Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Приведенные в работе (2) данные позволяют построить зависимость Су;%с от йе (рисунок). Отметим, что согласно выражениям (3) при йе, близких к единице., справедлива приближенная формула Суз7В,е = — (1 — йе). 4 з/я Работа, совершаемая над жидкостью подвижной поверхностью пластины в единицу времени, равна — Хне, где Х --. сила сопротивления, приложенная к пластине со стороны жидкости. Работа перемещения пластины со скоростью 7У в неподвижной жидкости равна Х77. При ие < 77 сила Х положительна, так что работа отбирается подвижной поверхностью пластины от потока.
Поэтому при ие < 77 часть работы, требуемой для перемещения пластины в неподвижной жидкости, может совершаться за счет этой отбираемой энергии. Внешняя энергия, которую нужно расходовать в единицу времени для движения пластины со скоростью 77, равна, очевидно, Х(77 — ие). График величины этой энергии И', приведенной к безразмерному виду И'з7Ве = — ъ%е е= 4ы(ио, ио)(1 — йе) 211' р77з~ представлен также на рисунке. При ие, близких к единице, йч% = 4 (1 — й,)'. ,/Р 1.5) Пограничный слой на пластине с поовиоеной поверхностью 89 При ив > 11 пластина обладает не сопротивлением, а тягой: сама подвижная поверхность пластины служит движителем, к которому нужно подводить внешнюю энергию.
Пропульсивный коэффициент полезного действия такого движителя равен У/иа. При ие ( У пластина испытывает сопротивление, и для ее перемещения со скоростью У энергия, отбираемая подвижной поверхностью от потока жидкости, вместе с необходимой внешней энергией должна подводиться к каким-либо движителям, создающим тягу и увлекающим пластину. При иа = У пластина не испытывает сопротивления; необходимая для перемещения пластины подводимая извне энергия равна нулю. Течение около пластины является потенциальным, причем таким, в котором и в вязкой жидкости нет диссипации механической энергии (поступательный поток).
Как известно, при установившемся обтекании произвольного тела вязкой несжимаемой жидкостью сопротивление тела будет равно нулю, если течение является непрерывным и потенциальным. Пля того чтобы обеспечить потенциальность течения, точки поверхности тела должны перемешаться специальным образом. При этом, в отличие от случая плоской пластины, подвижная поверхность будет совершать положительную работу над жидкостью, сообщая ей механическую энергию.
Эта энергия рассеивается в вязком потоке,. превращаясь в тепло. Литература 1. Кочин Н.Е., Кибеле И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. М., 1963. 2. Черный Г.Г. Изв. АН СССР. ОТН. 1954. № 12. Глава 1.б ПОГРАНИг4НЫЙ СЛОЙ НА ЛВИМ~Ъ"ЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ. 1") Г. Г. Черный В переменных Крокко сформулированы задача о течениях несжимаемой жидкости в изобарических пограничных слоях у обтекаемой поверхности вли в зоне смешения двух потоков для тех случаев, когда в пограничном слое продольная составляющая скорости может менять знак. Проанализированы все возможные автомодельные решения сформулированной задачи, в частности, подробно изучена задача о пограничном слое на плоской пластине, поверхность которой движется с постоянной скоростью в направлении потока или навстречу ему.
1. Постановка задачи и преобразование уравнений. При обтекании тела жидкостью при больших числах Рсйнольдса Пе у поверхности тела образуется вязкий пограничный слой, толщина которого при ламинарном режиме течения пропорциональна Ке . Ско— 172 рость обтекающей тело жидкости в пограничном слое быстро уменьшается от скорости внешнего течения до нуля на стенке. Если жидкость движется вдоль тела в направлении возрастающего давления, то даже при умеренном градиенте давления скорость жидкости в некоторой части пограничного слоя вблизи стенки может изменить направление на обратное.
Область возвратного течения оттесняет движущуюся в направлении основного потока часть пограничного слоя от обтекаемой поверхности происходит отрыв пограничного слоя. В общем случае толщина пристеночной области, где проявляется действие вязкости, за местом отрыва пограничного слоя становится значительной, так что уравнение гюграничного слоя Прандтля перестают быть годными для описания течения в этой области.
Однако возможны такие случаи течений, при которых возникающая вблизи обтекаемой стенки область обратных токов локализуется *)Избранные проблемы прикладной механики. Мс ВИНИТИ, 1974. С. 709 719. 91 1.6) Пограничный слаб на деижуихебея иоаерхноегаи внутри пограничного слоя, так что и при наличии обратного течения у стенки толщина пограничного слоя продолжает быть порядка Ке . Это может происходить, например, тогда, когда за местом -з1г отрыва давление вдоль обтекаемой стенки вновь достаточно быстро уменьшается и оторвавшийся пограничный слой снова присоединяется к стенке. Другим примером может служить течение в пограничном слое на теле, некоторый участок поверхности которого подвижен и имеет скорость, направленную навстречу внешнему потоку.
В более общих задачах об обтекании тел сквозь поверхность тела может происходить отсасывание или, .наоборот, выдавливание жидкости. При некоторых условиях и в этих случаях толщина пристеночного слоя, где существенно влияние вязкости, имеет порядок Пе так что для описания течения в этом слое можно пользоваться уравнениями Прандтля.
Использованию уравнений Прандтля для решения задач о ламинарных течениях жидкости в пограничном слое на твердом теле посвящена обширная литература [см., например, монографии [1 — 3)). Имеются и строгие доказательства существования и единственности решения уравнений Прандтля для таких течений [4]. Эти доказательства теряют, однако, силу в тех случаях, когда внутри пограничного слоя имоется зона обратных токов. Уравнения пограничного слоя широко используются также для решения задач о ламинарном смешении потоков, имеющих разные скорости, и о течениях в ламинарных струях. В этих задачах решения получены только для течений, в которых продольная составляющая скорости не меняет знак. В последние годы возник, однако, значительный интерес к течениям в пограничном слое в случаях, когда продольная составляющая скорости меняет знак внутри слоя [5).
Отметим работу [6), в которой численным методом решена задача о пограничном слое на плоской пластине конечной длины, помещенной в поток со скоростью П, точки поверхности которой имеют постоянную скорость, направленную навстречу набегающему потоку, равную еП. Кдинственным параметром задачи в соответствующих безразмерных переменных является в этой задаче отношение ж Решение приведено для е = — 0.1, е = — 0.2, е = — 0.3.
В этой же работе [6) изложены результаты решения аналогичной задачи для полубесконечной пластины. Задача имеет при этом авто- модельный характер, и ее решение сводится к интегрированию известного уравнения Блазиуса 2~о'+ Оо = 0 с краевыми условиями 1(0) = О, 1'(О) = е, 1'[оо) = 1. [1.2') Здесь ~~ = Ьссх/Ве1(Ц) - — фУнкциЯ тока; 0 = /Верссх; х и Р -.
кооР- динаты вдоль пластины и по нормали к ней, начало отсчета совмещено с передней точкой пластины. 92 Г.Г. Черный Решение автомодельной задачи существует лишь при е > — 0.3541. По поводу несуществования решения для значений е, не удовлетворяющих этому условию, авторы пишут следующее: "Ясно, что при е < — 0.3541 интенсивность обратного течения такова, что приближения пограничного слоя перестают быть применимыми; пока, однако, не очевидно, почему это должно происходить именно при таком частном значении е".
Ниже мы вернемся к этому замечанию, а также более подробно опишем автомодельные течения и изученные в работе ~6] течения в пограничном слое на пластине конечной длины. Уравнение (1.1) описывает также автомодельное течение в зоне смешения двух однородных потоков при отсутствии продольного градиента давления. Краевые условия (1.2') заменяются при этом на 1 (со) = 1, 1 ( — оо) = е. (1.2Я) Наличие всего двух краевых условий для уравнения третьего порядка делает решение этой задачи неоднозначным: положение границы раздела смешивающихся потоков остается неопределенным (можно принять, например, что границе раздела соответствует Ч = 0).
Неоднозначность эта неустранима в рамках теории пограничного слоя (см. [7)). Решение уравнения (1.1) с граничными условиями (1.2л) существует лишь при е > О, т.е, во всех случаях, когда смешивающиеся потоки направлены в одну сторону. Прн е = 0 скорость одного из потоков обращается в нуль. Лля рассмотрения некоторых свойств течений в пограничном слое с обратными токами ограничимся случаями течения вдоль плоской пластины, для которой уравнения Прандтля имеют вид дв де д'в и — +К вЂ” = —,, О* Л аУ ' (1.3') (1.3") при краевых условиях и = Г (т), У = У (т) при У = О, т > О; (1.4') и = 1 при У -~ оо; (1.4") и = це(У) при т = О, О < У < со. (1.4л') Здесь У = ч'Ве д, У = ч'Не ею; компоненты скорости вдоль пластины и и по нормали к ней с отнесены к скорости внешнего потока о'. Перейдем в уравнениях (1.3') и (1.3л) от независимых переменных ж, У к переменным ~ = т и и и введем новые искомые функции ю = ди/дУ деленное на зУНее/2 безразмерное напряжение трения и ф -- умноженную на з/Ве безразмерную функцию тока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
