Chang_t1_1972ru (1014102), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Известно, что отрыв потока сам по себе порождает неустановившийся характер течения, а неустановизшийся отрыв в общем случае является самовозбуждающимся. В прошлом были получены теоретические решения задач об отрыве неустановившегося потока, обусловленного движением тела с переменной скоростью, и большинство из ннх приведено в монографиях П1лихтинга 11), Гольдштейна [2) и т. д, Здесь также будут приведены этн классические решения, Ири движении нз состояния покоя поток жидкости является неустановившимся, и в таком неустановившемся потоке происходит отрыв.
Рассмотрим тупое тело, находящееся в начальный момент времени в состоянии покоя. И тело, н жидкость имеют до некоторого времени нулевую скорость, а затем возникает пере- ОТРЫВ НЕУСТАНОНИВШВГОСЯ ПОТОКА >КИДКОСТИ 2И меяный во времени внешний поток. В этом случае механизм неустановив>погоня течения можно понять из рассмотрения фиг.
1, где показано обтекание кругового цилиндра. На фиг. 1, а показано начальное течение. Это течение безвихревое, и толщина пограничного слоя близка к нулю. С> и г. 1. Образование пограничного слоя, вихрей и следа прн обтекании кругового цилиндра, движущегося ускоренно иа состояния покоя. Со временем около тела формируется тонкий пограничный слой, происходит диффузия завихренности пограничного слоя, толщина слоя растет., а скорость по толщине меняется от скорости тела до скорости внешнего потока.
Обычно отрыв начинается в сечении, где скорость потенциального течения быстрее всего убывает в направлении потока. При обтекании кругового цилиндра отрыв начинается у задней критической точки (фиг. 1, б). Позднее зто будет доказано теоретически. Как видно из фиг.
1, в, точка отрыва перемещается со временем >4е ГЛАВА 'Ч вверх по потоку. Линия тона, проходящая через точку отрыва, отделяет вязкий слой, скорости в котором малы. Завихрения формируют вихревой слой, который свертывается в виде двух концентрированных вихрей (фиг. 1, г), 11еремещенио точки отрыва вверх по потоку продолжается до достижения установившегося -'=!22 я Р Рс 1Р" 3,39 !,96 2,46 -3 0 30 60 90 $20 !60 МО сб Ф и г. 2. Распределение давления ло поверхиости кругового цилиядрв в начальной стадии двиисеиии И). положения. Когда вихри разрастаются (фиг. 1, д), они становятся неустойчивыми и уносятся с тела внешним потоком (фиг.
1, е). Швабе (3] более подробно исследовал этот тип течения около кругового цилиндра и измерил распределение давления на цилиндре, которому сообщается ускорение из состояния покоя (фиг. 2). В начальной стадии движения при малом с!' (расстояние не!яду цилиндром и критической точкой в потоке за двумя вихрями) измеренное распределение давления приближается к распределению давления в потенциальном потоке, но с течением времени различие между измеренным распределением давления н распределением давления в потенциальном потоке увеличивается. 11ри обтекании тонких тел, таких, как крыловой профиль, тонкий эллиптический цилиндр, корпус корабля и т. д., измеренное распределение давления близко к распределению давления в потенциальном потоке даже при больших интервалах времени, поскольку нарастание пограничного слоя невелико.
ОТРЫВ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ПОТОКА ЖИДКОСТИ 213 уравнение количества движения ди ди ди 1 др дУи — + и — + и — =- — — — -г У д1 дх ' ду р дх ду. (2) Для осесимметричного течения уравнение количества движения такое же, а уравнение неразрывности имеет вид д (иг) д (иг) + — = О. дх ду Используя уравнение Бернулли дчя неустановившегося течения, можно записать выражение для градиента давления в виде 1 др ди„(х, 7) ди, (х, 1) р дх д1 дх (3) где и, (х, г) — заданная скорость неустановившегося течения за пределами пограничного слоя.
Для решения этих дифференциальных уравнений необходимы следующие граничные условия: и=О, В=О при у=О, и=и(х 1) при у=ос. Интегрирование дифференциальных уравнений (1) — (3) выполняется, как правило, методом последовательных приближений, основанном на следующем рассуждении. В начальной стадии дзвжения из состояния покоя пограничный слой очень тонок, В предыдущих главах были рассмотрены различные методы, позволяющие определить положение отрыва при заданных условиях установившегося течения. В этой главе описаны методы, с помощью которых определяется время и пройденное расстояние до образования установившегося отрывного течения. Периодическое течение может быть вызвано периодическим движением 7кидкости около тела, находящегося в состоянии покоя., или наоборот, и в обоих случаях пограничный слой также будет неустановившимся.
Известно, что на положение отрыва ламинарного пограничного слоя влияют внешние пульсации и что точка отрыва колеблется. Однако большей информацией об отрыве потока прн периодическом движении автор не располагает. Критерием отрыва неустановившихся двумерного и осесиметричного потоков, как к для установившихся потоков, является предположение о равенстве нулю напряжения трения в точке отрыва. Основные уравнения неустановившегося пограничного слоя те же самые, что и для установившегося, за исключением добавочного члена, содержащего д/д) в уравнении количества движения и в уравнении Бернулли.
Уравнение неразрывности двумерного течения ди ди — + — =-О, дх ду ГЛАВА Ч 214 но вязкий член т (д'и/ду') очень велик, в то время как конвективные члены уравнений сохраняют обычные значения. Вязкие силы уравновешиваются нестацяонарным ускорением ди/дг и давлением, в выражении для которого в начале движения доминирует ди,!дг.
Для получения теоретического решения скорость рассматривается в виде суммы первого и второго приближений и (х, у, Г) =- из (х, у, д) + и~ (х, у, $), где индексы О и 1 обозначают первое и второе приближения; ма удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению дии дзиу ди„ вЂ” — т — = — ". дГ дуз д8 (5) Граничные условия: из — — О при у = О и из = и,(х, г) при у =- оо Уравнение для второго приближения и~(х, у) получается вз уравнения количества движения (2).
Конвектнвные члены вычисляются при испольаовании ми и с учетом конвективного члена в выражении для давления. Уравнение (2) принимает вид ди1 дзи~ дии диа дии — ии пи= иу д3 дут и дх ди ду (6) Граничные условия: и1 — — О при у == О и и1=0 при у = оо. 1. ОТРЫВ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ ВНЕЗАПНОМ ВОЗНИКНОВЕНИИ ДВИЖЕНИЯ рассмотрим отрыв неустановившихся двумерного и осеснмметричного потоков. Уравнения неразрывности также записываются через ию им ва "ь Аналогично получаются приближения высшего порядка им из,.... Указанный метод применим не только для неустановившегося течения из состояния покоя, но н для периодического течения. Однако решение дифференциального уравнения зтим методом затруднительно, причем трудности возрастают с увеличением порядка аппроксимаций, ограничивая применимость метода.
Далее более подробно будет изучен отрыв, который возникает при внезапном возникновении движения и прн движении с постоянным ускорением. Вследствие недостатка информации отрыв при периодическом движении здесь не рассматривается. ОТРЫВ НВУСТАНОВИВШЕГОСЯ ПОТ011А ЖИДКОСТИ 215 1.1. ОТРЫВ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВУМЕРНОГО ПОТОКА Введем функцию тока р(л, у, 1) =-2['Уг ~и.со(ц)+Ти.,л З1 (ц)+ где т[ = у/2 )УЙ и ~ — безразмерная величина, (7) 1,О О,а 0,7 це с,е ца 1,о 1,7 1,4 Ч Ф и г. 3. Функция вец а так>ко Ц =(ч' и в[а для распределения скорости е иестационарном пограничном слое; уравненйя (8) и (15а) [1). При этом составляющие скорости и = дфду и и = — д1Р!дх равны и =.
и,л".е+Ти,(с[и,Мх) З;+..., — Р==.2'[АГУТ ~ — '~о+1 ~( "') +ие —, Подставляя (7) и (8) в (5), получим для первого приближения '," + 27[ з, "— — О. Граничные условия: = В,=О при 7[=0, 1,' =-1 ИР1' т) = оо. Решение этого уравнения имеет вид (О) На фиг. 3 постРоена фУнкпин Во' от ти Из уравнений (7) и (9) получаем дифференциальное уравнение для второго приближения 1", + 2т[~; — 4И = 4 [~е — 1его — 1[.
2тз ГЛАВА Ч Граничные условия: ьт=.ьт'=0 при т)=0. ь,=О при т1=ос. Решение уравнения (10) дается Влазиусом: "т = — — ' т1 ехр ( — т(') ег(с (ц) + — (2т(' — 1) ег1с' (т0+ 2 1 4 + — ехр ( — 2т1') + —, т( ехр ( — т1') + 2 ег(с (ц) — — — ехр ( — т(')+ + (=+,, ) ~цехр( — ц') — — (2т)'+1) егХс(тТ)~ (11) Теперь из уравнений (8), (О) и (11) вычисляется и. Как видно из уравнения (8), отрыв происходит в момент времени Гз при Условии (ди/дУ) (,=-0 или ~ (0)+ с,"(0) Гз(ди,/да) = О. Если началь- ные производные задаются в соответствии с фиг. 3 «" (0)= 2 и 1';(0)=- (1+2 ), (12) то из уравнения (12) имеем 1+ (1+,4„-) ф Г,=О. (13) 1.2. ОТРЫВ ПРИ ОБТЕКАНИИ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА Обозначая через и „скорость невозмущенного потока, запишем выражение для скорости потенциального течения около кругового цилиндра (фиг. 4) йи, (и) 2и и и (х) =-2и зтп — и — '= — соз — .
и ии тт и Наибольшее абсолютное значение ди,Ях достигается в задней критической точке. Время Зз, по истечении которого возникает отрыв, определяется из уравнения (13) (второе приближение) я,!и — =- 0,351 Л)и Отрыв возможен при положительном градиенте давления, т.е. там, где величина ди,/дх отрицательна и начало отрыва находится в точке, где абсолютное значение т(и,Ях имеет наибольшее значение. Если положеяие отрыва задано, то время отрыва Гз (время до возникновения отрыва) вычисляется по уравнению (13).
ОтРИВ пеустАповиВшегося потокА жидкости 217 При этом расстояние, пройденное цилиндром до начального момента отрыва, равно 77 Он=7ви = 2[г, ~4~а )) — — 0,351Л. Оказывается, что второе приближение для гв является достаточно точным для практического применения, поскольку третье и Ф и г. 4. Обтекание кругового цилиндра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
