Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Приблизительно такую же величину имеет и повышение температуры, возникающее в погранинном слое вследствие трения, как это будет показано ниже и как об этом уже было вскользь упомянуто в главе ХП. График формул (13.1) и (13.2) для воздуха, рассматриваемого как идеальный газ (ср — — 1,006 кдж/кг град; х = 1,4), изображен на рис. 13.1 в виде верхней кривой. Мы видим, что при скорости и = 2 клг!сек, которой соответствует число Маха Ма = 6, повышение температуры составляет около ЛТ = 2000 градусов. При дальнейшем повышении скорости температура текущего газа повышается чрезвычайно сильно, что приводит к изменению физических свойств идеального газа. В реальном газе высокая температура приводит к возникновению диссоциации и ионизации (к образо- г) За переработку этой главы я благодарен Ф.
В. Ригельсу. В частности, еыу принадлежит обобщение преобразования Иллингворта — Стюартсона, изложенное в п. 1 1 4 настоящей главы. где ср есть удельная темплоемкость при постоянном давлении, отнесенная к единице массы. Так как 311 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ теплоемкость ср и число Прандтля Рг, могут рассматриваться с достаточным приближением постоянными и при высоких разностях температур (см.
таблицу 12.1 на стр. 258). Иногда связь между вязкостью и температурой принимается в виде ( Ьт (хо Го ' (13.4а) причем постоянная Ь служит для того, чтобы аппроксимировать точную формулу (13.3) в желаемой окрестности (см. $ 4 настоящей главы). 7(7уд (яГсе ~ 7Г(7(7 Юа 7( с'7' 7(73я ('я7суя~ г 737 1 =7(3( -77777 ° (7 7Я7 Лу т с7 7'(' с'7 рис.
13.3. зевнсимоств линвепечеснса вяеностя и вовяухе от температуры т. кривая (1) — ивмеревия н Формула (13.3! сатерленве. Кривые (хь (сь (е) — степенноа венон (1З.ц при ревлиыпех вначевиях и. Конечно, взаимное влияние динамического и температурного пограничных слоев значительно усложняет явления, происходящие при обтекании тел. При сжимаемом течении исследование пограничного слоя требует, по сравнению со случаем несжимаемого течения, введения по крайней мере следующих четырех дополнительных параметров: 1) числа Маха; 2) числа Прандтля; 3) вакона р (Т), устанавливающего связь между вязкостью и температурой; 312 лАминАРные пОГРАничные слОи пРи сжимАемом течении (гл.
хзп 4) граничных условий для распределения температуры (с теплопередачей или без нее). Очевидво, что зто большое число новых параметров, прнбавляющихся к уже известным параметрам для несжимаемых течений, делает число возможных случаев сжимаемого течения почти необозримым. Перечень весьма обширной литературы о ламинарных сжимаемых пограничных слоях имеется в работах Г. Куэрти Рз! и А. Д. Янга [м!. Подробные сведения о специальных математических методах, примененных отдельными авторами, можно найти в работах Н. Керла Р4[ и К. Стюартсона Р"]. Турбулентным сжимаемым пограничным слоям посвящена глава ХХ1П настоящей книги.
в 2. Связь между распределениями скоростей и температуры В случае плоского сжимаемого пограничного слоя на теле произвольной формы, но при числе Прандтля Рг =1 существует очень простая связь между распределением скоростей н распределением температуры. Эта связь, которую А. Буземан [з) и Л. Крокко [ьм) использовали для расчета пограничного слоя на пластине, имеет большое значение для интегрирования уравнений сжимаемого пограничного слоя и формулируется очень просто: при любом законе вязкости (А (Т) температура Т зависит только от той составляющей и скорости в пограничном слое, которая параллельна стенке, т.
е. Т = Т (и). Следовательно, изотахи и = сопзг являются одновременно изотермами Т = сопз(. Эту примечательную связь весьма просто вывести из дифференциальных уравнений сжимаемого пограничного слоя (12.35а), (12.35б) и (12.35в). Если пренебречь архимедовой подъемной силой, но учесть, что физические характеристики р и Л зависят от температуры, то указанные уравнения примут вид — + =О, д (ри) д (ри) ди дд р= рЛТ. (13.5) (13. 6) (13.7) (13.8) Градиент давления определяется так же, как и в несжимаемом течении, невяз- ким внешним течением, следовательно, дл ди дт, — = — р У вЂ” =рс— 1 д 1 (13.9) где р, (х) есть плотность, а Т~ (х) — температура на внешней границе пограничного слоя. Так как др/ду =О, то в каждой точке х по толщине пограничного слоя между плотностью р и температурой Т существует соотношение (13.10) р (х, у) Т (х, у) = р, (х) Т, (х).
Введем теперь в уравнения пограничного слоя (13.5) — (13.7) предположение, что температура Т зависит только от одной переменной и, т. е. что Т = Т (и). Тогда, введя обозначение Т„= дТЫи, мы получим из уравнения (13.7) ~ ю связь мвждр рлспрвдвлвниямн скоростнн и твмпврьтрры 313 Заменив левую часть этого уравнения правой частью уравнения (13.6), мы будем иметь срТ» ( + ((с )1=и +Ти (Л )+(Ти»Л+)г) ( ) или (срТ»+и)+Ти '(ср ~ (р д ) — д (Л д ))=(Ти»Л+(с) ( д ) Введя число Прандтля Рг = рсрй, которое, согласно таблице 12.1, для газов в широкой области не зависит от температуры, мы получим (срТ»+ и)+ср Ти д ( Р ) (Т»иЛ+ (с) ( д ) др Рг — 1 д ди ди 2 Из этого уравнения видно, что сделанное выше допущение Т = Т (и) является решением системы уравнений (13.5) — (13.7) в том случае, когда выполняются условия: при — = О др ди (13.11) а при — Ф О дополнительно Ти = О при у = О.
ди (13.11а) Таким образом, сделанное выше утверждение о связи между распределениями температуры и скоростей доказано. Зависимость температуры от скорости можно найти интегрированием уравнения (13.11). В общем случае мы будем иметь ии Т (и) = — — + С,и + См 2с, Постоянные интегрирования С~ и Сз должны быть определены из граничных условий. При НрИх ~ О мы получим С1 = О. 1.
Теплоизолированная стенка. Граничными условиями будут т дг и=О, — =О, ду и=7У, Т=Т, дт — =О при ,ди у=О; следовательно, при у= со, где Т, (з) означает температуру на внешней границе пограничного1 слоя. Эти условия приводят к решению Т=Т,+ 2 (С~ — из)й 2», (13.12) откуда, положив и = О, найдем равновесную температуру стенки Т = Т,: ггз Т,=Т,+ —,, (13.12а) Введя число Маха Мн = Юс„где с',=(и — 1) срТ перепишем соотношение (13.12а) в виде Т» =Т1 (1+ 2 Ма ) (Рг = 1). (13.12б) Разность Т, — Т~ представляет собой повышение температуры теплоизолн- рованной стенки, вызываемое теплом, возникающим вследствие трения.
Эта разность не зависит от закона вязкости )с (Т). 314 лАминАРные пОГРАничные слОи при сжимАемом течении (Гл. хп1 я т е и л о (плоская 11. Стенка, передающа пластина, Ир/ = О). Температура стенки Тю поддерживается постоянной. В этом случае граничными условиями будут и=О, Т=Т, при у=О; .т-т„г а т;тп и=1/, Т=Т при у=оо.
т -т Они приводят к решению т Т вЂ” Тю / Тю') и т -т т + — — (1 — — ) (13.13) или, если ввести число Маха Мп =П /с -(- — Ма' — (1 — — ) . (13.13а) В предельном случае Ма — 1- О решение (13.13а) переходит в решение (12.64), полученное в предыдущей главе для несжимаемого течения. Связь между распределением скоростей и распределением температуры, устанавливаемая соотношением (13.13), изображена на рис. 13.3.
Вопрос о том, переходит ли тепло от стенки к движущемуся газу или наоборот, разрешается сразу путем выяснения знака у градиента температуры на стенке. В самом деле, так как (ди/ду) ю ) О, то направление потока тепла определяется ТОЛЬКО ЗНаКОМ ГрадИЕНта тЕМПЕратурЫ (((Т/((и)ю. ПрОднффЕрЕНцнрОВаВ СООтношение (13.13), мы получим (/ (ЕТ) Т (13.14) Т„1 аи ) Т„2с,т„' Если (()Т/()и)ю ( О, то тепло переходит от стенки к газу; наоборот, если ((/Т/(/и) ю ) О, то тепло переходит от газа к стенке. Следовательно, критерием перехода тепла от нагретой стенки к газу (или наоборот) при числе Прандтля Рг = 1 будет т т т, т„ Рис.
13.3. Свяаа между распределением скоростей и распределением температурм в сжимаемом ламинарном погранвчиом слое на плоской пластине (с учетом тепла, воанвкающего вследствие трения, уравнение (13.13)). Число Правдтля Рг = 1. Тв — температура стенки, Т,— температура внюпвего течения. для — (я — 1) Ма' > (Та — Т. )(Т„градвент 1 2 (дТ(ЕУ)в > б. И бяаГОДаРЯ бОЛЫЛОМУ КО- личеству телла, воаникающего вследствве трения, стенка нагревается, несмотря на то, что Ти»Т ()а Тю — Т 2г ° Р Т,— Т. н — 1 Т. ~ 1Ма 2 (13.15) 5 3.
Пограничный слой на продольно обтекаемой плоской пластине Хотя вопрос о продольном обтекании плоской пластины очень широко рассмотрен в литературе, тем не менее остановимся на нем подробнее. Прежде всего перепишем общие соотношения между распределением скоростей и распределением температуры, выведенные в предыдущем параграфе, но придадим им несколько иной вид, соответствующий случаю продольно обтекаемой плоской пластины. В случае теилоизолироеанной стенки в уравнении (13.12), определяющем распределение температуры в пограничном слое, следует положить Т, = Т и 1/ = а/, и мы получим +2 1 пОРРАннчный слОЙ нА пРОдОльнО ОБтекАемОЙ плАстине 315 % 3] Брайнерд РЧ, лишь очень незна- 1ббб чительно изменяет равновесную температуру по сравнению с ее значением (12.80) в несжимаемом «бб течении. Следовательно, формулой (12.80) для равновесной температуры Т, в несжимаемом течении, 7бб т.
е. формулой бб Гг' «б Т,=Т +РРг— 2ср гб Тб бг губ !'бб lбб ба« =Т (1+'г' Рг 2 Ма' ), (1ЗЛ8) 1б б « д «бг (У йг бб б«бб бб)бгг «бббг3б «б ага =— п =с можно без каких-либо особых по- грешностей пользоваться и в случае сжимаемого течения. Для воздуха (х = 1,4; Рг = 0,723) формула (13Л8) принимает вид Т,=Т (1+0,170МЙ'). (13.18а) Рис. 13.1. Нагревавие продольно обтекаемой ылоской теплоиэолированной пласгины, выаванное выделением гелла в нограничном слое вследствие трения и вычисленное по формуле 113.13ав Пссчроеяная прямая иэображаег эанисимссгь этого нагревания от числа Маха для воэдуха.
Число Прандгля Рг = 0,7; Те — равновесная темперачура стенки; Т, — температура внешнего течения: А те = те — т — повьппеиие чемперачуры еченки; Т, =273' К. Зависимость повышения температуры стенки от числа Маха, вычисленная по этой формуле, изображена в виде графика на рис. 13.4. Мы видим, что при числе Маха Ми = 1 нагревание стенки составляет круглым числом 45' С, при Мн =3 — круглым числом 400'С, а при Мн = 5 — уже около 1200'С.
Формулу (13.18) принято записывать в более общем виде: Т,=Т +г — Т (1+г — Миэ ), 2с, 2 (13.19) где г есть так называемый коэффициент восстановления, представляющий собой отношение нагревания Т, — Т продольно обтекаемой пластины вследствие трения к нагреванию вследствие адиабатического сжатия, которое согласно формуле (12.14) равно Гге (й7)ад— ад 2ср Из сравнения формул (13.18) и (13.19) мы видим, что при ламинарном течении коэффипнент восстановления равен г угРг, (13.19а) Уравнения (13.12а) и (1ЗЛ2б), определяющие равновесную температуру стенки, после указанных замен примут вид Те=Т + 2 =Т (1+ 2 Ма ) (Рг=1), (13 17) причем Мн = П /с ис' =(н — 1) срТ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
