Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 15
Текст из файла (страница 15)
2. Линии АО и ВО, соответствующие кон- ' ~ 1с 0) тактной поверхности., получены с использованием связи между давлением р и углом В в простых волнах перед па- 2е дающим скачком и за ним и интеграла Бернулли в дозвуковом потоке; пря- В А молинейный отРезок АВ соответствУет Рис 2 сэбласть те„ения обтекаемой стенке.
Функция тока 4' на в плоскости годографа К б этом отрезке равна нулю, а на контуре АОВ ф = О. расходу газа, в дозвуковом слое; задание О определяет характерный размер задачи ширину слоя в невозмущенном состоянии. Укажем на следующее обстоятельство, отмеченное в работе )6), но не подчеркнутое там специально. Точка О на рис. 2 остается, очевидно, фиксированной независимо от интенсивности падающего скачка, так что сколь бы слабым ни был этот скачок, возмущение течения в окрестности точки О остается конечным. В частности, давление в этой точке существенно отличается от давления набегающего потока —.
оно равно давлению торможения этого потока. Угол подхода линии раздела к точке ее встречи со скачком также не зависит от интенсивности падающего скачка, но угол излома линии раздела в этой точке уменьшается пропорционально уменьшению интенсивности скачка. При неизменных исходных параметрах задачи и неограниченном увеличении ширины дозвукового слоя течение в фиксированной окрестности точки О будет стремиться к автомодельному, соответствующему отражению скачка от свободной поверхности с давлением на.
ней, равным давлению торможения дозвукового потока. Таким образом, при стремлении к нулю интенсивности скачка уплотнения, падающего на границу раздела сверхзвукового и дозвукового потоков, наибольшее возмущение остается конечным и неизменным; этот нелинейный характер взаимодействия сохраняется во все уменьшающейся окрестности точки взаимодействия разрывов. Недавно Н.А. Остапенко сообщил автору об аналогичном свойстве решения задачи о взаимодействии первоначально плоского скачка уплотнения, за которым реализуется дозвуковое течение, с подходящим к нему спереди скачком уплотнения малой интенсивности того же или встречного направления.
Автомодельное решение такой задачи существует лишь в специальных случаях, когда параметры обоих скачков и набегающего потока связаны определенной зависи- 84 Г.Г. Черный мостью. Это ограничение обусловлено дозвуковой скоростью газа за скачком, при которой в автомодельном решении исчезает имеющийся при сверхзвуковом течении дополнительный произвол, связанный с возможностью появления уходящих от точки взаимодействия центрированной волны разрежения или скачка уплотнения. Во всех остальных случаях автомодсльных решений задачи нет.
Отсюда Н.А. Остапенко сделал вывод о том, что при отмеченной выше связи между определяющими параметрами падающий скачок малой интенсивности вызывает малые же возмущения основного скачка и потока за ним. В общем же случае это возмущение остается конечным при сколь угодно малой интенсивности падающего скачка. Такое поведение течения вполне схоже с описанным выше в первой задаче. Математическая постановка задачи в рассмотренном Н.А. Остапенко случао взаимодействия разрывов почти полностью эквивалентна первому случаю. Проанализируем это соответствие двух задач более детально. Их различие состоит в том, что в первом случае связь между давлением р и углом наклона вектора скорости О на неизвестной заранее в физической плоскости границе области дозвукового течения с обеих сторон от точки взаимодействия дается соотношениями в простой волне, а в случае Н.А.
Остапенко вид этой связи определяется соотношениями на скачке уплотнения. Кроме этого, от точки взаимодействия скачков внутрь дозвуковой области отходит тангенциальный разрыв. При наличии тангенциального разрыва предпочтительнее отображать область дозвукового течения не на плоскость годографа, 0 как на рис. 2, а на плоскость р, д. На рнс. 3 треугольная область АГ)В даст пример такого отображения; на рис.
4 изображена конфигурация разрывов в плоскости течения. Буква; В ми на рис. 3 отмечены состояния, А соответствующие одинаково обозначенным точкам или областям в плоскости течения. Определенность отображения обеспечивается условием ограничения области дозвукового тсчения стенкой АВ, наклоненной к набегающему потоку под углом д„, отличным от угла 0 при автомодельном течении. Этим же обеспечивается и наличие необходимого в неавйа бн 9 томодельном случае линейного масРис. 3.
Область течения в штаба., за который можно принять, плоскости р, д во второй задаче например, расстояние ОС. Скачок, 1.4) Особенность неаотолсодельнозо озаилодейстоия разрмооо 85 ,1 Рис. 4. Пересекыощиеся скачки лри дозвуковой скорости газа за ними ограничивающий дозвуковую область, имеет, как и в предыдущей задаче, излом в точке О, образуя вогнутый в сторону этой области угол. Угол наклона скорости за скачком, как и давление за ним, остаются в точке О непрерывными, величина же скорости испытывает скачок, что приводит к образованию тангенцивльного разрыва ОВ. В случае, если интенсивность взаимодействующих скачков достаточно велика, необходимо учитывать завихренность в примыкающем к тангенциальному разрыву ОВ следе за наиболее искривленной частью скачка вблизи точки О.
В силу сложности краевых условий для функции тока на участке АОВ в плоскости р, 0 фактическое решение задачи удобное производить непосредственно в плоскости течения. Это, конечно, усложняет решение по сравнению с первой задачей. Как и в случае работы ~б1, при неизменных параметрах задачи и неограниченном удалении точки С от точки О течение в фиксированной окрестности этой точки будет становиться все более близким к автомодельному, соответствующему той специальной связи между исходными параметрами, о которой говорилось ранее. В отличие от рис. 2, положение точки О на рис.
3 зависит от интенсивности первого скачка угла е. Однако, как показал Н.А. Остапенко,при е †) 0 положение точки О стабилизируется и, следовательно, в этом предельном случае нелинейные эффекты остаются существенными при сколь угодно малых е во все меныпей окрестности точки О, интенсивность же тангенциального разрыва стремится к нулю вместе с е. Конечно, нужно иметь в виду, что при достаточно малом размере, области, где существенны нелинейные эффекты, вследствие больших градиентов газодинамических величин в ней становится необходимым учитывать влияние вязкости и теплопроводности газа.
Отметим.,что в линейном приближении с учетом завихренности течения давление зв скачком в точке О имеет, как и в задаче работы ~61, логарифмическую особенность. Вообще, в линейном приближении (по е) математические задачи о взаимодействии идущей из сверхзвуковой области слабой волны давления со скачком уплотнения или с контактным разрывом с дозвуковой скоростью за ними почти полностью идентичны.
1.Г. Черный Литература 1. Роапдественснпй Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамихе. Ма Наука,. 1968. 592 с. 2. Ландау Л.Н., Лпфшппе Е.Л4. Гидродинамика. Ма Наука, 1988. 733 с. 3. Черный Г.Г. Газовая динамика. М., 1988.
424 с. 4. Ноыаг15 б. Н Ргос. Сапзбг168е Рбйоь. Яос. 1948. Ч. 44. Р. 380-390. 5. Тв1еп Н.Н., Р1пвсопе М.,',~ 3. Аегоп. Всб. 1949. У. 16. № 9. 6. Черный Г.Г. Влияние дозвуковой части пограничного слоя на положение скачков уплотнения. Сб. статей № 9. Теоретическая гидромеханика / Под род.
Л.И. Седова. Мо Оборонгиз, 1952. Вып. 2. С. 63 — 96. Глава 1.5 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ С ПОЛВИ~КНОЙ ПОВЕРХНОСТЬ1О *) Г. Г. веерный Рассмотрим классическую задачу об установившемся ламинарном обтекании несжимаемой вязкой жидкостью пластины в виде полуплоскости, установленной вдоль по потоку; примем, что кромка пластины перпендикулярна набегающему на нее потоку. В случае, если поверхность пластины неподвижна, эта задача в приближении теории пограничного слоя решена в 1908 г.
Блазиусом (см., например, ~11). Введем в качестве искомой функции величину ю = (ди/и~)/77, где и продольная скорость жидкости, 17 се значение в набегающем потоке, ~ = у ~,~ГДЕ) безразмерная координата (я и у координаты вдоль пластины и по нормали к ней соответственно, и кинематическая вязкость жидкости).
За независимук> переменную примем отношение и/У = и. В переменных ю, й решение задачи Блазиуса сводится к нахождению решения уравнения д~ю/дй~ + й/(2оз) = 0 с краевыми условиями ой~=О при и=О, ог=О при и=1. Пусть теперь поверхность пластины имеет во всех точках одну и ту же скорость ио. Для нахождения решения в этом случае нужно по- прежнему интегрировать уравнение (1), но при более общих краевых словиях у ю' = 0 при й= ио, ю = 0 при й= 1, (2) Решения уравнения (1), позволяющие удовлетворить таким краевым условиям, т.с. функции м(йо, и), были детально изучены в работе [2) применительно к задаче о пограничном слое на проницаемой поверхности, сквозь которую в поток вводится жидкость со свойствами, в общем случае отличными от свойств жидкости во внешнем *)Покл. АП СССР.
1973. Т. 213. Хз 4. С. 802 803. (Гл. 88 Г.Г. Чсрвмп потоке. В частности, согласно работе (2), при йе, близких к единице, решение ы(ие, и) имеет следующий асимптотический вид: ы = ехр( — з~), и = но+ (1 — йе)Ф(з), з/л (3) Ф(я) = — ~ ехр( — я) сЬ. 2 2 ,уй l Коэффициент силы трения Су, действующей на одну сторону пластины длиной 1, дается формулой С, %.=4 (йе й,), (4) где Пе число Рейнольдса, определяемое выражением Пе = И/и. По вычислениям Блазиуса 4ы(0, О) = 1.328.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
