Основы теории теплообмена Кутателадзе С.С. (1013620), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(18.2.3) В одноатомном газе поверхностью воспринимается только энергия поступательного движения молекул. Поэтому (18.2.4) Здесь о — полная скорость молекулы в пространстве х, у, г; т — масса молекул и 7 — функция распределения скоростей, численно выражающая плотность молекул в единице объема пространства скоростей. Первым приближением в рассматриваемой проблеме является принятие равновесного или максвелловского распоеделения скоростей. При наличии невозмущенной скорости потока газа 1= Р' ехр1 (""' "" ) "'+ "' 1 ' ) (!8 25' =~12~РТ)»1г'" [ 2КТ» Для многоатомных газов необходимо учитывать внутреннюю энергию молекул, равномерно распределенную по степеням свободы в случае термодинамического равновесия. Поток внутренней энергии молекул на поверхность (18.2.6) е,„= )А1, тйТ»72.
246 Здесь / = (5 — 3/с)/(й — 1) — число степеней свободы, принимающих участие а эиергообмене; /и'и — число молекул, падающих на единицу поверхности в единицу времени: ~' ~'и„/ о„с/пас(см ( 18.2.7) Таким образом, для многоатомных газов (18.2.8) Можно показать, что поток энергии отраженных молекул многоатомного газа н„= (4+. /) 'р/, тгс Т„/2. (18.2.9) Подставляя значения еи и е„в уравнение (18.2.3) и принимая аккомодацию энергии одинаковой по всем степеням свободы, после интегрирования полу- чаем +]с и 5 яп О [1+ ег[ (5 яп 9)]) — — ехр [ — (5 яп 9)'] .
(18.2.10) 2 Здесь 5 =- сн/'Г'2ЙТа =- М)~ /т/2; Π— угол атаки. Геареминескии прсдсп - сдабадна-мспскунарный Из формул (18.2.10) можно по+ лучить значение равновесной темь н пературы стенки. При 5 >) ! дд 1 ь/ ж — ссРа ша 8[и О Х си™ об ь х ~! ~+' т" ] (18211) Ъ 2(л — 1) га 1 о4 Отсюда следует, что при е/„и = = 0 и больших числах Маха отноь шение адиабатической температуры уксперименмапьный аркам стенки к температуре торможения паминарный патин потока равно Одд йг .,О йд дО 1гд Кп Тст /Т* 2/с/(й+ 1).
(18.2.12) Рис. 18.1. Экспериментальные данные о коафТаким образом, в свободно-мо- фипиенте восстановления температуры при оалекулярном потоке Т;, Т*, т. е. тс«анни пилиндра: Π— дьюи, М 8,8; ° — ЛауФер я Маииепелан, М= коэффициент восстановления боль- а,а; + — шерман, м г и еи ь — стилдер и др., ше его значения в сплошном потоке газа.
Он не зависит от коэффициента аккомодации в том случае, когда теплообмен только конвективный. Из формулы (18.2.11) для сильно охлаждаемого тела (5 )) Т„/Т,) и при полной аккомодации (а — — 1) получим ь/=(1/2) р, ыь'яп О. (! 8.2.13) Это значение теплового потока — предельное при свободно-молекулярном переносе — составляет половину рассеиваемой энергии, приходящейся на единицу поверхности и вычисленной по сопротивлению тела в потоке с большими числами М. На рис.
18.1 изображена экспериментально полученная зависимость относительного коэффициента восстановления г от числа Кнудсена при обтекании цилиндра воздухом: о оьг ого 44о с =(г — гл)/(㄄— г ), (18.2.14) 247 где г — коэффициент восстановления в ламинарном потоке (здесь приихм г„= 0,94). Из графика видно, что свободно-молекулярный режим имеет месм при Кп ) 10. Интегрируя уравнение (18.2.10) по поверхности, можно получить суммаР. ный тепловой поток для выпуклого тела любой формы. В частности, для ца.
линдра, сферы и плоской пластины с углом атаки зэка 8 = 0 на рис. 18.2 по расчетам Оппенгейма дан! 4 зависимость числа Р51 от 5: 2Ь (18,2,15» Я а (Ь+ !) Рргмср(Тст Тст) где Т вЂ” общая поверхность тела. Множитель р = 2/з/а (/! + 1) взят для удобства сравнения с числом 51 в сплошном потоке (а — коэффициент термической аккомодации). Из рис. 18.2 видио, что при 5 = УМ2 М ) 3 закон теплообмена дхз цилиндра и сферы практически не зависит ог числа М и тепловой поток определяется параметрами р, и ш. Для пластины число 81 принимает предельное значение, равное нулю при весьма больших скоростях, согласно зависимости РЯ = 1/)Г2/АМ. Для теплообмена в неподвижном газе (5 = О) с температурой Т уравнение (18.2.10) для выпуклых тел принимает вид д, =арс, — )ГЙТ/2л (Т вЂ” Т„). 2 (18.2.16) Для тела в неограниченном объеме Я~р, = арс — ) ~ КТ/2п (Т вЂ” Т ) Т. 2 (18.2.17) (18.2.19) Величина /„ имеет порядок 7ро„/ш.
Здесь 1, — средняя длина свободного пробега молекул перед ударной волной. Решение интегрально-дифференциального уравнения Больцмана в кинетической теории газов для случая почти свободно-молекулярного потока, когда 248 Простейшим случаем теплообмена в ограниченном объеме является перенос между двумя параллельными пластинами, когда влиянием краевых эффектов можно пренебречь. Если пластины имеют коэффициенты аккомодации а, и а, и температуры Т, и Т„то — — с (! 1 Тт) (18 2 18) $/2к 1/ги + 1/а,— ! -~/Т + (/Т 2 При рассмотрении переноса тепла в объеме более сложной формы интегрирование уравнений для молекулярного переноса энергии существенно усложняется, так как необходимо при этом учитывать взаимное расположение элементов поверхностей, участвующих в тепловом взаимодействии.
Оп еделенная выше граница свободно-молекулярного режима (Кп — 10) справедлива для газа, движущегося с малой скоростью или покоящегося, а ак е для неохлаждаемого тела при гиперзвуковых скоростях. Если тело т ж сильно охлаждается, то при высоком коэффициенте аккомодации с орост отраженных молекул будет намного меньше скорости налетающих, и плотность потока молекул от тела будет столь большой, что возможные столкновения между молекулами вблизи тела будут играть существенную роль. В этом случае критерием свободно-молекулярного режима является число Кнудсена, найденное по средней длине свободного пробега отраженных молекул: КП„.=1„//.)> 1. необходимо учитывать первые столкновения отраженных молекул, показывает, что относительное значение теплового потока на стенке !//д„„= 1 — х/Кп„, (18.2.20) где в частном случае сферы х = 0,38+2,26 о„/!э.
Эта формула справедлива в диапазоне 1 ( Кп„( 5. !аз. течение сО скОльжением и темпеРАтуРным СКАЧКОМ На расстоянии от стенки, равном средней длине свободного пробега молекул, процессы переноса можно считать свободно-молекулярными, и в этой области возникают скачки скорости (скольжение) и температуры.
Молекулярно-кинетическая теория газов с точностью до множителя, близкого к единице, дает значение скольжения и температурного скачка у стенки а виде (18.3.1) ЛТз =0,664 — 1 1 — 1~ —" (Т вЂ” Т„). ь+! 1' тх 1' Т (18.3.4) 249 ЛТз = Т„„— Т„= 2 — — ! ( — ! . (18.3.2) 2 — к Ь 1 -(дГ~ а Ь+! Рг (,дэ/с, Здесь Т„„— температура газа у стенки. Величина $ = 2((2/сс — 1)) (й/(й + .)-1)) называется коэффициентом скачка.
Второй член в уравнении (18.3.1) выражает влияние термомолекулярного течения — движения газа в направле- нии возрастания температуры. Как видно из этих формул, скольжение и температурный скачок существуют ири любом давлении, проявляясь в слое Кнудсена толщиной (1 —:2) 1. Так как при больших давлениях 1 мало, значения шз и /зТ, пропорциональные 1, пре- небрежимо малы по сравнению со значением скорости течения и температур- ного напора. На этом и основана гипотеза прилипания газа к стенке в динамике сплошной среды. При значениях Кп ) 0„01 выражения (18.3.1) и (18.3.2) можно ввести а граничные условия уравнений Навье — Стокса и энергии и далее искать решение для значений коэффициентов трения и теплообмена. Многочисленные теоретические исследования в этом направлении основа- ны на использовании уравнений пограничного слоя с граничными условиями, учитывающими разрежение.
Принципиальным здесь является вопрос о воз- можности такого течения, когда уравнения пограничного слоя остаются спра- ведливыми при наличии влияния скольжения и температурного скачка. Относительная скорость скольжения выражается через критерии М и Ие следующим образом: (1 8.3.3) !, дУ /ст в 6 )/Йе Для описания движения уравнениями пограничного слоя достаточно усло- вия !хе » 1.
Из приведенных соотношений ясно, что если при значении Ке » 1 значением величины М/)~'Ге нельзя пренебречь, относительное значение ско- рости скольжения может оказаться существенным. Задача об учете скольжения при обтекании полубесконечной плоской пла- стины потоком вязкого газа решена Б. П. Шидловским в приближениях тео- рии пограничного слоя. Решение сводится к задаче Блазиуса с предположением о линейности связи между и и Т. Проведенный анализ не обнаруживает влия- ния разрежения на температуру адиабатической стенки.
При наличии тепло- обмена для заданной температуры стенки температурный скачок Полуэмпирическим вариантом такого подхода является анализ обтеканпз сферы разреженным газом, выполненный Кэвено. Он воспользовался представлением температурного скачка как температурного перепада на эффектнвабв контактном тепловом сопротивлении между газом и стенкой. В этом случае ссоггсз = 1 + $ (1 ггрг ) (сго7)") (18.3.5) где сза и гх — коэффициенты теплообмена при одинаковых тепловых потопы соответственно при отсутствии и наличии температурного скачка; $ вводитсз как коэффициент скачка из формулы (18.3.1). Формулу (18.3.5) можно преп6- разовать к виду 1(Ып = 17Хпа +5 Кп)рг. (18.3.6) Значение числа Хпе для сплошного несжимаемого вязкого потока окопа сферы взято из работы Дрейка и Бэкера.
Кэвеио получил удовлетворительное согласование формулы (18.3.6) с экспериментами в режиме дозвуковых скоростей, приняв по опытным данным $ = 3,42. Величина Е учитывает коэффициент аккомодации, атомность газа и допущения, связанные с принятой схе1чп 0 Б 1,0 00 070 0,4 0,г Б 070 Л 40 Б0 ЮО Пе Рпс. !8.3. Теплообмен в дозвуковом потоке разреженного газа прп О,! <М<08: ! — расчет для свободно-молекулярного течения прн М В; Вл; 0,57; В,зр матизацией. Поэтому ее значение должно определяться для конкретных условий экспериментально. На рис. 18.3 показано влияние разрежения на теплоо6- мен сферы по опытам Кэвено. Для разреженного газа вследствие относительно больших размеров возму.
щенной области первое приближение теории пограничного слоя оправдывается не всегда даже при малых числах Кнудсена. Во-первых, следует иметь в виду необходимость учета влияния толщины вытеснения 6* на течение потока впе пограничного слоя. Во-вторых, для сравнительно небольших тел (6 — 6) нужно учитывать кривизну поверхности и ударной волны.
Ван-Дайк показал, что влияние температурного скачка на теплообмеа может иметь такой же порядок, как и упомянутые выше эффекты. В частности, он нашел связь между тепловым потоком 77 в лобовой точке сферы для условий; й = 1,4; Рг = 0,7; )з — Т; чр = 0,2; М )) 1 и тепловым потоком д для сплоар ного ламинарного пограничного слоя без приближений высшего порядка: г) = ол (1+(0,584 — 0,1!5+О,!22+0 — 0,157) в), (18.3.7) где в = "17' я — 1 М!)77 Ке. 250 Слагаемые при параметре е в случае в = 3,02 Ке)1~ суть влияния внешней завихренности(+0,584), продольной кривизны( — 0,115), поперечной кривизны (+0,122), скольжения (О), температурного скачка ( — 0,157).
В диапазоне 0,04(е(0,23 результаты теории Ван-Дайка подтверждены экспериментами. 18.4. ОСОБЕННОСТИ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ГИПЕРЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ б,лнн гнр ГГ одвр нного с лоя а погрони граница )гонпгинуу 1 10 1()г 10гуе, Рис. 18,6. Локальный теплообмен на пластине при М=10; нет(гоз12)-'=0,1; Рг=0,1; ро/р=!16 (в ударной волне); й=!,4: à — классический пограничный слой: г— сильное взаимодействие; г — вязкий слой; З вЂ” теоретический предел для вязкого слоя; г — свободно-моленулярный перенос 251 Специфической особенностью гиперзвуковых течений разреженного газа является необходимость учета сложного взаимодействия ударной волны с пограничным слоем. Для сильно разреженных газов это взаимодействие приобретает характер гиперзвукового уже при числах М ж 3 —:4. Схематически рассмотрим режимы такого рода течения в окрестности твердого тела, например плоской пластины (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
