Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Так как при ю = 1 коэффициент трения не зависит от числа Маха (рис. 13.8), то в этом случае теплопередача получается такая же, как и в несжимаемом течении [формулы (12.81)[. Сводка коэффициентов теплопередачи для ламинарного и турбулентного течений при высоких числах Маха, а также данные о нагревании при теплоизолированной стенке (коэффициент восстановления) имеются в работе Дж.
Кэя [11[; см. также работу ['э[. Далее, исследован также случай распределения температуры Т (з), переменного вдоль стенки. В частности, такое исследование выполнено Д. Р. Чепменом и М. В. Рубезиным РЧ в предположении, что имеет место закон вязкости (13.4а). При этом выяснилось, что местный поток тепла 319 погрдничньЯи, слои с грдднкнтом ддвлнния (т. е. количество тепла, проходящее через единицу площади в единицу вре- мени) определяется не только разностью температур Ты (х) — Т„но в зна- чительной ме е и <ш едыдущей исто- Р Р РИЕйрПОГраНИЧНОГО СЛОЯ, т.
Е. СОВО- ~тео~ое Ья пмигоиоеиааа купностью состоянии пограничного Я~ ингения - ., в'" слоя в сечениях, лежащих выше по ~т ~ ~ ~,,:.. и ~ т течению относительно рассматриваемого места. Местное число НуссельЩ та, являющееся, в соответствии с формулой (12.29), коэффициентом пропорциональности между местным потоком тепла и разностью температур Т вЂ” Т или, если учитывать 40 тепло, возникающее вследствие трения, — коэффициентом пропорциональности между местным потоком 4Л тепла н разностью температур Т вЂ” Т„ теряет свой смысл прн пере- меннон температуре стенки.
Я7 р г М М гр у. Расчеты пограничного слоя на Уи пластине при сжимаемом течении, основанные на использовании теоремы импульсов теории пограничного слоя (глава Х), выполнены Т. Карманом и Х. С. Цзянем (ЯЧ (см. Рис. 13.9). Приближенные решения для плоской пластины даны также Ф. Буннолем н Э. А. Эйхельбреннером (7), Д.
Коулсом (17), Л. Крокко (11) 417 яо и 4~ и Оо Рис. 13Л1. Распредепеаие споростей и температуры а сигимаемом ламинарном пограничном слое не продопано обтекаемой пластине при нааичии теппопередачи. По Хантпгпе и Вендту РГХ Чисно ПРаНДтнп РГ = Ол; М = 1; и = 1.1: ти т и Р. Дж. Монахэном (еЧ. Решения уравнений ламинарного пограничного слоя для случая переменных физических характеристик газа дали Л. Л. Мур (71), а также Г. Б. В.
Янг и Э. Янсен (еЧ. з 4. Пограничный слой с градиентом давления 1. Точные решения. Расчет пограничного слоя с градиентом давления вследствие большого числа параметров более труден, чем расчет пограничного слоя на пластине. Еще давно Л. Крокко (тЧ предложил преобразование, облегчающее интегрирование уравнений при одном иэ двух условий: 1) число Прандтля Рг = 1, закон вязкости р (Т) произвольный; 2) число Прандтля 320 ллминагныв погглничныв слои при сжимавмом твчвнии 1гл.
хгн 1у Тю То+о1 Р То Т +Я~ (13.23) При преобразовании Иллннгворта - Стюартсона вводятся две новые координаты х, у, определяемые равенствами х х — ) Ь вЂ” 3х (13.24) ро'о о у= — ~ — (у, Р ео 3 Ро о (13.25) где с означает скорость звука. Индексом 1 здесь и в дальнейшем отмечены значения величин в точке х внешнего течения (на внешней границе пограничного слоя).
Мы имеем с',=(х — 1) срТ, се = (и — 1) срТо. (13.26) Так как температура Т«зависит только от х, то также с, = с«(х). Далее, р« —— = р«(х), и поэтому х = х (х) также есть функция только х. Напротив, у зависит и от х, и от у, так как плотность р в пограничном слое изменяется прн изменении координаты у. Можно написать и наоборот, т. е. х=х(х), у=у(х, «). Для дальнейших вычислений перепишем уравнения пограничного слоя (13.5) и (13.6) в координатах х и у. Уравнение неразрывности (13.5) будет тождественно удовлетворено, если ввести функцию тока «р (х, у) с производ- ными др р дф р — = — и и — = — — ш ду Ро дх ро (13.27) г) В советской литературе зто преобразование называют преобразованием А.А. Дороднипына. доложившего о нем впервые в 1940 г., но опубликовавшего его по обстоятельствам военного времени только в 1942 г.
(в журнале «Прикладная математика и механика» 6, 449 — 486). — Прим. перев. произвольное, но р (Т) =- сопзс, т. е. в = 1. Для частного случая теплоизолированной стенки, когда Рг = 1 и ю = 1, Л. Хоуарт Ро), К. Р. Иллингворт Р'] и К. Стюартсон Р«) указали преобразование, посредством которого уравнениям пограничного слоя можно придать почти такой же вид, как при несжимаемом течении. 1.1. Преобразование Иллингворта — Стюартсона'). Мы выведем здесь преобрааование Иллингворта — Стюартсона в несколько иной форме, чем в работе Р«), и при этом не ограничимся только случаем теплоизолированной стенки.
Кроме того, сначала примем число Прандтля произвольным, но постоянным. Закон вязкости )«(Т) примем линейным, в виде (13.4а). Индексом 0 будем отмечать величины, относящиеся к критической точке внешнего течения. Постоянную Ь используем для того, чтобы аппроксимировать точную формулу Сатерленда (13.3) вблизи желаемого места. Если за такое место выбрать поверхность тела, температуру которой Ты примем постоянной, то на основании формул (13.3) и (13.4а) постоянную Ь следует взять равной 321 НОГРАничный слОЙ с ГРАдикнтом ДАВлиния Если рассматривать ф как функцию от х и у, то мы будем иметь Ьргсг дф ду дф Роса дх дх ду дф дх дф ду — =- — =+— дх дх д дх д1р ду (13.28) сгр дф соуо ду ду ду ду так как дхгду = О. Имея в виду эти соотношения, получим для и выражение и= — — = —— ро дф сг дф (13.
29) р ду году и аналогичное выражение для и. Далее, в результате небольших выкладок, при которых все члены, содержащие ду!дх, выпадут, мы найдем ди+ ди (сг)з Р1Ь [дф дзф сф дзф+ 1 дог (дф)2) Если принять, что внешнее течение изэнтропическое, то удельная полная энтальпия будет постоянной, т. е. будут иметь место равенства Гз= „Г+— (13.30)') из л1 = СР71+ — = ср7»', 2 нли, на основании равенств (13.26), с,+ — (х — 1) и,=с,'.
Отсюда следует, что (13.3Ц дог 1 и1 лиг — — = — — (х — 1) —. —. (13.32) с, дх 2 дх Внеся это выражение в уравнение (13.29а) и имея в виду, что БЯхии = Ьргсг(рого, мы получим дф дзф ) ди ди ( с1 )з р1Ь ( дф дзф " дх+" дУ со Ро ду дуд (х 1), иг . (13.33) дх дуз из 1+— 1) В атой главе мы будем обозначать скорость вношного течения, ранее всегда обозначавшуюся через Ьг, для простаты через и1. 21 г. шлизтинг Преобразуем уравнение движения (13.6). Его член, зависящий от трения, с учетом (13.4а) и уравнения состояния р = рг — — рг«Т принимает вид (13. 34) Далее, член — 11рЯх с учетом соотношений (13.9) и (13.10) принимает вид др Т дрг Т лиг — — — = — — — = — иг — .
р дх р1Т дх Т дх Внеся в правую часть безразмерную «температурную функцию» (безразмерную удельную полную энтальпию) и" с,Т+— Б =- (13. 35) С,Т« и использовав соотношения (13.26),мы получим (13. 36) 1 322 лАминАРные пОГРАничные слОи при сжимАемОм течении 1гл. хпз Разделив уравнение (13.6) на р и подставив в него выражения (13.33), (13.34) и (13.36), мы будем иметь дф дз1) ду дз1) I 'О !З РО ди1 до!) — — — — =(1+5) ! — ) — и,— +то —.
(13.37) ду ду дх дх дуз с1 р!Ь д дуз ' Далее, подставив со и1 = — П„ с1 (13.38) мы получим или, с учетом соотношений (13.31) и (13.32), Наконец, введя обозначения д1р — д1у П==, Р= —— (13.40) ду дх и внеся выражения (13.39) н (13.40) в уравнение (13.37), мы получим преобразованное уравнение движения (13.39) (13.41) Это преобразованное уравнение отличается от соответствующего уравнения пограничного слоя для несжимаемого течения только присутствием множителя (1 + 8) при члене, учитывающем давление. Для преобразования уравнения энергии умножим уравнение (13.6) на и и сложим с уравнением (13.7).
Тогда, введя число Прандтля Г г = нср/Л, мы получим сРТ Ри д (~РТ+ 2 ~ )+Р" д (срТ+ 2~ ) д (р д ( Р +2 и )), (13.42) или, если использовать температурную функцию Я, определяемую равенст- вом (13.35), Заменив в этом уравнении по образцу соотношений (13.28) производные по х и у производными по х и у и приняв во внимание соотношения (13.40р и Равенство (А = Ь(зоР1Ро/Рор, мы полУчим Далее, использовав соотношения (13.26) и (13.30) и имея в виду, что и и и1 и, (13.45) мы найдем и — 1 и 2 и ) Ма,' — з (13.46) ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ С ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ где МН4 — — и,/с4 есть число Маха внешнего течения. Так нак д ду д дх д ду д ду ду ду ' ду дх ду ду ' то множитель перед (и/и,)', входящий в равенство (13.46), можно вывести в уравнении(13.44) из-под знака производной д'/ду'.
В результате преобразованное уравнение энергии примет вид (13.47) Вместе с уравнением неразрывности =+==О, (13.48) дх ду непосредственно вытекающим из соотношений (13.40), уравнения (13.41) н (13.47) являются новыми уравнениями пограничного слоя. Граничными условиями системы уравнений (13.5) — (13.7) были дТ вЂ” =0 для теплоизолированной стенки ду или Т =Тш для теплопроводящей пРИ У= 0 стенки и=у=О, и=и4(х), Т=Т4(х) при у= со. Как легко видеть, для новой системы уравнений эти условия принимают вид и=и=-0 и дд =О ду или Я=Я„при у=О, ~ прн у= ох.
(13.49) и= и1(х) Предельные случаи. При Рг = 1 частным решением уравнения энергии (13.47) будет Я = О. Вместе с соотношениями (13.30) оно приводит к найденной выше связи (13.12) между температурой и скоростью при обтекании теплоизолированной стенки. В этом случае уравнение (13.41) принимает в точности такой же вид, нак соответствующее уравнение (9.1) для несжимаемого течения. При обтекании пластины 4(р/41х = О, следовательно, также 4/и,/4(х = О, а потому на основании уравнения (13.39), и 4(и,/4(х = О. Тогда при Рг = 1 функция 3=3. (1 — =") с постоянным Я„также будет частным решением уравнения (13.47), в чем легко убедиться путем подстановки.
В этом случае из соотношения (13.45) и (13.30) после замены и, на Г/ и Т, на Т получается найденное выше уравнение (13 13), связывающее температуру и скорость. 1.2. «Подобные» решения. Преобразование Иллингворта — Стюартсона позволило получить ряд точных решений уравнений пограничного слоя и, кроме того, дало возможность разработать очень большое число способов приближенных решений. Среди точных решений особую роль играют 21* 324 лАминАРные НОРРАничные слОи пРи сжимАемОм течении 1гл.
хп1 е»Т + ~ и ерТ» + 2 и»» = ерТ» » г $»» постоянна по толщине пограничного слоя, следовательно, теперь Я вЂ” = 0 (см. также конец предыдущего пункта). В этом случае подобие профилей полной энтальпии является тривиальным фактом. Введем в уравнения (13.41) и (13.37) функцию тона ф н перепишем их в виде дф дгф дф дгф — до» д»ф — — — — — = и» = (1 + Я) + Ро = ду ду дх дх дуг дх дуг дф дЯ дф д5 дгд = = — = = = »»о = ду дх дх ду дуг (13.50) (13.51) Для преобразования подобия введем новую переменную»1 и примем, что ф = Ах«и," ~ (»1), у = Вх'и»1, О = О (»1) (13.52) где А, В, д, г, е, 1 — постоянные, подлежащие определению, 1(»1) — неизвестная функция тока и О' (»)) — температурная функция, определяемая равенством (13.35) и зависящая от»1.
«подобные» решения. В случае несжимаемого течения мы понимали под ними такие решения, для которых профили скоростей в двух различных точках х обтекаемого контура отличались один от другого только масштабами скорости и и расстояния у ($2 главы»1111). Там было показано, что такие «подобные» решения существуют для определенных внешних течений и, (х).
В таких случаях уравнение в частных производных, определяющее функцию тона, заменяется обыкновенным дифференциальным уравнением, решение которого, конечно, значительно проще, чем решение уравнения в частных производных. Опираясь на ряд работ, например на («Ч, («Ч, («г), Т. И. Ди и Х. Т. Нагамацу в своих двух блестящих исследованиях ['Ч, («Ч показали, что для сжимаемых пограничных слоев также существуют подобные решения. В динамическом пограничном слое для осуществления подобия по-прежнему требуется изменение масштаба продольной составляющей и скорости, а в температурном пограничном слое — изменение масштаба удельной полной энтальпни Ь = = срТ + и«72, которая уже была введена в безразмерной форме как «температурная функция» Я (13.35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
