Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2. ') Эта же зависимость установлена с использованием уравнений пограничного слоя в других переменных в работе [4),которая при подготовке статьи [1) была автору неизвестна. Третье равенство [7), в котором нужно взять верхний знак, дает величину коэффициента Кь = 0.069. Аналогично можно найти и следующие коэффициенты. На рис. 2 приведены графики функций аь, й, йь, йг. В окрестности ио = и выражение аь[ио) имеет, таким образом, следующую асимптотическую форму: [")=~" — '" .
= д~ з=о 1.7) Посранизиыб слой иа движузисйся иоеерхиосши 107 уменыпается сравнительно со случаем неподвижной поверхности. Этот кажущийся парадоксальным результат имеет простое объяснение. Проведенный анализ автомодельных течений предполагает пластину бесконечной длины. При ио ) О в рамках теории пограничного слоя найденные автомодельные решения пригодны и для пластины коночной длины, так как удаление расположенной ниже по потоку части пластины не изменяет обтекание оставшейся пластины конечной длины. Однако при ио < О аналогичный вывод несправедлив. Авто- модельное решение в этом случае описывает обтекание лишь бесконечной пластины.
Если же его использовать для пластины конечной длины, то нужно учитывать, что при этом на заднюю кромку пластины набегает возвратная струя, создаваемая остальной частью бесконечной пластины. Наличие этой струи и приводит к снижению сопротивления. В неавтомодельном течении около пластины конечной длины с поверхностью, движущейся навстречу набегающему потоку, т.е. при ио < О, поверхностное трение у задней кромки обращается в бесконечность. Эта особенность в распределении поверхностного трения дает конечный вклад в величину сопротивления пластины, увеличивая его по сравнению со случаем ио = О. Литература 1. Черный Г.Г. Пограничный слой на движущейся поверхности 77 Избранные проблемы прикладной механики (сборник, посвященный б0-летию В.Н.
Челомея). Мл Наука, 1974. 2. Комис Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Мл Наука, 1971. 3. АМиозовпх М., 31еуии 1.А. (Ей.) НацйЬоок о1' МаФета11са1 РиосИооз, 1з1. У.: Покос РиЫ., 1970. 4. Сала1 Р. Ящ РецзешЫе йез зо!ибоцз йе Речиабоц йе 1а соисЬе 11гцйе О' 3. с1е цзесашчие. 1970.
Ч. 11. Кй 3. Глава 1.8 ПОГРАНИт1НЬ1Й СЛОЙ НА ДВИЖУЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ. 111. НЕАВТОМОЛЕЛЬНЬ1Е РЕШКНИЯ *) Г. Г. Черный, В. и. Зубарев В задаче об обтекании плоской подвижной проницаемой поверхности потоком несжимаемой жидкости в изобарических стационарных пограничных слоях рассмотрены случаи неавтомодельных решений, близких к автомодельным.
В линейной постановке этот анализ привел к необходимости рассмотреть нестандартные задачи на определение собственных значений и изучить их асимптотику в различных случаях. Исследована асимптотика для больших положительных собствонных чисел и скорости поверхности пластины, направленной против скорости внешнего потока. Получено тахже асимптотическое представление поведения собственных чисел в случае, когда скорость поверхности пластины близка к скорости внешнего потока. 1.
В работах )1, 2) для изучения стационарных течений несжимаемой жидкости в пограничном слое на плоской подвижной проннцаемой поверхности при постоянной скорости внешнего потока использовалось уравнение даг 2 д~ (1.1) при следующих краевых условиях: я=О при н=1; (1.2) д — я Я ~ и + дГ и Бй при н: Ггги(()~ (18) г = г;г(н) при с = со и > О; (1.4) я=я (н) при с=сы и<0. (1.5) Здесь неизвестная функция д ди д1' ' *) Некоторые вопросы механики сплошной среды (сборник статей).
Институт механики МГУ. Мс МГУ, 1978. С. 48-54. 1.8) Пограничный слой на движуеаейся поаерхноссаи 109 а новые переменные 1' = зе%еу, И = ьГПеее, где 5 и у -- расстояние соответственно вдоль пластины от некоторой точки и по нормали к ней., отнесенные к некоторой длине 1; и и е -- . соответственно продольная и поперечная составляющие скорости, от- несенные к скорости внешнего потока 5сг, Ке = 5сз1/и число Рей- нольдса; и кинематическая вязкость. Из краевых условий следует, в частности, что если на участке 5е < < ~ < (ы примыкающем к передней кромке пластины, 5г, = солях = = ие < О, то автомодельное решение не является единственно возмож- ным. Такое решение соответствуетспециальномувиду функции г (и); при ином виде функции х (и) решение не будет автомодельным. Рассмотрим течения в пограничном слое, близкие к автомодель- ным точениям у полубссконечной пластины при У„= сопят = ие и равномерном набегающем потоке.
Случай иа = и„„где и„, наи- меньшее из возможных значений ие для данного С = ЯЪ; = сопз1, при котором еще существует автомодельное решение, исключим из рассмотрения. Пусть отличие течения от автомодельного характеризуется малым параметром ю Будем искать решение уравнения (1.1) при краевых условиях (1.2)-.(1.5) в виде ряда и = сс(и) + сели, С) + е хг(и, С) + .... Первые члены этого ряда удовлетворяют уравнениям 2аяса + и = О, 2нх1 хе дх1 Цхг) = О, Цхг) = — — )х — +~ — ), [,4 д5) ' г д Цх) = еа — — — ин —.
диа 2 д5 Пля автомодельных движений условия (1.2) и (1.3) имеют вид аг(1) =0 при и=1, — =С при и=но =соцз1, Нн а условия (1.4) и (1.5) не могут быть наложены они определяются видом автомодельного решения г = аг(и). Рассмотрим несколько случаев отличия течений от автомодель- ного. 1. Пусть У, = сопз1 = ие < О, и течение при (а = 0 < с < 1 = = ~г отличается от автомодельного только тем, что функция х (и) в условии (1.5) имеет вид х (и) = аг(и) + ей (и). Тогда функции хг и гг должны удовлетворять условиям хг(1, 1) = О, хг(1, () = 0 при и = 1; дхг дхг — =О, — =0 при и=но; дн ' дн (Гл. Г.
Г. Черный, В. М. Зуйарее гз — — й (и), гг=О при о=1, ио <и<0; гз(и, й) з О, гг(и., с) -з 0 при с -+ О. П. Пусть отличие от автомодельности вызвано отличием скорости повеРхности от постоЯнной, т.е. Ун = ио + егм(С). ПРи этом Должны быть удовлетворены условия гг — — О, гг=О при де1 у, и11 о~ — = ио ~4и, + — ), ди ( 2)' при и =ио, д'ез С вЂ” ~ — иоизиы диг ы <и<0; дег ~ 1 ен г ио ы — = йизи — — ыы и — С вЂ” и гз — ыиз ди 2 ю гз=О, гг=О при й=1, ио г,(и, с) — з О, гг(и, ~) — з 0 при Если отличие от автомодельности обусловлено + юоз(С), то приведенные выше условия при и следующими: й -+ О.
тем, что Я)гы = С + = ио нужно заменить дг1 дгг — =из, — — — 0 при ди ' ди и =ио. Остальные условия сохраняются теми же. П1. Пусть течение отличается от автомодельного из-за условий в начальном сечении (задача о продолжении), т.е.пусть при й = со = 1, и > 0 ге(и) = ог(и) + газ (и). Тогда гз = О, гг=О при и=1; — '=О, ди гз = 2,(и), гг — г=О ди при и=ио; =0 при с=1, 0<и<1; гз=О, гг=О при с=йы ио<и<0. 2.
Будем решать уравнение (1.1) методом разделения переменных. Положим гз = У(и)~(~). Тогда легко получить, что х = С~, а функция У должна удовлетворять уравнению ыгб н — (Х+ — ) иС = О. (2.1) Решения неавтомодельных задач 1-П1 можно получить в виде рядов иа1 ~~г(и) где Л, — собственные числа и У, - собственные функции следующих двух краевых задач для уравнения (2.1): задача А: У(1) = О, Г(ио) = 0; задача В: Г(1) = О, У(ио) = 0 1.8) Пограничный слой на двггхсрщсйся поверхности 111 П, '", — (Х+ -') ВГ = О, а соответствующие краевые условия задач А и В будут В(0) =О, — (Ц =0; У(0) = О, У(1) = О, где функция Йо(В) = Йо ( — ) = ио ы(и) удовлетворяет уравнению (1.6) с краевыми условиями (б) йо(0) = 1, йо(1) = О.
Законы асимптотического поведения собственных чисел 1г'и (ио » » 1) при и -о со для задач А и В будут следующими: 1 о — -, '—,-' / ~~', /е(в)ге+ Лц~, — 2 Е(В) АВ = / "В ) -1 — ("') — — "'"'+ ' — Пг + З (' /''~ "В АВ. ,/ 4йо ~ В Вг 4 Вз ~,l Йо(В) о о о При значениях и, близких к единице, уравнение (2.1) имеет вид — + 21 — — 4 (Х + — ) У = О, дгсг' дсг сй 2 (2.2) Известно, что при ио > 0 собственные числа гг" задач А и В должны удовлетворять условию Лс < -1/2. Это соответствует задаче о продолжении.
Спектр оператора лнг ( 2),„г(н) является дискретным, а собственные функции задач А и В образуют полную систему функции [3, .4). Если скорость поверхности пластины ио велика по сравнению со скоростью внешнего потока, то в этом случае уравнение (2.1) имеет вид [Гл. Г. Г. Черный, В. М. Зуйарее 112 не зависящий от функций ш и, следовательно, от констант ио и С, которые характеризуют автомодельное решение [переменной 1 служит та же величина — ог', что и в работах [1, 2)). При произвольном Х решение уравнения [2.2) выражается через функции параболического цилиндра [6) 2 0Я = Р .з~ж,О[1 Я) охр( — — ).
Кслн теперь ио близко к единице, то уравнение (2.2) пригодно во всем интервале значений и, и решение задач А и В представляется соответствующими функциями параболического цилиндра. Можно показать [6), что собственные числа в этом случае суть; в задаче А: Х= — 1,— 2,— 3,...; в задаче В: Ж = -3/2, -5/2, -772, Для ио < О с помощью метода Лангера [7) получаются такие законы асимптотического поведения собственных чисел Х задач А и В в зависимости от ио н числа нулей и собственной функции У(и) в интервале ио < и < О при п — > +ос Зб 2ио зl †l а'(и) ъ' †) ачи) а о о о — 1"" «е 1'е( >е + (1)~.
— 2 ( о ~2 В: Х= — -+ ) — ди я [п+-) + 2 ))ы(и) ) ~ [, 4) е о о е — ' — 1" — '"е 1'е( )е + <ц~, Зб ы(и) о о Полнота собственных функций У(и) для ио < О доказана в [8). На рис. 1 представлены некоторые собственные функции задачи А для ио = — 0.328. На рнс. 2 приведены значения некоторых первых собственных чисел задачи А в зависимости от ио, при С = О, т.е. для непроницаемой поверхности пластины. Эти значения получены численным интегрированием уравнения (2.1) с краевыми условиями, соответствующими задаче А. Отметим, что Я = — 1 -. собственное число задачи А при всех значениях ио. Соответствующей собственной функцией будет при этом функция а~(и). 1.8) Пограничный слой на донжугцейся нооерхностн Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
