Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Задача 2, Исследуйте влияние на оптимальное температурное поле в термостате: (а) геометрических параметров термостата, его камеры и термостатируемого тела; (б) коэффициентов теплопроводности в термостотируемом теле и камере термостата; (в) внешнего охлахсдения (число Био); (г) числа источников тепла; (д) полозкения источников тепла.
13.7. Восстановление внешних тепловых нагрузок 13.7.1. Постановка задачи Рассмотрим проблему определения тепловых потоков на части границы, на которой прямые тепловые измерения невозможны. Сформулируем соответствующую нестационарную граничную обратную задачу теплопроводности (см. п. 12.4). Выделим участок с прямоугольным сечением й = (х ! х = (хн хз), О < х < 1, а = 1, 2) и частыраницы (см. рис.
13.28) 7 = (х ! х б дй, хз = 1з), на котором прямые измерения невозможны. Пусть дй 17 = Г+ 7„ причем 7,=(х!хбдй, хз — — О). Образец предполагается однородным. Поэтому в безразмерных переменных для описания нестационарного температурного поля используется уравнение теплопроводности в виде — — — =О, хбй, 0<$<Т. дг дхз (1) 758 Бгава 13. Примеры численного моделлроеоння Будем считать, что участки границы дй ~ у теплонзолированы, т.е. заданы однородные граничные условия второго рода: ди — =О, ди (2) х Е Г + у„О < 1 < Т. В начальный момент времени температура образца однородна, поэтому поло- жим Рнс. 13.28 и(х, О) = О, х б й.
(3) Граничный режим на 7 неизвестен, но имеются дополнительные температурные измерения на у„т. е. и(х, 1) = У(х, 1), х Е 7„0 < 1 4 Т. (4) В обратной задаче (1) — (4) необходимо по этим дополнительным измерениям восстановить неизвестные тепловые нагрузки на части границы у. (6) (7) 13.7.2. Нелональное возмущение граничных условий Для приближенного решения задачи (1)-(4) можно использовать метод квазиобращения, различные варианты которого рассматриваются в п.
12.4. Здесь мы остановимся на возможностях применения методов с нелокальным возмущением граничных условий. Используется только простейший вариант такою подхода, обоснование которого для задач с самосопряженными операторами для эволюционных уравнений имеется в п. 12.2. Приближенное решение задачи (1)-(4) обозначим и,(х) и будем определять его из уравнения би, 0 и, — — — — О, хай, 0<1<Т, (5) 01,, Охрг = ' дополненного условиями ди, — '=О, хЕГ+7„0<1(Т, ди и„(х,О) =О, х Е й. Вместо (4) задается простейшее нелокальное условие и (хи 0,1) +аи (хи1з,е) = у(хне), 0 <1 < Т. (8) Можно на рассматриваемом модельном примере исследовать воз- можности использования и более общих нелокальных условий тица и,(хп0,1) +ауи,(хи1мг) = у(хпг), 0 <1 < Т, 759 13,7. Воссмановление внешних мепловьи нагрузок положив, например, ди Якгв —, хбт,.
дн' дк аи =— де ' 13.7.3. Локально одномерная рааностная схема В прямоугольнике й вводится обычная равномерная по обоим направлениям сетка Р с шагами Ь! и Ь2. Для написания разностной схемы определим разностный оператор по переменной х! соотношением 2 — — с вг\ 1 хг — — О, -е;, „О <х, <1„ 2 — ое Ь 1 х! =11, Увв!/2 Ув + А!У„~г/2 = О, я = О, 1,....
(9) т На втором полушаге в соответствии с (5), (6), (8) решаются одномерные нелокаяьные задачи по переменной хг'. Ув+! УвМ/2 ( ) т Ув-1-1 вгвг 0<хг<12, У»+1 — У-!/2 2 ( ) О Ь2 Увг-1 гг хг = О, Ув+!(хг, 0)+ орви!(х! 12) = У(хг, гв~гг) Для решения одномерных разностных задач (9) используется обычный алгоритм прогонки, реализованный в подпрограмме ТКИ). Я/ВКО1ХПХЕ ТКШ ( Х, А, С, В, Р, У, 1ТАЗК ) 1МРЫС1Т КЕА1в8 ( А Н О У, ) С С 1ТАЯК - 1: факторизация н решение; С С 1ТАБК - 21 только решение С В1МЕХ$1ОХ А(Х), С(Х), В(1Ч), Р(И), г'(гв) С так что Л*, = Л! > 0 в Я =22(зг/.
Для приближенного решения нелокальной задачи (5)-(8) будем использовать локально одномерную разностную схему. На первом полушаге имеем с учетом введенных обозначений 760 112ава 13. Примеры численного моделирования 1Р ( 1ТАЗК .ЕО. 1 ) ТНЕУ С В(1) = В(1) / С(1) С ОО101=2,Х С(1) = С(1) — В(1-1)иА(1) В(1) = В(1) / С(1) 10 СОРГПХЮЕ 1ТАБК = 2 Е1й13 1Р Р(1) = Р(1) / С(1) 130 20 1 = 2, Х Р(1) = ( Р(1) + Р(1 1)"А(1) ) / С(1) 20 СОРГПЖЗЕ С У(М) = Р(Х) С 130 30 1 = 1н — 1, 1, — 1 У(1) = В(1)*У(1+1) + Р(1) 30 СОРГПХБЕ Решение нелокальных одномерных задач (10) основывается на представлении искомого решения Р(ж2) = у„~1 22 в виде у(х2) = го(У2) + у(12)ю(х2) с условиями ги(12) = 0> е(12) = 1. Для функций го(х2) и и(х2) имеем обычные трехточечные разностные задачи, решаемые обычным вариантом метода прогонки.
Из представления (11) и соответствующего нелокального условия нахалится у(х2) при х2 = 12, а затем и при Всех х2 ° 13.7. Восстаноеленае вне|анин н|енлоеых нагрузок 761 18.7А. Огла|ииваиие входных даииых При приближенном решении обратных задач большое внимание уделяется первичной обработке входной информации. Вместо точных значений температуры (см. граничное условие (4)) мы имеем приближенные данные в отдельных точках х' границы т„на некоторые моменты времени 1': и(х',У) не де(х',У), х Е 7„0 < 1' < Т.
(12) Здесь параметр б определяет уровень ошибок температурных измерений. Простейшая предварительная обработка связана со сглаживанием функции уг(х', У). С этой целью используются традиционные средства вычислительной математики, например, сглаживающие сплайны. Сглаживание в нашей двумерной нестационарной граничной обратной задаче может проводиться как по пространственным, так и по временной переменной.
Особенно важным представляется сглаживание по пространственной переменной, так как решается обратная задача для уравнения, главными членами которого являются именно частные производные по пространственным переменным. Будем рассматривать простейший случай, когда в каждом граничном узле на т„имеется измеренное значение температуры (задана функция уг(х', У) при х' = х| Е Р|). Сглаживание этой сеточной функции проведем, связывая сглаживающий функционал с оператором Л|. Определим гильбертово пространство Ьз(Р,) со скалярным произведением (у, х)| = ~~| у(х|)х(х|)Ь|(х|), е|ео, где й|(х|) = 0,5Ь| в граничных узлах и 1||(х|) = Ь! — во внутренних. Сглаженную сеточную функцию обозначим д(х', У) и определим ее из минимума функционала Я(а,) = ~~у — уг!|~|+а,ОЛ|д|11, где а, — параметр сглаживания.
Для нахождения сглаженной сеточной функции при заданном а, получим сеточное уравнение а,Л,у+у=де, х| ЕР|. (13) С учетом определения сеточного оператора Л| имеем пятиточечное разностное уравнение (13). Для получения разностного решения используется алгоритм прогонки, реализованный в подпрограмме РЕ1чТЛО. Разностное уравнение (13) записывается в виде (см. п.4.5): С|1'| — В|уз+Я|Уз = Рп — В|У| + С|Уз — В|Уз+ Ь|Ул = ем А|У|-з — В'1|-| + С 1| — Вт1' | + В|У| з = Еп 3 < 1 < гд — 3, Ат-|Ут — 3 Вт-!Ут-з+ С -|Ут-| От-|Ут = ьт-и АтУ з — ВтУ | + СтУт — — Рт.
702 1!!ава 13, Примеры численного моделирования Решение ищется в виде У) = оыА+~ — )уг+!~из+7!ы С учетом такого представления нетрудно получить конкретные расчетные формулы для прогоночных параметров а;, Д н 7! (задача 1 в и, !03). Алгоритм реализован в подпрограмме РЕХТАЭ. Б!3ВЕОПТ1ХЕ РЕХТАР ( Х, А, В, С, Р, Е, Р, г', !ТАНК ) 1МР1!С1Т ЕЕАЬз8 ( А-Н, О-Е ) !ТАБЕ - 1: факторизация и решение; !ТАЯК - Рл только решение 01МЕХБ!ОХ А(Х), В(Х), С(Х), Р(Х), Е(Х), Р(Х), У(Х) 1Р ( !ТАНК .ЕО.
1 ) ТНЕХ Р(1) = Р(!) / С(1) Е(!) = Е(1) / С(1) С(2) = С(2) — Р(1)'В(2) Р(2) = ( Р(2) — Е(!)'В(2) ) / С(2) Е(2) = Е(2) / С(2) 90 !01=3,Х С(1) = С(1) — Е(1 — 2)'А(1) + Р(1-!)а( Р(1-2)аА(1) — В(1) ) Р(1) = ( Р(1) + Е(1-1)'( Р(1-2)'А(1) — В(1) ) ) С(1) Е(1) = Е(1) / С(1) 10 СОХТ!ХАМЗЕ С !ТАНК = 2 ЕХР 1Р Р(1) = Р(1) / С(1) Р(2) = ( Р(г) + Р(!)'В(2) ) / С(2) 00201=3,Х Р(1) = ( Р(1) — Р(1 — 2)"А(!) — Р(1-!)'( Р( — )' (!) — В(!) ) ) / С(!) 20 СОХТ1Х1!Е 763 !3.7. Воссгнановление внешних гненвовмх нагрузок С У(Х) = Р(Х) С У(Х вЂ” 1) = Э(Х вЂ” 1)'У(Х) + Р(Х вЂ” 1) С 130301=Х-2, 1, — ! У(1) = 0(1)вУ(1+!) — Е(1)вУ(1+2) + Р(1) 30 СОХР1ХЦЕ КЕТ13КХ ЕХ13 13.7.5. Квааиреальиый эксперимент При отработке методов приближенного решения обратных задач необходимо особенное внимание обратить на исследование точности приближеннбго решения в условиях неточных входных данных.
С этой целью проводится так называемый квазиреальный эксперимент. В рассматриваемой !раничной обратной задаче сначала решается прямая задача при некоторых выбранных граничных условиях на недоступной для прямых измерений части границы у. Из решения прямой задачи находится распределение температуры на у„которые некоторым образом возмущаются. Эти возмущенные температуры принимаются в качестве входных данных при решении обратной задачи, при решении которой восстанавливаются граничные условия на у. Исследуется влияние возмушений на точность решения обратной задачи, уровня вносимых погрешностей, способа выбора параметров регуляризации и т.д.
Рассмотрим прямую задачу с заданным тепловым потоком на у,. Решение определяется из уравнения (1), граничных условий (2), начального условия (3), а также условия дв — =д(х,С), хб у, 0<1(2'. () дп Для решения этой прямой задачи также будем использовать локально одномерную схему. При заданных граничных условиях второго рода на 7 определим аналогично Л1 сеточный оператор Лз.' — 2Ь2 1о хз = 0 0 < хз < 1п Лзв = вмо хз =12 2~2 овп Рава 13. Примеры численного моделирования Разностную схему запишем в виде Упч-1/з — Уп Лзупп-1/2 ч'п~ т 6пы — — тод(436ь), где пихт а определяет дробную часть числа о (см. подпрограмму РЕЕТ). 13.7.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
