Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Элементы ум ум.,., у„линейного пространства Н называются линейно независимыми, если из равенства Л1У1 + Лзут + ° .. + Л»у» = О следует, что Л~ —— Лз — — ... — — Л„= О. В противном случае элементы У| Уь ., У„называются линейно зависимыми, Непустое замкнутое множество Н' элементов линейного пространства Х называется подноснгранппвом, если вместе с элементами у„ ун...,у„множество Н' содержит любую линейную комбинацию Л~уг + Лзуз +...
+ Л„у„этих элементов. Пространство Н называется п-мерным, если в Н существует п линейно независимых элементов, а всякий (и+ 1)-й элемент линейно зависим. Математический аппарат теории разностных схем 775 Линейное пространство Н называется нормированным, если лля каждого элемента у б Н определено вещественное число ЦуЦ, называемое нормой, удовлетворяющее условиям: (1) ЦуЦ > О; ЦуЦ = О, если только у = О; (2) ЦлуЦ=!л1 ЦуЦ; (3) Цу+ еЦ < ЦуЦ+ ЦоЦ (неравенство треугольника).
В одном и том же линейном пространстве норму можно вводить различными способами. Пусть ЦуЦ~ и ЦуЦг некоторые две нормы в Н. Если существуют постоянные О < пь < М такие, что для любого у б Н верны неравенства глЦуЦ~ ~< ЦуЦг < МЦуЦн то эти нормы называются эквивалентными. В конечномерном пространстве любые две нормы эквивалентны. Последовательность (у„) элементов линейного нормированного пространства Н называется сходящейся к элементу у б Н, если Цу — у„Ц вЂ” О при и -+ О. Если Цу„— у Ц -+ О при и, пь — О, то последовательность (у„) называется фундаментальной.
Линейное нормированное пространство Н называется полным, если всякая фундаментальная последовательность (у„) из этого пространства сходится к элементу у из этого же пространства Н. Полное линейное нормированное пространство Н называется банахоеым. Всякое конечно- мерное линейное нормированное пространство является банаховым.
Для каждой пары элементов у, о вещественного линейного пространства Н определим скаллрное произведение (у, в) такое, что (1) (у, ) = ( , у); (2) (у + е, х) = (у, х) + (о, х); (3) (Лу,в) = Л(у,о); (4) (у, у) > О и (у, у) = О только для у = О. Линейное вещественное нормированное пространство Н с нормой ЦуЦ = ((у,у)) называется унитарным. Полное унитарное пространство Н называется гильйертооым. Конечномерное унитарное пространство является полным. Элементы у и е унитарного пространства называются ортогональными, если (у, в) = О. Система уы ун..., у„элементов из Н называется ортогональной системой, если (уо у ) = бб, 1,у = 1, 2,...,и, где (1, 1= т', 10, вф1, символ Кронекера.
Для элементов у, е унитарного пространства Н справедливо неравенство Коши — Бунлкооского (Шварца) 1(у.е)1< ЦуЦ Цв1!. 77б Приложение зе причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда у и е линейно о зависимы. Для элементов у и е из унитарного пространства Н справедливо равенопво параллелограмма +о~~2+~~ о~~2 2(~~ ~~2+ Ь~~з) Имеет место также тождество (у е) = -(Ь+М!' — Ь-е!!'). 4 для любых элементов у и е унитарного пространства.
Линейные операторы в конечномерном линейном пространстве Всюду ниже предполагается, что Н вЂ” конечномерное линейное нормированное пространство. Операпюр А представляет собой правило, по которому каждому элементу у из некоторого множества Р С Н ставится в соответствие элемент е из множества зс с Н. Множество Тз называется областью определения оиерагпора А (обозначается Р(А)), а множество элементов е = Ау С Я. называется мнозпесгпвом значений операпюра А (Н(А)). Через О обозначается нулевой оператор, а Ж вЂ” единичный.
Будем говорить, что оператор А действует в пространстве Н, если х (А) = Н и Н.(А) С Н. Пусть оператор А отображает Р(А) на п(А) взаимно однозначно. Тогда можно определить оператор А ', действующий из Я(А) в 7З(А), такой, что А 'е = у, если Ау = е. В этих условиях оператор А называется невырождвнным, а оператор А ' — обратным оператору А. Оператор А называется линейным, если для любых у,е Е 7з(А) и вещественных чисел Л, и А(Лу+ ре) = ЛАу+ рАе.
Линейный оператор А в конечномерном линейном пространстве Н имеет обратный с областью определения Ю(А ') = Н тогда и только тогда, когда уравнение Ау = О имеет единственное решение у = О. Оператор А, действующий в Н, называется ограниченным, если С существует постоянная М > О такая, что ОАул < мйуЙ для любых у Е Х. В конечномерном пространстве любой линейный оператор огранич~ чен. 777 Математический аппарат теории разностных схем Наименьшая из таких постоянных М называется нормой оператора А и обозначается ЦАЦ. Из определения нормы оператора следует ЦАЦ = звр — = аор ЦАуЦ.
ЦАуЦ УФО ЦУЦ 11у11= Норма оператора обладает следующими свойствами: (1) ЦЛАЦ = 1ЛЦ1АЦ; (2) ЦА+ ВЦ < ЦАЦ+ ЦВЦ; (3) ЦАВЦ < ЦАЦ ЦВЦ. Если (АВ)у = (ВА)у для всех у Е Н, то операторы А и В называются перестановочнмми (АВ = ВА). Ограниченный оператор А ' существует тогда и только тогда, когда найдется постоянная б > 0 такая, что ЦАуЦ > йЦуЦ для всех у Е Н, причем ЦА 'Ц < 1/6. Операторы в нонечномерном гильбертовом пространстве Оператор А' называется сопряженным оператору А в гильбертовом пространстве Н, если для всех у, е Е Н выполнено тождество (Ау, о) = (у, А'о). Для линейного ограниченного оператора А с областью определения З(А) = Н существует единственный оператор А' с областью определения 'В(А') = Н.
Имеют место равенства (А")' = А, (А+В)* = А'+ В', (АВ)' = В А'. Оператор А* линеен и ограничен, причем ЦА*Ц = ЦАЦ, кроме того, ЦАЦ = (ЦА'АЦ) ~ . Оператор А, действующий в Н, называется самосопрлженным, если А' = А. Если А и  — самосопряженные операторы, то АВ является самосопряженным тогда и только тогда, когда операторы А и В перестановочны.
Оператор А называется кососимметричным, если А* = — А. Любой оператор А можно представить в виде суммы самосопряженного и кососимметричного операторов: Прияожевие где 1, 1 Ао = -(А+ А ), А1 = -(А — А ). 2 ' 2 Оператор А в конечномерном вещественном гильбертовом пространстве Н называется: (1) неотрицательным (А > 0), если (Ау, у) > 0 для всех у б Н; (2) положительным (А > 0), если (Ау, у) > 0 для всех р б Н, кроме у=О; (3) положительно определенным (А > бЕ), если для б > 0 и всех у б Ы имеет место неравенство (Ау, у) > 6Цу11з. В силу определения неравенство А > В означает, что А — В > О. Если оператор А, действующий в конечномерном гнльбертовом пространстве Н, положителен, то существует оператор А '.
Для положительно определенного оператора ЙА 'О <!/б. Произведение двух перестановочных неотрицательных самосопряженных операторов А и В есть также неотрицательный самосопряженный оператор. Для любого линейного оператора А операторы А'А и АА*— неотрнцательны и положительны, если А — положительный оператор. Оператор В называется квадратным корнем нз оператора А, если В = А (В = А'~з). Существует единственный неотрицательный самосопряженный корень нз любого неотрицательного самосопряженного оператора А, перестановочный со всяким оператором, перестаночным с А.
Для самосопряженного неотрицательного оператора А имеет место обобщенное неравенство Коши — Буняковского (Шварца): (Ау, о) < (Ау, д)(Ао, о). Пусть Ю вЂ” самосопряженный положительный (неотрицательный) оператор, действующий в Н. Тогда можно ввести энергетическое пространство Нп, состоящее из элементов Н, со скалярным произведением (р, о)п = (Ву о) и нормой (полунормой) ЬЬ = ИВу, у))'~' Имеет место неравенство 1(у, и)~ < 11у11лйо~(л- для А=А'>О. Для неотрицательного оператора А число (Ар, у) назьпавгся энергией оператора. Математический аппарат теории разностных схем 779 Если существуют постоянные 7з > 71 > О такие, что для линейных операторов А и В верны неравенства 7~В < А < УзВ, то такие операторы называются энергетически эквивалентными.
Если бВ < А < сзВ, то число б и Ь называются границами оператора А. Предметный указател,ь Автомодельное решение 89 адаптивная разностная схема 324 — с дробными шагами 326 адлитивно-усредненная разностная схема 339 альтерниругощий метод Шварца 211 аппроксимация краевого условия на решениях 119 — уравнения на решениях 132 асимптотически устойчивая разностная схема 272 Безразмерный параметр 77 быстрое преобразование Фурье 171 Вторая разностная формула Грина 151 выбор параметра регуляризации по невязке 591 выпуклое множество 54! выпуклый функционал 54! вычислительный эксперимент 27 Гиперболическое уравнение теплопроводности 40 градиент функционала 540 градиентные методы 542 границы оператора !48, 779 граничная обратная задача теплообмена 588 граничные условия 42 — — второго рода 43 — — Дирнхле 43 — — Неймана 43 — — первого рода 43 — — третьего рода 43 Двухслойная разностная схема 239 двухступенчатый итерационный метод 222 двухфазная задача Стефана 51 двухшаговый (трехслойный) итерационный метод !73 диагностический вычислительный эксперимент 32 Естественные переменные 456 Задача Стефана 5! — управления для распределенных систем 539 — условной минимизации 537 закон вариационного типа !78 — матрицы емкости 209 — Стефана — йольцмана 65 — Якоби 184 Каноническая форма двухслойного итерационного метода ! 74 — — двухслойной разностной схемы 239 — — разностного уравнения 135 — — трехслойного итерационного метода 179 — — трехслойной разностной схемы 239 квазиоптимальное значение параметра регуляризации 592 квазистационарная задача Стефана 53 компактнмй разностный оператор 118 конвекция 35 консервативная разностная схема 123 корректно поставленная задача 47 коэффициент кинематической вязкости 58 — линейного расширения 69 — Пуассона 71 — температурного расширения 60 — температуропроводности 37 — теплообмена 44 — теплопроводности 36 коэффициентная граничная обратная задача теплообмена 589 краевые условия 42 Предмегллыл указаглель 781 Лемма 11юнуолла 235 локально-одномерная разностная схема 333 Мажорантная функция 140 марш-алгоритм 169 математическая модель 21 метод баланса 125 — верхней релаксации 188 — выпрямленна фронта 347 — Гаусса 164 — декомпозиции 207 — Зейделя !88 — квазилинеаризации 22! — квазиобращения 594 — конечных элементов 113 — контрольного объема !25 — ловли фронта в узел сетки 346 — матричной прогонки 168 — минимальных поправок 178 — Ньютона 22! — обращения переменных 379 — приближенной факторизации 194 — прогонки 166 — проекции градиента 544 — простой итерации 175 — прямых 247 — разделения переменных 79 — регуляризации А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
