Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 86
Текст из файла (страница 86)
!3.15. местный яовффипиент трения в сжимаемом ламинарном пограничном слое при наличии ирапиента павления и теплоперепачи формула 113.66Л. по К. Б. коэну и е. Режотио ПЧ. Число Пранптля Рг = 1; и = 1; Я = 6 — теплоиволированная стенка; 6 < 6 — охлажлаемая стенка; и ИР я > Π— нагреваемая стенка и на стенке. В случае теплонзолированной стенки (Ю = О) нижней ветви кривой соответствует отрицательное касательное напряжение на стенке, следовательно, возвратное течение. В случае нагреваемой стенки (Я „) О) при достаточно малой разности р — рж1п оба значения ~м могут быть меньше нуля, т. е. также будет иметь место возвратное течение. Наконец, в случае охлаждаемой стенки (Я„( О) оба значения 4'" могут быть больше нуля, т. е.
при обоих значениях 4"„течение будет безотрывным. Далее иа рис. 13.15 мы видим, что при повышении температуры стенки для отрыва (~" = О) требуется меньшее повышение давления. Если желательно перейти от переменной т) к физическому расстоянию у от стенки, то следует воспользоваться соотношениями (13.8), (13.10), (13.24), (13.25) и (13.52); тогда после необходимых вычислений мы получим "1 'О (13.67) Для вычисления у по этой формуле необходимо, во-первых, преобразовать множитель перед интегралом, использовав для этого соотношение (13.53) и связь между х и х, определяемую уравнением (13.56), а во-вторых, с по- 331 пОГРАничный слОЙ с ГРАдиентом дАВления мощью соотношений (13.46) и (13.62) привести подынтегральное выражение к виду к — 1 — Ма,' 1+ — Ма,' 2 (13. 68) Т. И.
Ли и Х. Т. Нагамацу [зЧ удалось получить подобные решения и не прибегая к преобразованию Иллингворта — Стюартсона. Способ точного расчета при произвольном распределении давления и при наличии теплопередачи указан также В. Манглером РЧ. Точный расчет трехмерного пограничного слоя на скользящем круглом цилиндре при наличии теплопередачи и при произвольном числе Прандтля выполнен Е. Решотко и И. Э. Беккуитом Рз]. 2. Приближенные способы.
Весьма многочисленные приближенные способы расчета сжимаемого ламинарного пограничного слоя обычно основаны, как и аналогичные способы для несжимаемого течения, на теореме импульсов и теореме энергии пограничного слоя. Общей чертой всех этих приближенных способов расчета сжимаемого ламинарного пограничного слоя является их значительно ббльшая сложность по сравнению с приближенными способами для несжимаемого течения, изложенными в главе Х. Число известных приближенных способов для сжимаемого течения во много раз больше, чем для несжимаемого течения, что следует объяснить ббльшим числом параметров, определяющих сжимаемый ламинарный пограничный слой.
Сводные обзоры более старых приближенных способов расчета опубликованы А. Д. Янгом [м! и М. Мордуховым РЧ, а более новых — Н. Керлом ['4!. Говоря о приближенных методах, необходимо всегда различать, применимы ли они только к теплоизолированной стенке или также к случаю обтекания с теплопередачей. Для теплоизолированной стенки имеется способ Л. Хоуарта РЧ, а также несколько видоизмененный способ Г. Шлихтинга [зз].
Оба эти способа предусматривают, что число Прандтля Рг = 1. Далее имеются способы Э. Грушвитца РЧ, И. А. Цаата [и], а также Ирмы Флюгге-Лотц и А. Ф. Джонсона ["], пригодные для любых чисел Прандтля. Последний способ в случае, когда дрых = О, может быть применен также к теплопроводящей стенке. Все перечисленные способы предполагают, что го = 1. В последние годы главное внимание уделялось пограничным слоям с теплопередачей. Из способов, пригодных только для числа Прандтля Рг = 1 и для ю = 1, следует назвать способы М. Мордухова ['Ч, К. Б.
Коэна и Е. Решотко Р'], Р. Дж. Монахэна ["! и Г. Путса Р'!. Второй и третий способы служат для определения толщины потери импульса, коэффициента трения и коэффициента теплопередачи, а первый и четвертый позволяют определять также профили скоростей и температур. Если число Прандтля Рг и ы не очень сильно отличаются от единицы, то может быть использован способ Р.
Э. Лакстона и А. Д. Янга РЧ. Для произвольных чисел Прандтля применимы способы Н. Керла РЧ, Р'! и Г. М. Лиллея Р']. В обоих способах используется закон вязкости (13.4а) с коэффициентом Ь, определяемым формулой (13.23) и зависящим самое большее еще только от х, следовательно, функция р (Т) предполагается линейной.
Н. Керл Р'], вычисляя параметры динамического пограничного слоя при повышении давления, предполагает известным профиль температур, но допускает при этом возможность переменной температуры стенки. В работе РЧ того же автора указывается способ расчета теплопередачи, если известно распределение касательного напряжения на стенке. Г.
М. Лиллей определяет поверхностное трение и коэффициент теплопередачи при переменной темпера- 332 лАминАРные пОГРАничные слОи пРи сжимАемом течении игл. хп1 туре стенки. Способы И. Гинцеля (22), а также Д. Н. Морриса и Дж. В. Смита (2') допускают испольаование произвольного закона вязкости, а последний способ предусматривает также возможность переменной температуры стенки. К. Т. Янг ["! предложил способ, позволяющий значительно улучшить результаты, даваемые другими способами. Теорема импульсов и теорема энергии. Выведем теорему импульсов и теорему энергии для сжимаемого ламинарного пограничного слоя, так как они являются основой для всех приближенных способов расчета. Будем исходить из основных уравнений (13.5) — (13.8) сжимаемого ламинарного пограничного слоя. Введем местную энтальпию 1 =срТ и полную энтальпию единицы массы и2 1 2 й == 1+ — = с„Т+ — и2.
2 Р 2 (13. 70) Тогда уравнению энергии (13.7) можно будет придать вид Р(но +ос )=ил +(2(д ) +э (р э ). (1371) Граничными условиями будут а) при наличии теплопередачи: и=о=О, Т=Т„ и=21'(х), 1=12(х) при у=О, при у= оо; (13.72а) б) для случая теплоизолированной стенки: д1 и — о — О, — — 0 прн у — О, (13. 72б) и= И(х), 1=11(х) при у= со. э' Уравнения (13.5), (13.6), (13.8) и (13.71) вместе с граничными условия- ми (13.72) образуют систему нз четырех уравнений для четырех неизвестных и, о, р и 1. Давление р (х) следует считать известным из уравнения (13.9). Оно постоянно по толщине пограничного слоя, т.
е. др7ду = О. Поэтому в каж- дом сечении пограничного слоя вдоль контура тела вследствие соотноше- ния (13.10) имеют место равенства т р, (13. 73) т1 Р б, = ) (1 — — '" ) ду о (толщина вытеснения), (13. 74) где 1„Т1 и р1 суть значения энтальпии, температуры и плотности на вне1лней границе пограничного слоя. Так же, как н в случае несжимаемого пограничного слоя, для приближенных способов расчета сжимаемого пограничного слоя вводятся понятия толщины вытеснения, толщины потери импульса и толщины потери энергии и, кроме того, два новых понятия: толщина увеличения энтальпии бя и толщина потери скорости б„.
Первые три понятия определяются так, чтобы в случае постоянной плотности р = сопзг, т. е. в случае несжимаемого течения, они совпали с ранее определенными понятиями (8.33), (8.34) и (8.37). Итак, обозначив через б толщину динамического пограничного слоя, мы введем следующие определения: а 333 погРАничныи слОЙ с ТРАдиентом дАВления бг= Р . !1 — — 1о(у (толщина потери импульса) РРУ ( И) (13. 75) о Г ри I из 1 бз= ) — (1 — — ) о(у (толщина иотерн энергии), = ) рзи ~ ГГг ) (13.76) о б Г ри /з бн= ) — ( —.— 1)о(у (толщина увеличения энтальпии), (13.77) РзГГ ( Й о и г би= ~ (1 — —,) оу (толщина потери скорости).
и) о Из равенств (13.73), (13.74), (13.77) и (13.78) легко убедиться, что между бы бя и 6, существует соотношение бз би = бн (13. 79) (13. 78) Теорема импульсов и теорема энергии для сжимаемого пограничного слоя выводятся из уравнения движения (13.6) и соответственно из уравнения энергии (13.71) посредством интегрирования по у совершенно таким же образом, как это было сделано для несжимаемого течения. Имея в виду, что $ нр, Маг Ыу рз дх У дз мы получим теорему имиульсов в следующем виде: (13.80) Для получения уравнения механической энергии следует умножить уравнение (13.6) иа и и проинтегрировать по у. Использовав уравнение неразрывности, после некоторых преобразований мы найдем б Гз г дГГ Гдигг — — (Рз~"бз)+Рзсà — (бз — би) = ) )з( — ) о(у.
2 Ых дх ду ) о (13. 81) В этом уравнении левая часть представляет собой механическую работу течения, а правая часть — диссипацию. В случае несжимаемого течения второй член левой части исчезает, так как при р = сопэо толщина увеличения энтальпии бя = О, и уравнение (13.81) переходит в уравнение (8.38). Далее, проинтегрировав по у уравнение (13.71), мы получим — (рзгзбзбн)+рзУ' — бн= — ( р — „) + ) (з( — ) о(.* ° (13 82) о Это уравнение, определяющее приращение эитальпии, выражает собой теорему энергии.
Левая часть уравнения (13.82) представляет собой изменение энтальпии течения, а правая часть — тепло, подведенное в пограничный слой вследствие теплопередачи иа стенке (индекс ю) и диссипации. Если учесть, что уравнение (13.81) определяет потерю механической энергии, а уравнение (13.82) — увеличение энтальпии, то, вычтя из первого уравнения второе, мы получим приращение полной энтальяии в направлении х, а именно: [Р1~(~з~н — 2 з))= — (Р д ) (13.83) 334 лАминАРные пОГРАничные слОи пРи сжимлемом течении [Гл. хп1 Имея в виду выражение (13.70) для полной энтальпии й единицы массы, мы можем переписать уравнение (13.83) в следующем виде: ) ри(5 — й,) [[у= — ® д ) о (13.84) Левая часть этого уравнения представляет собой приращение полной энтальпии течения в направлении х, а правая часть — тепло, подводимое или отводимое через стенку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
