Chang_t1_1972ru (1014102), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Экви- валентная длина плоской пластины в потоке, газа (индекс с) равна "макс -. = ~ 1 —.— ) (-'":-) ( —." )" '" '"" « Принимая для воздуха у = 1,4, получаем *макс Хакк ) ~ ) ~ ) (и) Г СЛИ (иыакс>ие)0,17 ~ 1, ТО макса с 1,'ледовательно, к1=( '"" ) ~,' )=- ~1+,' и„а..) '"" —," . (13) С помощью установленной зависимости между носясиаааемым и сжимаемым течениями положение точки отрыва ламинарного потока газа для известного распределения скорости и заданного числа Маха находится следующим образом: 1. Графически определяется градиент скорости ди,,Ях, в плоскости сжимаемого течения. Воаможно, потребуется видоизменить заданное распределение скорости таким образом, чтобы положительный градиент скорости начинался в определенной точке и аппроксимировался прямой линией.
2. По уравнению (12) вычисляется эквивалентная длина. 3. По фиг. 1 определяется параметр 1-,'- [(у — 1)!2[ М„',>м. 4. По уравненин> (13) определяется безраамерный градиент скорости в плоскости эквивалентного несжимаемого течения. Падение скорости, которое соответствует отрыву ламинарного потока жидкости, определяется по фиг.
2. Численный расчет покааыват, что при уменьшении скорости по линейному закону в зависимости от расстояния до передней кромки в условиях ламинарного отрыва влияние числа Маха, предсказываемое методом Лофтина и Уилсона [8), в основном совпадает с результатами Стюартсона [10[ н Хоуарта [6). 1б И е Е 12 0 1 2 3 4 б б 7 б б Ю м Ф и г.
В Величина [+ [(у — $)/2[Ма„~ко как функция числа Маха [8[. Ц10 .„0,07 б ЦО6 < ооб 0,1М б,О1 О -Цое -006 -Ф2 -016 -020 -024 -026 г1 Ф к г. 2. Падение скорости Аиее lи „к в ламинарном несжвмаемоее потоке 1 перец отрывом как функция градиента скорости [8]. и,. — безраемернма градиент скорости. 237 ОТРЫВ ПОТОКА ГАЗА ЬЗ. МЕТОД МОРДУХОВА И КЛАРКЕ ди ди дие д ( ди 1 ри — + рс — = репе — '+ — я — ), дх ду дх ду ( ду ) ' ЗТ, дТ дие д ! дт1, /ди12 рис — + рис — = — р,и,— ' и+ — (л — ) + )А ( — ), (15) Р дх ' Р ду е е дх ду ( ду ) .
'1 ду ) е (14) — (ри)+ — (р ) == 0 д д (16) 11 Те (17) Ре т Расчет основан на следующих предположениях: число Прандтля Рг = )хсрПс равно единице; стенка является адиабатнческой (дТ!ду = 0 при у = О), коэффициент вязкости линейно зависит от температуры. Исключая р,и, (дие/дх) из уравнений (14) и (15), получим и2 — + срТ = сопз! 2 (18) или — — 1+ Ме (1 — —,) (10) Теперь считая, что т т (20) где С ти ~1/2 $+(Я/Т ) т- ) (Т.,1Т-)+(з~т-) с=( — ) (21) Мордухов и Кларке И1) предложили теоретический метод определения точки отрыва ламинарного потока газа.
Этот метод является развитием метода Кармана — Польгаузена с применением полиномиальных профилей скорости до седьмой степени. Кроме того, он может быть модифицирован для учета теплопередачи. Этот расширенный анализ будет рассмотрен в гл. Х1. Будут приведены основные результаты определения точки отрь1ва я численный пример, который хорошо согласуется с другим известным решением. Основные уравнения движения, знергии, неразрывности для двумерного потока газа и уравнение состояния следующие: РЛАВА МТ Я = совет = 120 К для воздуха, из уравнения (19) находим — =1+ ~ М'. (22) Интегрируя уравнение (14) по толщине пограничного слоя от у =- 0 до у = 6 и вводя переменную Дородяицына Ф, определяемую преобразованием (23) получим следующее соотношение, являющееся в сущности интегральным уравнением Кармана: Р1 (61) + (Р( В Р1 ()и репе) Ез ()п пе) ) 6) == р с 3 — Š—— р и, (24) где (25 ) Индекс ю означает условие на стенке.
Величина бс (значение й при у = 6) — толщина пограничного слоя в плоскости т — 1, а т —. 1/бо Штрих (') означает производную по х. Вводя безразмерные переменные Х и С сВе-(г) ' (26) 5= —, где Ь вЂ” характерная длина и Ве„= р„и„Ы)г„, получим уравнение (24) в виде )'-~-а, ~ — + — + — ~2- — ') ( =-2 — — — — ', (27) Гр,' р', и, ~ Р,~1 „,.р,. т, Гз 1. ре Р1 ие ( Р1 ! ( ии ре Т, Р~ ' где штрих (') теперь и далее означает производную по З. Граничные условия в плоскости ж — 1: ОТРЫВ ПОТОКА ГАЗА 239 (28) при Т=О, — =1, и ие д (и/иеД дз (и)ие) дл(и/ие) дта дтз (30) ГДЕ ~Рл) ( тл) — л/чт — ю (31) Индекс Ь означает условия сразу за скачком уплотнения. Теперь функции Г", определяемые уравнениями (25), принимают вид Г~ = 0,1156+0,00253аз — 0,001454а,„', Р'з =- — 0,02976а, — 0,3125 — е - Ые (0,4281+ 0,0322!)ал— — 0,00145а,'), (32) Ь'з, = 1,7500 — 0,5000ат.
при т=1. Второе условие на стенке (т = О) следует в общем случае из исходного уравнения (14) в частных производных в сочетании с уравнением (20). Третье условие на стенке следует из уравнения (14) (в переменных х, т) в сочетании с условием отсутствия теплопередачи (дТ)дт ~ „=- О). Второе и третье граничные условия (уравнения (28)] выполняются только тогда, когда нормальная составляющая скорости на стенке равна нулло. Для определения точки отрыва должно быть удовлетворено дополнительное граничное условие в точке отрыва (29) Оно получено дифференцированием уравнения (14) дважды по г с последующей подстановкой значений параметров на стенке, соответствующих ди!дг =- О. Профпль скоростей, который удовлетворяет уравнениям (28) и (29), является полиномом седьмой степени и 77 и 1 — = ) — — — - ') тз-а,т- '— — (21+ 10а,) т' — '(7+За,) т'— и, 14 2) ' 4 гяьВХ 01 Так как отрыв происходит в точке, где 2 2 1 а 4+ — ( О, О О 25+0, 0 2 9 7 6 а а ) — — ( О, 1 7 8 1 -~-0, 0 3 2 2 9 66 — О, 0 0 1 4 5 а а ) ( —."а ) ' (Й) (33) Индекс Я указывает, что значение получено с использованием профиля скоростей в виде полинома седьмой степени.
Точка отрыва определяется из уравнения (33) н за средние значения а2 и ца можно взять значения параметров а2 и а.,' в этой точке. Следовательно, для определения точки отрыва, в которой а — -- 3.5, в уравнение (33) подставляются значения а2 = 3,5 и а„'.= 12,25. Тогда 4 )6,128 (Г )Г )0,9368 да 32,83 о С (ц ~ц )7,128 (Г )Г )2,437 (34) Так как величина а2 пропорциональна Л и находится из уравне- ния (31), величина Л,при которой происходит отрыв, равна ~ 7 Ь (7 () Ыа (( (ц67ца )Н вЂ” (3 — 29)7(7 — 1) 7 ( и.) 2 ц) (+ — (7 — 0 М„ 1 ,6 Уравнения (33) и (34) для Л $) применимы только для граничного условия Ле — —.
0 при $ =- О. Но если область положительных градиентов давления начинается не на передней кромке, а з некоторой точке $ = $„ это граничное условие должно быть заменено условием Ле = Л, при $ = $„ и решение уравнения (34) для Ле Я) будет представлено следующим образом (а2 = 3,5 и а,', )' '('пм) )- =О дт )ц то из уравнения (30) следует а2 = 3,5 при отрыве ламинарного слоя. Используя уравнение (32) и предполагая, что в выражениях для г"1 и Р2 величины а2 и а, 'можно (приближенно) заменить постоянными средними значениями а2 и ааа, получаем следующее приближенное решение Лз для Л Д) из уравнения (27); 7 Лз= — — х 2 Р1зц 2 3 + — 1 О, О Б 2 5+0, О 29 7 6 а 1) — — — 1 О, 1 7 6 1-1-О, О 3 2 29 а 6- О, О О 1 4 5 аз ) )Ю ' () ОтРыВ потокА ГА3А Ж)"" (Й)"" (36) Значение Х, определяется выражением т 2 — — — (0,1950-1-0,02116аа- 9,600622ае) ( —,")' ' 2 .а 2-) —, (О ООа71 — ' 0,01905аа) ~( —."') " 5-1- — (0,06571 0,01905аа) — — — (0,195040,02116а9 — 0,000622аа) ( — ),=:." Ж'' " (37) Положение точки отрыва определяется значением $, при котором по уравнениям (34) или (36) и (35) получаются одинаковые значения Хз.
Для любого заданного ноложитольного градиента давления и М „в соответствии с уравнениями (34) или (36) и (35) строится график зависимости Х (с) от 5 в окрестности оя(идаемой точки отрыва. Точка пересечения этих двух кривых является точкой отрыва, и, так как положение этой точки, определяемое уравнениями (34) и (35), не зависит от 6, мо)кно принять С = 1. Это не означает, однако, что скачок уплотнения на передней кромке не влияет на положение точки отрыва, поскольку значения н!и, (с) и и,'/(и (4)) могут зависеть от скачка уплотнения. 1.а.1.
Сраенение с результатами Стюартсона Чтобы сравнить положение точки отрыва, вычисленное по данному методу, с результатами Стюартсона (10], Мордухов и Кларке [11) выбрали простейший тип течения с положительным градиентом давления, соответствующим линейному распределению скорости, т. е. — =- 1 — Ьс, ае где Ь вЂ” положительная постоянная. Если ввести линейную замену переменных ~)=Ь|, )„= Ь)., (38) (39) 1е — а507 = 12,25): а А, =. 242 Г.1АВА У! уравнение (27) останется в прежнем виде, за исключением того, что Е будет заменено на с), а Л вЂ” на Л,.
Итак., Ие — =- 1 — 21. И Это уравнение не содержит д. Поэтому необходимо решать уравненио (27) только для Ь = 1, так как для любого другого значения Ь достаточно в полученном решении заменить Е на 2„а Л на Л,. Следовательно, в данном случае Таб.тица 1 ПОЛ01КЕНКЯ ТО'1КИ ОТРЫВА, ВЫЧИСЛ!)ННЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫМ МЕТОДОМ )РРАВнения (эа) и (за)]. В сРАВненин с Решением стюАРтсОНА е) 4 в тетке отрыва М ото а м,=-е ! и .=.1 ) м ==а од )3 0,07ВВ 0,110 0,077 0,422 0,420 Уравнения (34) н (35) Решение Стюартссна — '=1 — 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
