Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Проинтегрировав уравнение (13.82) по х, мы получим х 1 3 1 Г l [з д[1 — О бз= [збн+ — ~ ( — — ) 2 рз[1 ~ 1 Рг ду г'х (13.85) В случае тенлоизолированной стенки (д[!ду) = О, и поэтому второй член в правой части исчезает. Введем скорость звука с', = нЛТ1, соответствующую температуре Т1 на внешней границе пограничного слоя; тогда мы будем иметь 1 сз 1,= с„Т,=— к — 1 и на основании уравнения (13.85) 1 бл — — — (н — 1) Мн бз, (13.86) где Мн = Юсз есть местное число Маха на внешней границе пограничного слоя. Внеся выражения (13.79) и (13.86) в уравнение (13.81), мы получим уравнение энергии в следующем окончательном виде: (13.87) Уравнения (13.80) и (13.87) выражают собой теорему импульсов и теорему энергии для сжимаемого ламинарного пограничного слоя на теплоизолированной стенке.
На этих теоремах основан излагаемый ниже приближенный способ расчета сжимаемого ламинарного пограничного слоя, предложенный Э. Грушвитцем. Для несжимаемого течения Мн-з- 0 и уравнения (13.80) и(13.87) переходят в уравнения (8.35) и (8.38), выражающие теорему импульсов и теорему энергии для несжимаемого ламинарного пограничного слоя. Приближенный способ Грушвица. Из весьма многочисленных приближенных способов расчета сжимаемого ламинарного пограничного слоя изложим здесь только способ Э.
Грушвитца (зо!. Он применим для теплоизолированной стенки при законе вязкости с показателем степени оз = 1 и при произвольном числе Прандтля. С точки зрения вычислительной техники он сравнительно прост и, кроме того, при предельном переходе к несжимаемому течению непосредственно переходит в способ К. Польгаузена и Хольштейна — Болена, подробно изложенный в главе Х. Для использования теоремы импульсов (13.80) и теоремы энергии (13.87) аппроксимируем, как и в главе Х, распределение скоростей и распределение энтальпии в пограничном слое подходящими полиномами. При этом вместо расстояния от стенки у введем безразмерное приведенное расстояние от стенки 1[ =- —, — 1[У, (13.88) о 333 ПОГРАНИЧНЫИ СЛОЙ С ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ где з (х) 6' (х) =.
) — ззу Р1 0 (13.89) есть приведенная толщина пограничного слоя. В равенстве (13.89) 6 (х) есть то конечное расстояние от стенки, на котором пограничный слой смыкается с внешним течением. Следовательно, Ч=1 при у=6. Ч=О при у=О и Для несжимаемого течения Ч = уЯ (х), как это было принято при выборе полинома (10.19). Профиль скоростей аппроксимируем по аналогии с полиномом (10.19) полиномом четвертой степени = с111 + сзЧ + сзЧ + сзЧ (13.90) Из таких же граничных условий, как и в случае несжимаемого течения [равенства (10.20)], найдем коэффициенты л л л л с1=2+ — сзхх — — ° сз= — — 2 с1=1 —— 6' 2' 2 ' 6 где Л вЂ” — —— (13.91) есть формпараметр профиля скоростей, который должен быть определен ив теоремы импульсов.
Далее аппроксимируем полиномом не профиль энтальпии, а величину 1 — — — ' =Ьз+Ьзз)+Ьзй + ЬзЧз+Ь1Чз+ЬзЧз. ( и)р! Для шести коэффициентов Ьз,..., Ь, имеется пять граничных условий. Сле- довательно, один из коэффициентов остается свободным, и его следует опре- делить из теоремы энергии (13.87). В качестве свободного коэффициента выберем р, т,„ 0 т, ' (13.92) т. е.
отношение температуры стенки к температуре на внешней границе погра- ничного слоя. Для дальнейшего расчета целесообразно, как и при расчете несжимаемого течения по Хольштейну — Болену, ввести параметр К=Л(61)'=Ь, "— '" (13. 93) аналогичный параметру (10.27). Параметры К и Л связаны между собой таким же соотношением, как и соотношение (10.30) при несжимаемом течении.
так как плотность р входит во все вычисления только в этой комбинации- Для аппроксимации возьмем полипом пятой степени 336 ЛАМИНАРНЫЕзПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ ПРИ СЖИМАЕМОМ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. ХН! Толщину потери импульса бз и толщину потери энергии бз можно выраэить, как и при несжимаемом течении, в виде функций от Л, а именно: б, 3? Л Лз б' 315 Ж5 9072 ' бз 798 048 — 4 656Л вЂ” 758Лз 7Лз б' 4 324 320 Наконец, введя универсальные функции Кз (К) = 1 — — — ~ —, — Р г х — 1 б' г бз (12+Л)з г 2 бз [ б' 2160 (13. 94) (13.
95) (13. 96) (13.97) и выполнив довольно кропотливые выкладки, получим иэ теоремы импульсов (13.80) и теоремы энергии (13.87): — — = К! (К) — — [2 — МазРз (К)) бе[7 Збз К (13. 98) ос-- (1+" 2 (Иа') 1 Маер К . (13.99) Функции К! (К) Кг (К), Рз (К) и Кз (К) вычислены Э. Групгвитцем и даны в таблице 13.1. Т а б л и ц а 133 Универсальные функции для приближенного расчета сжимаемого ламинарного пограничного слоя.
По Э. Грушвнтцу (40). Рг=0,725, х — — 1,4 (воздух) Рз О, 0948 О, 090 0,085 0,080 0,077 0,075 0,070 0,065 0,060 0,055 0,050 0,045 0,040 0,035 0,030 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 0 — О, 005 — 0,0!Π— 0,015 -0,020 — 0,025 — 0,030 12,00 9,44 8,34 7,49 7,052 6,77 6,135 5,554 5,015 4,509 4,029 3,570 3,129 2,703 2,290 1,888 1,496 1,И2 0,735 0,365 0 — О, 360 — О, 716 — 1,069 — 1,419 — 1,766 -2,И[ 0,1422 0,1449 0,1482 0,1518 0,1540 0,1556 0,1597 0,1640 0,1685 0,1732 0,1781 0,1831 0,1882 0,1935 0,19 90 0,2046 0,2103 0,2162 0,2223 0,2285 0,2349 0,2414 0,2481 0,2549 0,2619 0,2690 0,2764 [,И5 0,993 0,952 0,925 0,9И 0,903 О, 885 0,870 0,857 0,845 0,835 0,825 0,816 0,808 0,801 0,794 0,787 0,782 0,776 0,771 0,765 0,760 0,756 0,751 0,747 0,743 0,739 0,518 0,399 0,358 0,330 0,3!6 0,308 0,290 0,275 0,262 0,2 50 0,240 0,230 0,221 0,213 0,206 0,199 0,193 0,186 О, 181 0,175 0,170 0,166 0,161 О,!56 0,152 0,148 0,145 0,685 0,519 0,463 0,4 24 0,405 0,394 0,370 0,349 0,330 О, 3144 0,299 0,286 0,274 0,262 0,252 0,242 0,233 0,2 24 0,216 0,209 0,202 0,195 0,188 О,!82 0,1?7 0,1 ! 0,16[у — 0,035 — 0,040 — О, 045 — 0,050 — О, 055 — О, 060 — 0,065 — 0,070 — 0,075 — О, 080 — О, 085 — 0,090 — О, 095 — 0,100 — О, 105 — О,ИΠ— О,И5 — 0,120 — 0,125 — 0,130 — О, 135 — 0,140 — О, 145 — 0,150 -0,155 — 0,157 — 2,455 — 2,7 98 — 3,141 — 3,4 83 - 3,826 — 4,170 — 4,515 — 4,861 — 5,210 — 5,562 — 5,916 — 6, 275 — 6,6 38 — 7,007 — 7, 382 — 7,764 — 8,154 — 8,553 — 8,964 -9,387 — 9,826 — 10,282 -10,760 — И, 265 — И,ЗΠ— 12,00 О, 2839 0,2916 0,2993 0,3073 0,31 55 0,3240 0,3326 0,3414 0,3505 0,3599 0,3694 0,3792 0,3892 0,3995 0,4102 0,4212 0,4323 0,4439 0,4561 0,4689 0,4822 0,4962 0,5108 0,5263 0,5436 0,5485 О, 736 0,732 0,729 0,726 0,723 0,720 0,718 0,715 0,713 О,?10 0,708 0,706 0,?04 0,702 0,701 0,699 0,697 0,695 0,694 0,693 0,692 0,691 0,691 0,690 0,690 0,690 0,141 0,138 0,134 0,131 0,128 0,126 0,123 0,120 О,И8 О,И5 О,ИЗ О,И1 0,109 0,107 0,106 0,104 0,102 0,101 0,099 0,098 0,097 0,096 О,ОЭ6 0,095 0,095 0,095 0,161 0,156 0,151 0,147 0,143 0,139 0,135 0,131 0,128 0,125 0,121 О,И8 О,И5 О,ИЗ О,ИО 0,108 0,105 0,103 0,101 0,100 0,098 0,097 0,096 0,095 О,ОЭ5 0,095 337 пОГРАничнын слОЙ с ГРАдиентОИ дАвления Точка отрыва, как и в случае несжимаемого течения, определяется значениями параметров (13.100) А = — 12, К = — 0,1567.
Касательное напряжение на стенке равно (13.101) Величины с/ (х), гхх//ох, тз (х), а также Ма = х//с, и Рг следует рассматривать как заданные. Тогда уравнения (13.98) и (13.99) вместе с уравнением (13.93) составят систему трех уравнений для определения трех неизвестных: толщины потери импульса бз (х), температуры стенки Ье = Т (х)/Тг (х) и формпараметра К. Интегрирование уравнения (13.98) выполняется таким же способом, как в главе Х для случая несжимаемого течения. Начальные значения в критической точке также определяются способами, примененными при расчете несжимаемого пограничного слоя. Получив начальное значение Кз = 0,0770, находим далее л ет1 К ( ).
( — ') = — 0,4057бгв (5), ех о (см. в связи с этим второе из соотношений (10.36а)). При Рг = 1 расчет упрощается. В этом случае Рз = Р„и уравнение (13.99) принимает вид (13.102) т. е. совпадает с уравнением (13.12б). Поэтому остается решить только уравнение (13.98). Для несжимаемого течения Ми = 0 и уравнение (13.99) дает Ье = 1, следовательно, Т„= Ты и уравнение (13.98) переходит в уравнение (10.36), так как 2К= 2 р (К), где Р(К) определяется равенством (10.35).
Изложенный приближенный способ Э. Грушвитца тщательно проверен Е. А. Эйхельбреннером [зг!. П р и м е р. Приведем расчет обтекания крыла приближенным способом Грушвитца г). На рис. 13.16 для подсасывающей стороны профиля МАСА 8410 изображены теоретическое потенциальное распределение скоростей при угле атаки а = 0 и при числах Маха Ми = 0; 0,6 и 0,8, а также распределение температуры Т, в потоке вне пограничного слоя. Результат расчета пограничного слоя показан на рис.
13.17 и 13.18. На рис. 13.17 изо- х) За выполнение этого расчета я обязан Ф. Мозеру. Так как способ Грушвитца ве позволяет получить пригодные профили температур, то для их определения была использована работа (зх). 22 г. шхехтеяг 338 лАминАРныж пОГРАничныж слОи при сакимАжмом тжчжнии [гл. хпу бражено изменение толщины потери импульса 63, толщины вытеснения 81, а также касательного напряжения на стенке тю вдоль подсасывающей стороны профиля.
Точка отрыва при увеличении числа Маха перемещается немного вперед. Изменение толщины потери импульса и касательного напряжения гл Р л УЕ Т, 7 Тг 7 уг 47 41г ду йд Ц7 4У И х' г4т 1 , 'гео Рно. 13.11. Расчет ламинарного пограничнога слоя на подеаоываюшей стороне крылонога профиля МАСА 8410 прв доавуновом сжимаемом течении (ом. Рио. 13.18Ь Определение толщины потери импульса б„толшииы вытеоненвя бг и касательного напряжения на стенке тю при рааличных числах Маха. Рие.
!3.18. Расчет ламинарного погранячного слоя на подоаеываюШей, етороне нрмлового профиля МАСА 84!О при доавуновом ожимаемом течении. Стенли профиля тепловаолироваиы, угол атаки а = О. Расчет сделан по приближенному способу Э. Грушвитда РЧ. Число Маха Ма = У,!е; число Правдтля Рг = 0,135; А — точна отрыва. На риоунне иаображено теоретячеоное потеипиальное раопределение скоростей Пг'У, на внешней гранаде пограничного слоя и еоответетвуюшие распределения температур: ТП҄— внешнего течения и Тегт вдоль стенки.
на стенке мало зависит от числа Маха, в то время как толщина вытеснения 81 значительно увеличивается с возрастанием числа Маха. На рис. 13.18 изображены распределения скоростей и распределения температуры для ряда точек вдоль контура профиля. Профили скоростей лишь немного изменяются при изменении числа Маха. Профили же температуры показывают, что при .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
