Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко. (1014100), страница 17
Текст из файла (страница 17)
После соответствующих преобразований, принадлежащих Л. Крокко, получим уравнения дй и дй дю (1.5) ди ы' д( ди' 1.6) Пограничный слой на движуеаейся лоеерхноснж 93 (1. 7) и=1 при У-э со, и =е при У вЂ” ~ — со, и=ив(У) при х=О, — со<У<со, а краевые условия (1.8') — (1.8о') условиями ш=О при и=1, (1.10') иг=О при и=с, (1.10о) ш=ш (и) при ~=0 (1.10о') для тех значений и, которые принимает функция ио(У).
В соответствии со сказанным ранее о неоднозначности решения задачи о течении в зоне смешения, нижний предел интеграла и выражении (1.9) в этом случае не определен. Если принять, что прямая У = 0 есть линия раздела смешивающихся потоков, то вдоль нее У = 0 и из второго уравнения (1.6) следует, что нижний предел ГГм в интеграле (1.9) определяется дифференциальным уравнением д" = (6 ГГ )ш„'(6 Гу ) дУ 1 дш д1' — — У = — +и —. (1.6) ди ш' ди дб Исключив гр из уравнений (1.5), получим уравнение для определе- ния ш д дх шг дб ди' ' Так как якобиан преобразования от переменных х, У к перемен- ным 4, и равен ди/дУ, т.е. ш, то уравнение (1.7) следует использовать при изучении таких течений, в которых и не меняет знак.
Краевыми условиями для уравнения (1.7) будут Ш вЂ” = ШЪ'„,(О + ГГе,ГГ,„(С) ПРИ и = ГГмЯ, (1.8') ш=О при и=1, (1.8о) и = ине(и) при 4 = О. (1.8'о) Условие (1.8') получено из уравнения (!.3') при У = О, усло- вие (1.8о) из условия (1.4о), функция ше.(и) в условии (1.8о') по- лучена путем дифференцирования функции ио(У) в условии (1.4'о) и исключения У из соотношений и = ио(У) и шл — — ио(У). ГГосле вычисления функции ш(с, и) величина У находится квад- ратурой первого уравнения (1.6) ~' с!и (1.9) и„, а составляющая скорости У определяется вторым соотношением (1.6).
Если уравнения (1.3') и (1.3о) или., соответственно, уравнение (1.7) использовать для описания течения в зоне смешения двух потоков, направленных в одну сторону, то краевые условия (1.4') .(1.4о') заме- нятся условиями [Гл. Г.Г. Чср а г д г иг д» г + — = и~ —, диг 2 д8' (1.11) удовлетворяющего условиям г — = Яг1г, +8Гг„,(7 при и = У„,, ди (1.12') (1.12") (1.
12"') г — 0 при и — 1, г-эюЯ при 8-+О. При этом и. (1.13) Краевая задача (1.7)-(1.8) или (1.11) -(1.12) имеет много общего с задачей Трикоми для уравнения смешанного типа гиперболического при и > 0 и эллиптического при и < О. Если требуется найти решение при 0 < 4 < се и если при с = 4е величина У > О, то краевые условия (1.8) для уравнения (1.7) или краевые условия (1.12) для уравнения (1.11) достаточны для определения решения. Если же (7м(~е) < О, т.е. если при ( = 8е вблизи стенки имеется обратное течение, то необходимо дополнительно задавать значения функции и или, соответственно, г при этом значении ( в и а-гг (и) и) Рис.
1. Начальное значение У при ч = 0 равно ие(0), если функция ие(У) непрерывна при У = О. Если ие(У) имеет разрыв при У = 0 и производные и' (+0) и н'( — 0) конечны, то начальное значение Ум следует брать из решения автомодельной задачи о смешении двух однородных потоков со скоростями ие(+0) и ие( — О) Пля дальнейшего удобно ввести новую функцию г = ю Я. Краевая зада за для функции г, соответствующая задаче (1.7) — (1.8), состоит в нахождении решения уравнения 1.6) Паеранинный сноб на движуеаейся новерхнвстпи йю (и) Рис. 2. интервале У,(6а) < и < 0 (см.
рис. 1). Физически это означает, что при паличии при с = 6а обратного течения нужно задать распреде ление скорости в этом течении. В задаче о смешении двух встречных потоков (т.е. в случае, если в условии (1.10н) с < 0) вместо (1.10н) нужно взять условия (см. рис. 2) ие = юв (и) при ~ = О, ие(+0) < и < 1, ю=ю (и) при с=со, с<и<ив( — 0). При тех значениях с, при которых и < О, обычные методы интегрирования уравнений параболического типа от слоя к слою в сторону возрастания ~ в рассматриваемых задачах непригодны, так как в области, где и < О,направление интегрирования должно быть обратным Лля нахождения решения можно использовать метод последовательных приближений, который состоит в следующем. Вначале задаем ю(С, 0) на, отрезке 0 < С < Са и интегрируем уравнение (1.7) в области !при и > 0 от ~ = 0 в сторону роста ~, а в области П при и < 0 от с = сэ в сторону уменьшения с.
В результате найдем, в частности, ю.',ф +0) и ю' (с, — 0) на отрезке 0 < с < се. После каждой итерации значение и((ф, 0) исправляется по формуле ю'„(б, .— О) — и' (6, .-с0) ) ю'„(б, -с0) ю ( где 0 параметр, значения которого заключены в пределах 0 < 0 < < 1. Описанная здесь схема вычислении аналогична предложенной в работе [6] схеме интегрирования уравнения для функции тока. Если в области П зависимость х от и имеет аналитический характер, как это может быть в задаче о пограничном слое на движущейся стенке (в задаче о смешении встречных потоков это нс так), то условие (1.12') при и = Уев можно при малых значениях Г перенести на линию и = О, разлагая функцию х в ряд Тейлора в окрестности этой линии.
Таким образом, вместо (1.12') получим при и = 0 Г.Г. Черный д /С д 11 1 /. де~ 1д Сд д 1 ди 1,2е д4 4) Зе ~, дс ди 2 ди е ди дс) = е ЯРи+ Я,Д„(1 - ' — 'П„,) + 0(П.'). После нахождения с помощью этого условия решения в области 1, функция е в области П представится выражением яп = гз1С, 0) + я~„(~, 0)и + — я~",'„и (4, 0)и + 0(и ).
2. Автомодельные течения. В случаях, когда функция я зависит только от и, .положим я = ы(и), после чего уравнение (1.11) и соотношение (1.13) примут вид 2ихии + и = О, (2.1) и, Краевые условия (1.12) в задаче обтекания пластины преобразуются к следующим ы=О при и=1, (2.2') иг =С при и=а (2.2 и) Здесь С = ЯИ . Краевые условия (1.10) в задаче о смешении двух потоков приобретут вид (2.3') (2.3и) ы=О при и=1, ы~=С при и=а Уравнение (2.1) подробно изучалось в работе автора ~8]. И в задаче об обтекании пластины, и в задаче о смешении двух потоков первые краевые условия одинаковы: ы(1) = О.
В работе )8) приведено асимптотическое представление функции ы(и) при и, близких к единице. В параметрической форме это представление имеет вид ы = Ае ~ . и = 1 — иеяА(1 — ег11). 12.4) В качестве параметра 1 служит величина ы'. На рис. 3 представлены интегральные кривые уравнения (2.1), удовлетворяющие условию ы(1) = О. Эти интегральные кривые иллюстрируют решения задач 12.2) и (2.3) при всех допустимых значениях входящих в формулировку задач параметров с и С. На рис. 3 нанесены также кривые, соединяюгцие на разных интегральных кривых точки с одинаковыми значениями С. Отметим особо кривую, соединяющую точки с С = О. Обратимся сначала к задаче (2.3), содержащей один параметр е. Решение этой задачи дается интегральными кривыми, начинающимися в точке и = 1, ш = 0 и заканчивающимися в точке и = с, ы = О.
Видно, что решение существует при всех с ) О. Это решение мож- 97 1.0) Погранпчныб евой иа двихеущейея пооерхноегаи Рис. 3. но рассматривать как предельный случай решения задачи (2.2) при С вЂ” в со. Таким образом, при е > 0 существует единственное решение задачи (2.2) при любом значении С. Если е < О, то значения С, при которых существует решение задачи (2.2), ограничены сверху величиной С (е). При этом каждому С < Сш соответствуют два разных решения, и одно из этих решений при е -+ 0 переходит в решение об обтекании пластины с неподвижной поверхностью и отсосом или вдувом жидкости со скоростью Ги = Сс '~~. Второе решение при е — в 0 и при любом С < С„,(0) = 0.6193 стремится к одному и тому же решению а = О, ео = 0; пограничный слой, отделяющий набегающий поток от жидкости, протекшей сквозь поверхность пластины, оттесняется при этом в бесконечность.
Как показано в работе (9), при е = 0 и С вЂ” т Со,(0) асимптотическое поведение решения уравнений Навье Стокса при Пе — т оо не описывается уравнениями пограничного слоя Пралдтля: толщина вязкого пристеночного слоя имеет в этом случае порядок Пе, а не Пе, как в теории -т/3 — 1/2 С Прандтля.
нет На рис. 4 приведена область сущест- решений вования решений задачи (2.2) в плоскос- 0.6193 тик, С. одно При фиксированном значении С с решение уменьшением е от единицы значе- 0 З541 0.5 1-В ние ы(е, е, С), т.е, коэффипиент поверхностного трения на пластине, сначала увеличивается, а затем начинает уменьшаться. Максимум значений ох(е, е, С) при отсосе, т.е. при С < О, соответ- Рис. 4. [Гл. 98 1.Г.
Черный ствует отрицательным значениям е, а при вдуве, т.е. при С > 0 положительным е. При С = 0 максимум О>(е, сс 0) достигается при е = О. Таким образом, движение поверхности навстречу набегающему потоку приводит к уменьшению поверхностного трения по сравнению со случаем неподвижной поверхности. При предельном значении е = — 0.3541, при котором еще существует автомодельное решение с С = Ос значение ы[е, ес 0) составляет 0.1557, т.е.
уменьшается более чем в два раза сравнительно с величиной ы[0, О, 0) = 0.3321 в решении Блазиуса. Интегральными кривыми А (и = 1), В (решение Блазиуса) и Р (решение задачи об истечении однородного потока в область с покоящейся жидкостью) поле интегральных кривых на рис. 3 делится на четыре области, отличающиеся качественно разным поведением Ои + Ои <О -+ — СО и ни <О Ои <О и -+ — СО и — И вЂ” СО и О <О и -+ — сс и Ои <О си >О Ои <О и -+ — СО Ои >О 4 С (о) Ои + И! „0 1Ч „-+-СО и и<0 иы >О Ои >О Ии + ~со Рис.
5. интегральных кривых. На рис. 5 приведены примеры профилей скорости и[0), соответствующие функциям си(и) в каждой из четырех областей, а также профили скорости, соответствующие граничным решениям В и Р. У каждого профиля указаны области измонения координаты О, в которых нормальная к лилии и = сопз1 составляющая СКОРОСТИ Он ИМЕЕТ тОт ИЛИ ИНОЙ ЗНаК.
ОтМЕтИМ, ЧтО ПРИ тЕХ ЗиаЧЕ- ниях л, где О„= О, кривизна профиля скорости обращается в нуль н может менять знак. 1.6) Поеранинный свой на движдеаейся новерхностаи 99 о о О о о у о <о <о Рис. б. где С (0) = 0.6193. В точках границы области существования решения на рис. 4 при с < 0 (отметим, что граница эта есть линия бифуркации решений) решение не обладает какими-либо особенностями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
