Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Система уравнений в частных производных, определяющих и, Р и Т, заменяется двумя связанными между собой обыкновенными дифференциальными уравнениями, определяющими функцию тока и полную энтальпию. Эти подобные решения уравнений сжимаемого пограничного слоя, будучи точными решениями, важны не только сами по себе, но также для оценки приближенных решений. Поэтому с помощью преобразования Иллингворта — Стюартсона покажем в общих чертах, как можно получить эти решения, и в заключение приведем некоторые численные результаты.
При этом в дальнейшем мы будем исходить из следующих предположений: во-первых, имеет место закон вязкости (13.4а), следовательно, »о = 1; во-вторых, число Прандтля Рг = 1, и, в-третьих, в случае теплопроводящей стенки температура Т на стенке произвольна, но постоянна, следовательно, постоянна и функция О' .
В случае теплоиавлированпой стенки удельная полная энтальпия, равная согласно уравнению (13.30) 325 поггхннчный слой с ггодивнтом длвлкния и =Кх (13. 53) (К и лз — постоянные). Четвертый случай Хзк из=К'е менее интересен, и поэтому мы не будем его рассматривать. Прежде всего определим, какое внешнее течение и, = ис (х) соответствует степенной зависимости (13.53) между преобразованными координатами йс и х. Из соотношений (13.38) и (13.31) мы имеем (13.54) со+ — (к — 1) ис Далее, изменения состояния во внешнем течении происходят по адиабатиче- скому закону Так как Рз ссо Ро соо Рс Ро то 2х (13.
55) (13.53) и поэтому, на основании равенства (13.24) с учетом соотношений и (13.54), зх — с 1 ~ К вЂ” 1 „- ~2(х-Ы (13. 56) Это дифференциальное уравнение интегрируется в замкнутой форме при частных значениях лс. Если принять х — 1 вз = лсо = 3 — 5х ' только (13.57) (13.56) то показателем степени выражения в прямых скобках в уравнении будет Зх — 1 1 = — 1 — —, 2 (к — 1) 2то и интегрирование уравнения (13.56) даст х— 2 (х — 1) 3 — Ох , [ К вЂ” 1 2- З вЂ” Ох 1а<~ — М 2сс (13.
58) После подстановки выражений (13.52) в уравнения (13.50) и (13.51) независимыми переменными в этих уравнениях будут х и т). Если потребовать, чтобы в полученных таким путем уравнениях выражения, содержащие х, выпали, то останутся обыкновенные дифференциальные уравнения для определения 1 (Ч) и Я (т)). Т. И.
Ли и Х. Т. Нагамацу [оз) выполнили необходимые вычисления и нашли, что существуют четыре класса решений для й, (х). Затем К. Б. Коэн [го[ доказал, что три из этих четырех классов могут быть сведены к случаю 326 лАминАРные пОГРАничные слОи при сжимАВИОм течении (Гл. хпг Отсюда, приняв во внимание соотношения (13.38), (13.53) и (13.54), мы полу- чим х — 1 и, '1 м) КЬ3 — ьхха-бх К~ха — бх (13.59) сс Следовательно, в рассмотренном частном случае внешнее течение и( (х) также выражается степенной функцией, и притом даже с таким же показателем степени, как у и, (х).
Для значений к, соответствующих одно-, двух- и трехатомным газам, получаются следующие значения показателя степени при х в уравнении (13.59): х — 1 ш = 3 — бх Газ 5 — = 1,67 3 — = — 1,40 7 5 1 8 1 10 Одноатомный Двухатомиый или линейный миогоатомный — =-1,33 1 3= М иогоатомный нелинейный Таким образом, для всех трех видов газа внешнее течение — замедленное. При произвольном и уравнение (13.56) может быть проинтегрировано вообще только посредством разложения в ряд. На рис. 13.12 изображены (74 ЩУ 73 7Ю 47 Рис.
13.13. Распределение снсрсстеа внешнего течения, вычисленное при псноши пресбрааованая ИллингваРта — СтюаРтссна дла слУ~аа, когда х = 7(5. СноРссть иг = Кхж — пс ФоРмУле (13.53); н5 = К'х'" — по Формуле (13.53). Связь между х и х определяется соотношением (13.55), а свнзь между ш и х — соотношением (13.57). для т = — 1; О; 0,5 и +1 графики скорости и, (х), а также функции и) (х) = = Кх при К = 1, Ь = 1 и х = 7/5. 327 ПОГРАНИЧНЫЙ СЧОЙ С ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ Если в преобразовании подобия (13.52) ваять для постоянных А, В, д, г, в и 1 значения: А =В= ф'2то1'(т+1), д=~ =в=1/2, 1= — 1~2, то оно примет вид В=В(Ч) о[=у — о (1360) 2тое Ф = 7(Ч) )/ — о и,х и преобразованные уравнения пограничного слоя (13.50) и (13.51) при учете соотношения (13.53) перейдут в обыкновенные дифференциальные уравнения (13.61) где штрихи означают дифференцирование по т[.
В первое нз этих уравнений введена постоянная р, равная, как и раныпе [см. равенство (9.7)[, 2т т -[-1 и являющаяся параметром градиента давления внешнего течения. Из равенства дф дф дч и= — = — =- ду дч ду с учетом соотношений (13.60) легко выявляется смысл производной ~' как безразмерного распределения скоростей в пограничном слое; в самом деле, и и ио и1 (13.62) Так как при у = 0 также т[ = О, а при у = оо также т[ = оо, то граничными условиями для системы (13.61) будут 7=У'=О, г" =1, Я=Я при о[=0, Я=О при о[=со.
(13.63) В случае теплоизолированной стенки (Я == 0) второе из уравнений (13.61) удовлетворяется тождественно, следовательно, остается решить только уравнение (и + ф~" = р (('о — 1). Но это уравнение тождественно совпадает с уравнением (9.8) несжимаемого пограничного слоя на клине, исследованным Д. Р. Хартри при различных значениях р. Это исследование показало, что при всех р ( — 0,199 (т ( — 0,0904) наступает отрыв пограничного слон.
Следовательно, при значениях т = — 118 и т = — 1/10, указанных в приведенной выше таблице, на теплоизолированной стенке также наступает отрыв пограничного слоя. В случае теплопроводлиоей стенки необходимо решить систему обоих уравнений (13.61). Так как температура на стенке Т может быть задана произвольно, то решения системы (13.61) зависят не только от параметра 6, но также от параметра Я„= Т !То — 1. Т. И. Ли и Х. Т. Нагамацу [оо), а также К. В. Коэн и Е. Решатка [1о) получили решения для болыпого числа значений параметров р и Я„. Примечательно„что для системы (13.61) с граничными условиями (13.63) при 6 ( 0 (а также для теплоизолированной стенки, см. $1 главы 1Х) существуют два физически возможных решения.
Какое именно из этих решений 328 лАминАРные ЛОТРАничные слОи при сжимАемОм течении (Гл. хп1 осуществляется в действительном эксперименте, зависит, по мнению К. Б. Коэна и Е. Решотко (15) от того начального поля давления, под действием которого развивается пограничный слой. и На рис. 13.13, а, б, в изображеаг ны распределения скоростей и)и,= — /' а (в качестве абсцисс взяты безразаа а,ч мерные расстояния от стенки т)) при -ада ВВ различных значениях температуры а,с стенки Т„и при различных р.
Укадг -Раасу* ванным на рисунке значениям Я„ соответствуют (в порядке, отмечениом на рисунке): теплоизолированная стенка с температурой Т = Т„ охлан(даемая стенка с теьшературой л) у Т = 0,2Т0 (теплопередача от пограничного слоя к стенке) и а 7, — уг к Р -!а В 'а ) г В 6 а а 7 г) -Рг а ) г 4 гг Р =l' )а (а РВ а ) г В 0 В В, Р ) г г 6 у а) У Рис. 13.!3. Распределение скоростей и антальпия в сжимаемом ламинарном пограничном слое при наличии градиента давления и теплопередачи (аормулм (13.62) и (13.35)). По К.
В. Коану и Е. Р~ шатко Р'). '(исло Прандтля Рг = 1; и = 1; О (х) = к, (х) — скорость внешнего течения. а), 6), г)- распределение скоростей; г), д) распределенйе анталыгии. о) Ях = 0; Тч, = Т, — теплоиаолированНал СтЕНКа. 6), г) Зш = — 0,0; Т = 0,2Т, — ОХЛажДаЕМаЯ СтЕНКа. г), д) Ям= 1,0; Тм= атг— Ю иагреваемая стенка. нагреваемая стенка с температурой Т„= 2Т, (теплопередача от стенки к пограничному слою). В случае многозначных решений более низкие значения 1', соответствующие определенному значению параметра р, характеризующего давление, отмечены звездочками.
Бросается в глаза, что в случае нагреваемой стенки и падения давления (() ) О) скорость в некоторой области значений т) внутри пограничного слоя может стать больше скорости и( внешнего течения (рис. 13.136). Причина этого заключается в сильном увеличении объе- 329 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ С ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ ма газа вследствие сильного повышения температуры в пограничном слое.
В результате внешние силы давления сообщают газу в пограничном слое, ставшему вследствие нагревания более легким, большее ускорение, чем во внешнем течении, несмотря на то, что в пограничном слое действуют )б замедляющие движение силы трения. На рнс. 13.13, г и д изображено 6=4В, ' ' распределение безразмерной энталь- В =В пии Я в пограничном слое (соотношение (13.35)) для случаев Т ВВ = 0,2То и Т вЂ” -- 2Т,. Ыы видим, б» что градиент давления влияет на профили скоростей значительно сильнее, чем на распределение энтальпии.
В)В»Т Для вычисления касательного напряжения т воспользуемся соотноб шениями (13.10), (13.26), (13.29) и У -В» В l д д 4 в) /В Тв 4)В Вг 1« 44 (б -ЦВ б Т В В» б б В 1 В В 4 б В б) 'г' В) У законом адиабатического изменения состояния р!)ро = (р!/ро)". Мы по- лучим 2к — 1 ди — ) Т)1 и-1 /т+1 йг т=)4 — «й)хеи1 1' — ) 1,l — =)в(Ч). др '1 т,) (13.64) На рис. 13.14, а, б, в изображены графини функции ) в(ц) при различных значениях параметров 6 и О' .
При ускоренном внешнем течении (6 ) О) максимум касательного напряжения лежит на стенке (у) =. О). При замедленном внешнем течении (р ( О) максимум касательного напряжения удаляется от стенки тем больше, чем больше повышение давления, т. е. чем больше абсолютное значение отрицательного р. Введем местный коэффициент трения т го С/= 1 — ршие 2 (13.65д Рнс. 13.14.
Распределение касательных напряжений в сжимаемом ламинарном пограничном слое прв наличии градиента давления и теплопередачи 1Формула 113.04)]. По К. Б. Коану и Е. Решотке 1'Н. Число ПРандтлЯ Рг = 1; и = 1. е) агв= 0: Тш= Тв — теплоиаолиРованнаи стенка.
0) ам= = — 0,3; Ты = 0,2Т, — охлаждаемая стенка. в) ам= 1,0; Т« = 2 То — нагреваемая стенка. 330 лАминАРные погРАничные слОи пРи сжимАемОм течении игл. хп1 и число Рейнольдса Нф = игх/и, где индексом пг отмечены значения на стенке. Можно показать, что имеет место соотношение су '1/ 1хе = у„", "у 2 (па+ 1) —, — . х дх (13.66) На рис. 13.15 изображена зависимость )и от р при различных значениях Б Мы видим, что в случае нагреваемой стенки (О'„) О) изменение давления влияет на величину 7", следовательно и на касательное напряжение на стенке, значительно сильнее, чем в случае охлаждаемой стенки (8 ( О). В области отрицательных р каждому значению р, вследствие указанной вьппе двузначности решений, соответствуют два возможных касательных напряжения га 1Шс ' 34 64 ф» 64 — з4 -44 Р Ю4 534 48 44 Д1У -1~4 -РР цу лз -аг -68 -щ уу Ю,Ф Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
