Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Поэтому можно полагать, что отсутствие автомодельных решений при е < с,„ы свидетельствует нс о том, что теряют силу уравнения пограничного слоя, как считают авторы работы (6), а о том, что для полубесконечной пластины решение, действительно, нс существует, а для пластины конечной длины решение есть, но оно существенно неавтомодельно. Подчеркнем, что в работе [6) при численном расчете обтекания плас- На рис. 6 приводены для области П возможные виды течений, соответствующие уменьшающимся значениям с для одной и той же функции со(и). Если интегральные кривые в областях П! и !Ч рассматривать как решение задачи (2.2), т.е. полагать, что П = 0 при и = с, то значение П = в!*, соответствующее точке перегиба профили и(П) при С э эо будет иметь порядок и* 2С,е е7. Зля интегральной кривой 4:! при с — в 0 координата и' — 1пс, константа С стремится при этом к 0.6193.
Если интегральные кривые в областях ! ! и !У рассматривать как решение задачи (2.3), полагая, что и = О, там где ео' = О, т.е. там, где профиль скорости имеет перегиб, то асимптотический вид профиля скорости при и — э е, т.е. при и -Э вЂ” оо определяется формулами, аналогичными асимптотическим формулам (2.4) ы = Ае ', и = е+ — (1 — его!), со,', = тссй Я Для интегральной кривой В, рассматриваемой как решение задачи (2.3) при е = О, асимптотический вид профиля скорости при и — > О, т.е. при и -+ -оо определяется формулой с !0!я [Гл. 100 1.Г.
Черный 0 02 04 06 08 Рис. 7. 0.4 0.3 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Р Рис. 8. тины конечной длины установлено, что если при е = — 0.1 течение очень близко к автомодельному почти по всей длине пластины, то при е = — 0.3 течение начинает заметно отличаться от автомодельного уже на малых расстояниях от передней кромки пластины (см. рис. 7 и 8, взятые из работы [б), где показаны границы области циркуляционного течения вблизи пластины и распределение на пластине величины з(6,.
а) = Я (ди/дУ) [; сплошные линии относятся к т=о' пластине конечной длины, штриховые соответствуют автомодельному решению). Напомним хорошо известную в теории сверхзвуковых течений газа ситуацию при обтекании бесконечного клина (или конуса). Нля каждого числа Маха набегающего потока существует предельное значение полуугла при вершине клина, такое, что при меньших значениях этого полуугла существуют два разных автомодельных решения, а при больших значениях полуугла автомодельное решение для бесконечного клина не существует, для клина же конечной длины решение есть,но оно неавтомодельно.
Литература 1. ЯейЬсИту Н. Сгепвзс1йс1п-ТЬеог1е. Ксг1згвЬе, Уег1а8 С. ВгаппвсЬин 1966 = Ш.тхтине Г. Теория пограничного слоя. Мс Наука, 1969. 2. Лойнянсннй Л.Г. Ламииарный пограничный слой. Мс Фнзматгиз, 1962. 1.6~ Пограничный слой на йвижтутпсйся поверхности 101 3. Р1пЫ шойоп шешоЬв, Ьашшах Ьоппйвху !ауегв. Ап ассоппт о! 1Ье йече!ортпепт, втптстше апт! втаЬ!!!ту о! 1атшпаг Ьопш1агу 1ауегв пт шсошрхевхйЫе бп!йв, 1обетЬег тч!тЬ а йевспртюп о! тЬе аввос!атей ехрег!шеШа1 тес!тп!т!пев,т Ей, Ь. НозепЬеай, Ох!огйт С1агепйоп Ртевв, 1963. 4. Олейник О.А. Матоматические задачи теории пограничного слоя фтт Успехи матем. наук, 1968.
Т. 23. № 3. С. 3 -65. 5. Вгомп Я.№, Ятсвтагтвоп К. 1 апопах вератлйоп фтт Атпт. Неч. Р!тт!й МесЬ. У. 1. Ра!о А1со, Са!!1., 1969. Р. 45. 72. б. К!стр л'.В., Аспиов А. А пютЬой !ог ппебгайпб тЬе Ьошн1агу-1ауег етттта- 1!опв тЬгопбЬ а теб!оп о! чечетке Нотч /тт,!. Р!и!й МесЬ. 1972. 1т. 53. № 1. Р. 177 †1. 7. К!етнр л.В., Асгтиов А. А поте оп тЬе !шп!пвх ппхшб о! ттчо пп!1отш рата!!е1 веш1-!ттбп!те втхеашв т7 Л.
Р!пЫ МесЬ. 1972. Ъ'. 55. № 1. Р. 25 — 30. 8. Черный Г.Г. Ламинарные движения газа и жидкости в пограничном слое с поверхностью разрыва П Изв. АН СССР. ОТН. 1954. № 12. С. 38-67. 9. Каввоу П.Л. А тево1пйов оу тЬе Ыочт-оК сйпбп!впту бог вшп!вхйу Яотч оп а бат р!а!с ттт .!. Р!и!й МесЬ. 1974. У. 62. № 1. Р. 145 — 161.
Глава 1.7 ПОГРАНИс1НЫЙ СЛОЙ НА ЛВИ2КУЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ. П *) Г. Г. Черный (2 а) (2 б) я=О при и=1; я = яг(и) при 1 = (о, я=к(и) при (=1, и)0, и < О. (2 а) *) Аэромеханика. Мс Наука, 1976. С. 99. 104. Рассмотрим стационарный пограничный слой несжимаемой жидкости на плоской подвижной проницаемой поверхности при постоянной скорости внешнего потока.
Пусть С координата вдоль пластины, отсчитываемая от некоторой ее точки (например, от передней кромки), р координата по нормали к пластине (обе координаты отнесены к некоторой длине, по которой определено число Рейнольдса Не),и и п продольная и поперечная составляющие скорости, отнесенные к скорости внешнего потока. Введем также обычные для теории пограничного слоя переменные У = ъ~Ве еу и У = ай~Нее. В работе ) Ц задача о расчете пограничного слоя в выбранных переменных сведена к нахождению функции я = .Дди/дУ из уравнения — + — = ис— здя ая дя диз 2 д1 (1) в области, ограниченной прямыми С = Са < 1, С = 1, линией и = = 17 ((), соответствующей поверхности пластины, и прямой и = 1, соответствующей внешнему потоку.
Две последние линии не должны пересекаться, так как при выводе уравнения (1) предполагается, что величина ди/дУ в области течения не меняет знака. Краевые условия для функции я таковы: я — = ЛУ я+Я„.Б, при и = 17,„; 1оз 1.7) Пограничный слой на доижденейся иооерхности Рис. 1. После определения г(и, с) зависимость составляющих скорости и и и от координат находится из соотношений и=Я 1 —, г'= — +и —. 7 г да дс о В работе [1] подробно описаны автомодельные решения задачи о пограничном слое на пластине при У . = ио = солей Для таких решений г = оо(и), так что уравнение 11) приобретает следуюзцую форму; 2акоо+ и = О, (3) а краевые условия (2а) и 124) преобразуются к виду ш =С при и=ио; 14 а) со=О при и=1, 14 д) где С = ЯК, = сопзс.
Функции в краевых условиях 12о) не могут быть предписаны из-за предположения об автомодельности решения. На рис. 1 показаны интегральные кривые уравнения (3), удовлетворяющие условию ы = О при и = 1. На этом же рисунке штриховыми линиями соединены на разных интегральных кривых точки с одинаковыми значениями С. При каждом С решение существует лишь при ио > и~(С), причем при и~ < ио < О для каждого С есть два решения.
Рассмотрим более детально обтекание непроницаемой пластины, когда С = О. Пусть известно решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям (4а) и 14б) при С = О. Будем искать решение уравнения 13) методом разложения по малому параметру при условиях ш'=О при Уи =ив+с, 15 а) ы=О при и=1, (бд) [Гл. 104 Г.Г. Черный Вид кривой С = О парне. 1 вблизи ио — — ино где и,„- - наименыпее нз возможных значений ио при С = О, т.е. вид зависимости аг(и„, + е, и + е) от е подсказывает, что вблизи ио = и„, разложение ог по е следует искать в виде: ог = о/о + [я[ огг ~г + [е[огг + [е[ огз/г + ° ° Используем этот же вид разложения и для других ио.
Уравнения, определяющие первые последовательные коэффициен- ты разложения ого, оггуг. осы огзуг и огг, имеют вид 2огоогос + и = О, Цаггуг) = О, г и и з г (огг) = г огг /г> ~(огз/г) г ог1/г ыг + е огг/г 2сгоз огог 2ого и и г Зи г гг 4 ь(огг) — г оггг'г огзгг 2 г 1 + 2 г ~ггг ~е 2 е ггг: ого 2ого 2огс 2ого ь(ог) = ы — ог.
2,г о Из условия (55) получим ого(1) = О, аггее(1) = О, огг(1) = О, огзуг(1) = О, огг(1) = О, а условие (5а) после разложения по е приобретает вид при и = ио !с ага+с ~о + е — + 0(е ) + и [оггуг+еогг~г+ 0(е )]+ +[е[[аг[+еаг,"+0(е~)]+[с]~г'[ог'у +0(е)]+[с[~[ого+0(е)]+0([е[зг~) = О. Отсюда г г и о'о = О огггг — О агг х'со = О (6) г с ~ с 1 о~ агзго х ог„уг — — О, огг х огг + — ого — — О. 2 Верхний знак соответствует положительным, а нижний отрицательным значениям е. Зля нахождения функции аггуг используем асимптотическое представление функции ого(и) и оператора Ь при значениях и, близких к единице [1], а именно: ого = Ае ', и = 1 — ~lяА(1 — егЕ1), дно(е1и = — 1, Прн замена точных выражений приближенными пренебрегают разностью 1 — и н сравнительно с единицей.
Уравнение А(ог) = О имеет общее решение [2]: 1.7) Пагранееиный слав на да74нсущейся паеерхнаст74 105 Условие и7172 = 0 при и = 1, т.е. при 1 = со, требует, чтобы С1 — — О. Таким образом, при 1 » 1 [3) Константу Сз выберем так, чтобы и7172(0) = 1. Нормированную таким образом функцию обозначим через Й(и). Представим функцию 37172 в виде и71 72 — — К172 Й. Тогда функцию ш1 можно записать следующим образом: 1'71 К1~1 + К1/2111 где частное решение Й1 удовлетворяет уравнению 74и1) = — ' Й' 2"'о и имеет следующее асимптотическое выражение при 1 )) 1: Й1 — — е ~ — — + — г ...).
ОС3 Л '1 424 Р Функцию и7372 можно представить в виде 373/2 = Кз!2Й+ К17211 + 2К112К1Й1 где Йз удовлетворяет уравнению 1 2) — 4 3 1 2 4 3 и имеет асимптотическое выражение при 1 >) 1 Сз Подстановка написанных выражений для функций 371,72, 371, а7372 в краевые условия (6) дает Куза(ие) = 0; К111'7ие) + К1~2Й1(ие) х и7е'(ио) = 0 з Р) Кз,гЙ + К172Й2+ 2К1~2К1Й + —, К1/2Й = О. 2373 Если ие ф и, то Й'(иа) 7': О, и, следовательно, К1 72 = О.
При этом все функции и71 72, и7372 и т.д.7 имеющие дробные индексы, равны нулю. Коэффициенты К1, Кз и т.д. в решении найдутся из соответствующих неоднородных условий при и = ие, как со знаком плюс, так и со знаком минус. В случае ие = и = — 0.3541 выполнено равенство Й'(ие) = О. Из второго условия (7) и того, что в этом случае Й1(74е) ( О, найдем, что решение существует только, если во втором условии (7) взять знак плюс, т.е. если скорость поверхности пластины равна и„, + е, где е > О. При этом 17: = 417 Д2 а',7 = 443774, [Гл.
Р06 Г. Г. Червьйь ь,ьг — еь„,[и„,) + е Кь ьгй[и„,) + +,[К й[ ',„)+К й [и ))+ +О(е~ь~) = 0.155х0.442е~ьг+ + 0.056 е + 0(е~ь ~). Для коэффициента сопротивления пластины отсюда получим Су зььНе е= 0.620 х 1.767е'ь~ + + 0.225е + 0(е~ь ~). При 'ие = и,„производная ь107 (с1ьье обращается в бесконечность. Это свидетельствует о том,что и при других возмущениях автомодельного течения с ио = и,„ будет,повидимому, происходить резкаяперестройкапограничного слоя.
В заключение отметим, что согласно найденной в работе [1) зависимости коэффициента сопротивления непроницаемой пластины от скорости перемещения ее поверхности ио~) при ио < О, т.е. при перемещении поверхности навстречу набегающему потоку, сопротивление пластины Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
