакивать в течение 5 сек. Если бы его уронить с высоты Эйфелевой башни. подскакивание длилось бы (при отсутствии сопротивления атмосферы) около минуты, точнее — 54 сек., если только мяч уцелеет при ударе.
При падении мяча с аьюоты нескольких метров скорости не велики, а .потому влияние сопротивления воздуха незначительно. Был сделан такой опыт: ыяч, ноэфицнент восстановления которого 0,7б, уронили с вьюоты 250 см. При отсутствии атмосферы он должен был бы подскочить во вто. рой раз на 84 см; в действительности же он подскочил на 83 см„как видим. сопротивление воздуха почти не ~каза хось. НА КРОКЕТИОЙ ПЛОЩАДКЕ Крокетный шар налетает на неподвижный, нанося ему удар, который в механике называется «прямым» и «центральным».
Что произойдет с обоими шарами после удара? Оба крокетных шара имеют равную массу. Если бы они были виол не не уп р у ги, то скорости их после удара были бы одинаковы; они разнялнсь бы полонине скорости ударяющего шара. Это вытекает из формулы; гп,о, + газе, з= »н, +«я и которой т, = гн» и з» = О, И2 Напротив, если бы шары оылн вполне упруги, го простое вычисление (выполнение которого предоставляем читателю) показало бы. что они о б и е н я л и с ь б ы си ор остям иг налетевший шар остановился бы после удара на месте„а шар, прежде неподвижный, двигался бы в направлении удара со скоростью ударившего шара. Так и происходит при ударе биллиардных шаров (из слоновой кости) . Но крокетные шары не принадлежат ни к тому, ни к другому роду телу они не в пол яе упр у г и.
Понтону результат удара не похож на сейчас указанные. Оба шара продолжают после удара двигаться. но не с одинаковой скоростью: ударивший шар отстает от крокированного. Обраттгмся эа подробностями к формулам удара тел. Пусть чхоэфнчнснт восствновлення~ (нак его определять, чнтвтелш нчвестно ня предыдущего) равен е. В предыдущей статье ми нашли для скоростей у н г обоих шаров посте улара слсдушщне выражения: д = (1 + г) г — гг,; " = (1 + е) х — гоь Здесь.
квя н в прешшш формулах, мг 'Г + гг~. гг ю,+ш. В случае крохстньш шаров шг =' нщ н ое = О. Подставив, имеем: н= —,,; у.= -'11 — с); г =-„(1+с) 2'' 2 Кроме того, легко убедиться. что ут с=о» г — "у — " 'оь Теперь мы можем в точности предсказать судьбу ударяю- шихся крокетных шаров: скорость ударившего шара распределяется между обоими шарами та.к, что крокированный шар движется бьустрее удаоившего на долю е первоначальной скорости ударившего шара. Возьмем пример. Пусть с = 0,75. В таком случае уд*- Ь зля.
яоеа — Зьвпнлшльяяя яехвляхл ренный шар получит туя первоначальной скорости кроки- ровавшего шара. а этот последний будет двигаться за ним, сохранив только ья первоначальной скорости. „ОТ СКОРОСТИ СИЛА" Под таким заглавием в лПервой книге для чтенияэ Л. Н. Толстого был помещен следующий рассказ: «Один раз машина (поезд) ехала очень скоро по жс. леэной дороге. А иа самой дороге, иа переезде, стояла лошадь с тяжелым возом. Мужик гнал лошадь через дорогу, лошадь не могла сдвинуть воза, потому что колесо соскочило. Кондуктор закричал машинисту: кДержиа — но машннкст не послушался. Он смекнул, что мужик не может ни согнать лошадь с телегой, ни своротить ее, и что машину сразу остановить нельзя. Он не стал останавливать. а самым скорым ходом пустил машину н во весь дух налетел на телегу.
Мужик отбежал от телеги. а машина„как щепку. сбросила с дороги телегу и лошадь, а сама не тряхнулась. пробежала дальше. Тогда машинист сказал кондуктору: «Теперь мы только убили одну лошадь и ело. мали телегу; а если бы я тебя послушал, мы сами бы убились н перебили бы всех пассажиров. На скором ладу мы сбросили телегу и ие слыхали толчка, а на тихом ходу нас бы выбросило из рельсов:. Можно лн это происшествие объяснить с точки зрения чеханнкиг Мы имеем здесь случай удара не вполне упру~их тел. причем тело ударяемое (телега) было до удара неподвижно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
