Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Программа и примеры расчетов На первом этапе решается прямая задача, затем найденные решения на границе возмущаются, сглаживаются. На втором этапе решается решается обратная задача. Приведем текст программы. РКОСКАМ ТЕЬТ07 1МРЫС1Т КЕА1 '8 ( А — Н, 0 — Е ) ( Х1 = 51, Х2 = 51 ) ( ТА1/ = 5.0 — 3, М = 100 ) ( РЕ1ТА = О.РО, А1.РНА = 1.Р— 4„ АЕРНАБ = О.РО ) РАКАМ ЕТЕК РАКАМЕТЕК РАКАМЕТЕК АЦХ1), ВЦХ1), СЦХ1), РЦХ1), ЕЦХ1), РЦХ1), г'Х(Х1) А2(Х2), С2(Х2), В2(Х2), Р2(Х2) Р1 МЕХ В10Х Р1МЕХБ10Х Р1МЕХЯ1ОХ 0(Х1,М), ОТ(Х!,М), Ч(Х2), %(Х2) РУМЕХВ10Х г'(Х1,Х2) Х1Е = О.РО Х1К = 1.РО Х21.
= О.РО Уп+1 У н/з + Л1 уп м — — О, и = О, 1,.... т Правая часть в (15) обусловлена неоднородным краевым условием (14). В разностное решение прямой задачи (1)-(3), (14) на у„вносятся возмущения. Для этого используется некоторый датчик случайных чисел: дл(х', 1п.„) = уп.,~ + 26(6(х', 1„д) — 0,5), (16) где 6(х', 1„п~) — случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [О, 1]. В (16) параметр д характеризует уровень погрешности. Для полного воспроизводства численных результатов генерация псевдослучайных равномерно распределенных чисел осуществляется по простейшей рекуррентной формуле 13.7.
Воссгнановление внешних яенловых нагрузок 765 Х2Е = 0.5РО Н! = ( Х1Š— Х1Е ) / РН.ОАТ(Х! — 1) Н2 = ( Х2Š— Х21. ) / РгТОАТ(Х2 — 1) С С Вычисление коэффициентов разностных операторов, С действующих на первом этапе: С РО1101=1,Х1 А!(1) = 1.РО / (Н1еН1) С1(1) = 2.РО / (Н1еН1) + 1.РО / ТА!1 В1(!) = 1.РО / (Н1*Н1) 110 СОХТ1Х6Е В1(1) = 2.РО / (Н!'Н1) А1(Х1) 2 РО / (Н1ФН1) С 1ТАБК1 = 1 С РО!201= 1, Х2 А2(1) = 1.РО / (Н2'Н2) С2(1) = 2 РО / (Н2'Н2) + 1.РО / ТА1.! В2(1) = 1.РО / (Н2еН2) 120 СОХТ1Х1/Е В2(1) = 2.РО / (Н2'Н2) А2(Х2) = 2.РО / (Н2'Н2) 1ТАЬК2 = 1 С С Выполнение первого этапа: С РО !31 3 = 1, Х2 РО 130 1 = 1, Х1 У(1,3) = О.РО 130 СОХТ1Х1УЕ 131 СОХТ1ХЮЕ С РО200К=1,М Т = К*ТАС С РО 160 1 = 1, Х! Х! = (1 — 1)*Н1 РО 140 1 = 1, Х2 Ргааа 13.
Примеры численного моделирования 768 РО 2б0! = 1, Х! У(1,1) = О.РО 260 СО1ЧТ1Х!Ж 2б1 СОХТ1ХЮЕ РО 270 1 = 1, Х1 А1(!) = 1.ЭО / (Н!'Н1) С1(!) = 2.Р0 / (Н! Н!) + !.Р0 / ТА!3 В1(1) = 1.00 / (Н1'Н1) 270 СО1ЧТ1Х!7Е В1(1) = 2.РО / (Н1'Н!) А!(1Ч1) = 2.РО / (Н!еН1) !ТАНК! = 1 РО 300 К = 1, М Т = КеТА!7 РО 320 1 = 1, Х2 Прогонка по переменной Х! РО 310 1 = 1, 1Ч1 Р!(1) = (!Эо/ГА!3) У(1,1) СОХГ1Х!Ж С 320 СО1ЧТГХЮЕ С С Прогонка по переменной Х2 С РО 3501= 1, Х! С РО 330 1 = 1, Х2 — ! Р2(1) = (1.РО/ГА!7)еУ(1„!) СОХГ1Х!Ж Р2(Х2) = 0.00 330 САЬЬ ТЕ!Р ( Х2, А2, С2, В2, Р2, %, 1ТАБК2 ) У(1,Х2) = (О(1,К) — %(!)) / (АЬРНА + Ч(!)) РО 340 Я = 1, Х2 У(1,1) = %(Ю) + У(1,Х2)'Ч(Ю) СОХТ!ХГУЕ 340 310 С САЬЬ ТК1Р ( Х1, А1, С1, В1, Р1, У(1,1), !ТАНК! ) И~ива 13. Примеры численною моделирования 770 1.0 0,5 0.5 0.2 1 О 0 О Х, 0.00 0.0 .5 л~ 0.5 Рис.
13.30 Рис. 13.29 Нижеприведенные расчеты выполиеиы иа равномерной прямоугольиой сетке 51 х 51 при 1~ — — 1, 1з = 0,5. Шаг по времени брался равным т = 0,005, общее число шагов равно 100, т. е. 1,ч = 0,5. Прямая задача решалась при задании теплового потока (граиичиое условие (14)) в виде д(и, 1) = 2и~1. Сначала рассмотрим возможности используемого алгоритма при точных входных данных: 6 = О, а, = 0 — решение прямой задачи ие возмущается и ие сглаживается. На рис. 13.29 изображены изотермы у = 0,05й иа момент времени 1 = 1 „, которые получены из решения прямой и обратной задач.
Тем самым, температура восстанавливается очень точио — иа графике два решения практически неразличимы. Восстановление потока при использовании простейшей разиостиой аппроксимации направленными разностями представлено иа рис. 13.30. Здесь точное решение отображено штриховой, а решение обратной задачи — сплошной пинией. Отличия объясняются рассогласованием используемых разиостных аппроксимаций длл потока иа границе. Данный расчет выполнен при достаточно малых значениях параметра иелокальиости а (а = 0,0001), при которых его величина ие сказывается иа точности расчетов. Решение обратных задач в условиях неточно заданных входных данных требует значительно болыией осторожности. Рассмотрим вариаит с возмушеииыми данными в случае, когда параметр возмушения б = 0,0025, Мы имеем два управляющих параметра (параметра регуляризации): параметр а в иелокальиом условии и параметр сглаживания а,.
Важнейшей проблемой является их согласованный между собой и уровнем погрешности 6 выбор. Не обсуждая сколь-нибудь серьезно зту проблему, ограничимся лишь некоторыми иллюстративными примерами. Рис. 13.31 отображает существенное влияние параметра сглаживания иа точность решения рассматриваемой обратной задачи. Расчеты выполиеиы при близком к оптимальному значении параметра и = 0.05. Без 13.7. Восстановление внешних тепловых нагрузок 1.0 О. 0.5 0.0 1.0 ' 0.0 0.5 и, Рнс. 13.31 !.0 х~ 0.5 Рне.
13.33 0.30 0.27 0.24 0.21 033 0.15 О.о 1.0 0.5 х Рне. 13.33 сглаживания практически невозможно говорить о сколь-нибудь содержательном решении задачи. На рис. 13. 32 приведены изотермы, полученные при решении обратной задачи при параметре сглаживания а, = 0,0001. Более детально эффект сглаживания прослеживается на рис. 13.33, где приведены точное, возмущенное и сглаженное прн различных а, значе° но тгмпеоатп ы оз гранине " 772 Пгааа 13.
Примеры численного моделирования Влияние параметра нелокальности а иллюстрируется рис. 13.34. Здесь параметр сглаживания а, = 0,0001. При малых а (уже при о = 0,02) за счет погрешности входных данных решение обратной задачи ничего общего не имеет с точным решением задачи, а при больших а (например, при а = 0,2) решение слишком сильно загрубляется. Представленная программа дает 1 возможность проведения более глубоких методических исследований проблем приближенного решения обратных задач математической физики.
!.0 0.5 0.0 0.0 0.5 х, Рае. 13.34 13.7.7. Задачи Задача 1. Проведите исследование точности восстановления темпе- ратурных потоков при изменении следующих вычислительных параме- тров: (а) числа узлов по пространственным переменным; (б) шага по времени; (в) параметра сглаясивания; (г) параметра нелокального возмущения а. Задача 2. Исследуйте влияние на точность решения обратной задачи: (а) геометрических параметров области; (б) уровня погрешности; (в) вида тепловых нагрузок (функции а(а, 1)).
13.8. Библиография и комментарий 13.8.1. Общие аамечаииа 13.1. При рассмотрении стационарной теплопроводности в кусочно-однородном теле подробно описывается специальная реализация варианта попеременно-треугольного итерационного метода — приближенной факторизации — модификация [4[. 13.2. Моделирование фазовых переходов дня чистых материалов (задача Стефана) проводится на основе обобщенной формулировки в традициях работы [1). 773 13.8. Библиография и комментарий 13.3. Рассматриваемый алгоритм решения интегрального уравнения (блочный, точечный метод Зейделя) переносится без принципиальных усложнений на более общие задачи учета переизлучения. 13.4. На рассматриваемой задаче проводится тестирование алгоритмов решения задач свободной конвекцнн. Подробные данные содержатся, например, в работах (2), 13). 13.5.
В литературе содержится не очень много подходящих примеров, поэтому пришлось ставить модельнузо задачу специально. 13.6. Здесь рассмотрен наиболее простой подход к интересному классу задач расчета термостатов. 13.7. Подход с нелокапьным возмущением граничных условий для приближенного численного решения граничной обратной задаче рассматривается впервые. 13.8.2.
Литература 1, Самарский А. А,, Моисеенко Б./6 Экономичная схема сквозного счета лля многомерной задачи Стефана // ЖВМ и МФ, 5, 285-288 (1965). 2. Юачзг С. Не !аИ алй Залег А Р:, Хазиза1 санчес!!оп зп а игшззе сазйзу— а сотрапзоп ехегспе //!аз. 1. Хшп. Мезвойз йийЬ, 3, 227-248 (1983). 3. 27ачгг С. йе Кавй Ха!ига! сопчесз!оп ог аи !и а и1иаге сач1\у: а Ьепсвпзапз пизпепса! зо1ибоп //1из. 1. Хилз. Мещойз ЕивЬ, 3, 249-264 (1983).
4. е!зеипаг я, с. ейс1еиз ипр!езпепзазюп ог а с!ам ог ргесопзйбопед соп)ийазе агагйеш зпез1зодз // ЯАМ 1. Яс!. 5!аз. Созпр. 2, 1-4 (198!). Приложение Математический аппарат теории разностных схем Гилъбертовы пространства Мы рассматриваем веагеапвенное линейное проспранснгво Н, для элементов которого введены операции сложения и умножения на вещественное число, т. е. каждой паре у б Н, и Е Х ставизся в соответствие элемент у + и Е Н и дяя каждого у Е Н и вещественного числа Л поставлен в соответствие элемент Лу Е Н. При этом лля элементов у,и,л из Х и вещественных чисел Л и р выполнены следующие аксиомы: (1) у + и = и + у, у + (и + л) = (у + и) + н; (2) л(ру) = (лр)у; (3) Л(у+и) = Лу+Ли, (Л+ р)у = Лу+ну; (4) существует однозначно определенный элемент О такой, что двя любого у Е Н имеет место у + О = у; (5) для каждого у Е Н существует однозначно определенный элемент (-у) Е Н такой, что у + (-у) = О; (6) 1 у=у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
