Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Термоупругие напряжения в теле прямоугольного сенения 729 1О СОХПХЮЕ 20 СОМПЖЖ С С Левая граница: краевое условие первого рода С ВО 30 1 = 2, Х2 — 1 А1(1,1) = О.ВО А2(1,1) = О.ВО АО(1,1) = 1.ВО Р(1,1) = О.ВО 30 СОХПХ!1Е С С Нижняя граница: краевое условие первого рода С ВО 40 1 = 2, Х1-1 А1(1,1) = О.ВО А2(1,1) = О ВО АО(1,1) = 1.ВО Р(1,1) = О ВО 40 СОХТ1ХЦЕ С С Верхняя граница: краевое условие третьего рода С ВО 50! = 2, Х1-1 А2(1,Х2) = О.ВО А1(1 — 1,Х2) = 0.5ВО"Н21 А1(1,Х2) = 0.5ВО"Н21 АО(1,Х2) = А1(1-1,Х2) + А1(1„Х2) + А2(1,Х2-1) Р(1,Х2) = — КАРРА'( Н12'(Ч1(1,Х2) — ЧЦ1,Х2-1)) Ф +0.5ВО'(Ч2(1+1,Х2)-Ч2(1 — 1,Х2)) ) Э + 0.5ВО'(1.ВО+2.ВО'КАРРА) Ф 'Н2!'( (Ч1(1+1,Х2) — Ч1(1,Х2)) Ф -(Ч1(1,Х2) — Ч1(1-1,Х2)) ) ь + 0.5ВОь(1.ВО+КАРРА)ь( (Ч2(1+1,Х2) — Ч2(1,Х2)) ь -(Ч2(1+1,Х2-1)-Ч2(1,Х2-1)) ) ь — 0.25ВО'О"Н2"(13(!+1,Х2)-В(1- 1,Х2)) 50 СОМПХ!Ж С С Правая граница: краевое условие третьего рода С ВО 60 1 = 2, Х2-1 А1(Х1,1) = О.ВО А2(Х1,1 — 1) = 0.5ВО'Н12 А2(Х1,1) = 0.5ВО'Н12 13.5.
Термоунругие нанрялсения в теле прямоугольного сечения 731 ВЕТГЗВХ ЕХР ЯЗВКОЮТ1ХЕ РРВА2 ( АО, А1, А2, Р, Ч1, Ч2, Ь3 ) 1МРЬ!СГГ КЕАЬч8 ( А — Н, Π— Е ) КЕА1,а8 КАРРА Р!МЕХЕ!ОХ А0(Х1,Х2), А1(Х1,Х2), А2(Х1,Х2), Р(Х1,Х2), Ф Ч1(Х!,Х2), Ч2(Х1,Х2), 13(Х1,Х2) СОММОХ / Т05 / Х1Ь, Х1К, Ф Х2Ь, Х2К, Ф КАРРА, В1, О, ч Х1, Х2, Н1, Н2 Н1 = (Х1К-Х1Ь) / (Х1-1) Н2 = (Х2К-Х2Ь) / (Х2-1) Н12 = Н1/Н2 Н21 = Н2 / Н1 С С Внутренние уалаг С РО 20 3 = 2, Х2-1 РО101=2,Х1 — 1 А1(1-1,3) = Н21 А1(1,3) = Н21 А2(1,3 — 1) = Н12 А2(1,3) = Н12 АО(1,3) = А1(1-1,3) + А1(1„3) + А2(1,3 — 1) + А2(1,3) Р(1,3) = (ЬРО+2.РО'КАРРА)'Н12'( (Ч2(1,3+1) -Ч2(1,3)) — (Ч2(1,3) — Ч2(1,3-1)) ) + КАРРА'Н12"( (Ч2(1+1,3) — Ч2(1,3)) — (Ч2(1,3) -Ч2(1-1,3)) ) + 0.5РО'(1.РО+КАРРА)'( (Ч1(1,3+1) — Ч1(1 — 1,3+1)) — (Ч1 (1,3) -Ч1(1-1,3) ) + (Ч1(1+1,3) — Ч1(1,3)) — (Ч1(1+1,3-1)-Ч1(1,3-1)) ) — 0.5РО'О "Н1'( 13(1,3+1) — Ы(1,3-1) ) 10 СОХПХОЕ 20 СОХТЗХ!3Е С С Левая граница: краевое условие второго рода С РО303=2,Х2-1 А!ГЬЙ = 0.5ПО"Н21 732 !!~ива 13.
Примеры численного моделирования А2(1,1-1) = 0.5!20*К!2 А2(1,!) = 0.5РО'Н12 АО(1,!) = А!(1,!) + А2(1,1-1) + А2(1,!) Р(1„!) = КАРРА'Н21'(Ч2(2,!)-Ч2(1,1)) + 0.500'(1.ПО+2.!30'КАРРА)'Н12 е '( (Ч2(1,1+1) — Ч2(1,!)) — (Ч2(1,1)-Ч2(1,1-1)) ) Ф + 0.5ОО'(1.00+КАРРА)'( (Ч1(2,1) — Ч1(1,Л)) Ф вЂ” (Ч!(2,Ю-!)-Ч!(1,Ю-1)) ) ч — 0.2500'Сг'Н1*(Щ1,2+1) — 1!(1,! — !)) 30 СОХТ!Х0Е С С Нижняя граница: краевое условие первого рода С ПО 40 1 = 2, Х1 — 1 А1(1,1) = ОЛГО А2(1,1) = О.!20 АО(1,!) = 1.РО Р(1,1) = О.РО 40 СОХТ!ХУЕ С С Верхняя граница: краевое условие третьего рода С РО 50! = 2, Х1-1 А2(1,Х2) = О.!20 А1(1 — 1,Х2) = 0.500'Н21 А1(1,Х2) = 0.5!20"Н21 АО(1,Х2) = А1(1 — 1,Х2) + А1(1,Х2) + А2(1,Х2 — 1) Р(Х1,!) = — ( (!.ПО+2.РО'КАРРА) "Н12"(Ч2(1,Х2) — Ч2(1,Х2-1))+0.5РО'(Ч1(1+1,Х2)-Ч!(1-1,Х2))~ Ф вЂ” О'Н1ч!!(1,Х2) ) Ф + 0.5РО'КАРРА'Н21'( (Ч2(1+ 1,Х2) -Ч2(1,Х2)) — (Ч2(!,Х2) — Ч2(1-1,Х2)) ) Ф + 0.5ООе(1.РО+КАРРА)е( (Ч1(1+1,Х2) -Ч1(!,Х2)) — (Ч1(!+1,Х2 — 1)-Ч1(1,Х2 — 1)) ) — О.
5!20е0'Н!'(Щ1,Х2) - 11(1,Х2-! )) 50 СОХТ(ХЦЕ С С Правая граница: краевое условие третьего рода С ПО бО 1 = 2, Х2-1 А1(Х1,!) = 0.00 А2(Х1,1 — 1) = 0.5ООеН12 А2(Х1,1) = 0.5РО'Н12 13.5. Термоупругие налрялгения в веле прямоугольного сечения 7ЗЗ АО(Х1,2) = А1(Х1 — 1,3) + А2(Х1,2-Ц + А2(Х1,2) Р(1,Х2) = — КАРРА"( Н21а(Ч2(Х1,2) — У2(Х1-1,1)) +0.5РО'(Ч1(Х1,2+Ц вЂ” Ч1(Х1,2 — Ц) ) + 0.5ОО'(1.ПО+2.00'КАРРА) "Н!2'( (Ч2(Х1,2+Ц-Ч2(Х1,2)) а — (Ч2(Х1,2) — У2(Х1,3 — Ц) ) + 0.5РО'(1.РО+КАРРА)'( (Ч1(Х1,2+Ц-Ч1(Х1 — 1,2+Ц) — (Ч1(Х1,3) -У1(Х1 — 1,3)) ) — 025!УО Сан!а(Н(Х12+Ц-!!(Х! 2-Ц) бО СОХТ1ХПЕ С С Левый нижний угол С А1(1,Ц = О.!20 А2(1,Ц = О.РО АО(1,Ц = 1.РО Г(1,Ц = О.!20 Левый верхний угол А2(1,Х2) = О,РО АО(1,Х2) = А!(1,Х2) + А2(1,Х2-Ц Р(1,Х2) = 0.500*( КАРРА*Н21'(У2(2,Х2) — У2(1,Х2)) — ( (1.00+2.РО"КАРРА)«Н12'(Ч2(1,Х2) — У2(1,Х2- Ц) + (У1(2,Х2) -Ч1(1,Х2)) — б'Н1ЧЮ(1,Х2) ) ) + 0.2500'( (1.РО+КАРРА)'( (У1(2„Х2) -Ч!(1,Х2)) — (У1(2,Х2 — Ц вЂ” Ч1(1,Х2- Ц) ) — б'Н!'(Ц1,Х2)-ТУ(1,Х2 — Ц) ) Правый нижний угол А!(Х1,Ц = О.РО А2(Х1,Ц = О.Ю АО(Х1,Ц = !ЛЮ Р(Х1,Ц = О.ПО Правый верхний угол А1(Х1,Х2) = О.РО А2(Х1,Х2) = 0.00 АО(Х1,Х2) = А1(Х! — 1,Х2) + А2(Х1,Х2 — Ц Р(Х1,Х2) = — 0.5!УО"( (1.00+2.1:!О"КАРРА) "Н12 '(Ч2(Х1,Х2)-У2(Х1,Х2- Ц) 734 Вава 13.
Примеры численного моделирования + (Ч1(Х1,Х2)-Ч1(Х! — 1,Х2)) — О'Н1сЩХ1,Х2) + КАРРА'( Н2!'(Ч2(Х1,Х2)-Ч2(Х! — 1,Х2)) + (Ч!(Х1,Х2)-Ч!(Х1,Х2-!)) ) ) КЕТО КХ ЕХВ Лт=р, хбы!.!ды, (29) где Л = (Л,р) — операторная матрица 2 х 2. Для приближенного решения (29) используется метод простой итерации: В +Л =К тЪ-1 тз т (30) В (30)  — диагональная операторная матрица: В = (А б р), б,р— символ Кронекера. Принимая во внимание граничные условия, в качестве А~ берется разностный оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле на нижней (см.
(5)) и левой (см. (7)) границах и условиями Неймана — на правой и верхней (условия (11), (14). В тоже самое время Аз есть сеточный оператор Лапласа с условиями Дирнхле на нижней (см. (5)) и,условиями Неймана на других участках границы (условия (8), (12), (13). В этих условиях скорость сходимостн итерационного процесса не зависит от используемой разностной сетки и зависит только от параметра к. Ниже приведен текст программы, реализующей описанный итерационный метод. РКООВАМ ТЕБТ05 1МР1.1С1Т КЕЛЬ,с8 ( А-Н, Π— Е ) КЕА1 '8 КАРРА С РАКАМЕТЕК ( 1О1М = 40000 ) С !31МЕХБ1ОХ А(1О1М) СС С С Есин Х вЂ” число компонент вектора неизвестных разнсстной 13,6,3.
Итерационный метод Сеточная задача расчета упругих напряжений (24) — (28) решается с использованием простейшего регуляризованного итерационного метода, который обсуждался в п. 10.1. Запишем разностную задачу в виде векторного уравнения 13.5. Термоупругие папрягкенип е теле прямоугольного сечения 735 С С С С С С С С С С С С С С С С С С С С С С С С С С С С задачи, то размещение фрагментов в массиве А описывается синопом аквнвалеитностей: Е(1()1ЧАЬЕХСЕ ( А(1), АО), Ф ( А(Х+2), А1 ), * ( А(2"Х+Х1+1), А2 ), * ( А(узХ+1), () ), е ( А(8*Х+1), Р ), * ( А(9*Х+1), %1 ), * ( А(10"Х+1), Ж2 ), Ф ( А(11еХ+1).
Ч1. ), * ( А(12аХ+1), У2 ) СОММОХ / Т05 / Х1Ь, Х1К, Ф Х21., Х2К, Ф КАРРА, В1, О, Ф Х1, Х2, Н1, Н2 Ввод данных задачи: Х1Ь, ХЗЬ вЂ” координаты левого нижнего угла расчетной прямоугольной области; Х1В, Х2 — координаты правого верхнего угла; КАРРА, В1 — значения соответствующих параметров в уравнениях и граничных условиях; С вЂ” безразмерный параметр, характеризующий тепловые деформации; Х1, Х2 — число узлов сетки по соответствующим яаправлениям; ЕРБ — параметр, характеризующий точность итерационного приближения к решению.
Х1Ь = О.ОО Х1К = Ь00 Х2Ь = О.ОО Х2К = 1.ОО КАРРА = О.ббОО В1 = 1О.ОО О =1ОО Х1 = 51 Х2 = 51 ЕРБ = ЬО-б ТАЫ = 1.О-1 73б РКПЧТ е, ' ТА!) КЕА)) ', ТА1) РКПЧТ е, ' 1ХСВ = ' КЕА)) ', 1ХСК С С С ОРЕХ ( 06, УПЛ 'В05.РТС' ) 1)О 11= 1, 1О1М А(1) = О.ОО СОХТ1Х1)Е 1 С Х = Х!'Х2 В подпрограмме Р)ЖТР определяются центральный АО, правый А1 и верхний А2 коэффициенты разностной схемы на пятиточечном шаблоне и правая часть Р уравнения дла расчета поля температур. САЬЬ Г1)ЗТР ( А(1), А(Х+2), А(2'Х+Х1+1), А(8'Х+1) ) В подпрограмме Я01ЛЕ1 находится решение ревностной задачи итерационным попеременно-треугольным методом приближенной факторизации — сопряженных градиентов.
Начальное приближение передается в массиве А, начиная е 17;Х+1)-й компоненты; на этом же месте на выходе содержится итерационное приближение. СА1 Ь 801УЕ! ( Х, Х1, А(1), А(7'Х+1), А(8"Х+1), ЕРБ') ОРЕХ ( 01, Р11.Е = 'ВОЬ1)д)АТ' ) %К)ТЕ ( 01," ) (А(7'1Ч+1),1=1,Х) СЬОЯЕ ( 01 ) К1Т= О К=О С 10 СОХТ)ХЮЕ С С С С С С С Итерационный процесс для расчета ч1 и ч2 включает решение систем относительно соответствующих поправок чч1 и чч2.
В подпрограмме РВБА1 определяютея коэрфициенты матрицы и правая часть системы относительно чУ1: С С С С С С С С С С С С С С С Пава 13. Примеры численного моделирования 132Ь Термоупругие напрялсения в меле прямоугольного сечения 737 СА1Л РГ)БА! ( А(1), А(Х+2), А(2'Х+Х1+1), А(8'Х+!), Ф А(!1*Х+1), А(12'Х+1), А(7'Х+1) ) Г2 = О.!30 Р0111= 1Х Н = Р2 + А(8'Х+1)"2 А(9'Х+1) = 0.00 11 СОХТ1Х1)Е С С С С Подпрограмма ЯОЬЧЕ1 решает систему относительно поправки ЧЧ1: РО 12 1 = 1,Х Р2 = Р2 + А(8'Х+1)"2 А(10чХ+1) = О.!30 12 СОХПХ1)Е Р2 = РБОКТ(Р2) ГР ( Л,ЬЕ. ЕРБ ) 60 ТО 20 Подпрограмма ЯОЬЧЕ1 решает систему относительно поправки Чч2: САЬЬ БОЬЧЕ! ( Х, Х1, А(1), А(10'Х+1), А(8*Х+!), ЕРБ ) С РО 13 1 = 1,Х А(11чХ+1) = А(11'Х+1) + ТА!)чА( 9'Х+1) А(12'Х+!) = А(12'Х+1) + ТА!)чА(!О'Х+1) 13 СОХТ1ХЦЕ К1Т = КГГ + 1 С РЕ)ХТч,'Кп'=',К1Т,' Р2 ',Р2 К=К+1 1Р ( К .ЕО.
1ХСК ) ТНЕХ К=О РК1ХТ ', ' СОХТ1Х1)Е? (1-ЧЕЯ, О-ХО)' ЕЕАР '. !СОХТ САЬЬ БОЬУЕ1 ( Х„Х1, А(1), А(9чХ+1)„А(8'Х+1), ЕРБ ) С С В подпрограмме Р!)ЯА2 определяются коэффициенты матрицы и С правая часть системы относительно %2: С САЬЬ Н)БА2 ( А(1), А(Х+2), А(2'Х+Х1+!), А(8'Х+1), А(1!чХ+!), А(12чХ+!), А(7'Х+1) ) С 738 Г)гаво 13. Примеры чисоенногомоделороеоннн 1Р ( 1СОМТ .ЕО. 0 ) 60 ТО 20 ЕМР 1Р 60 ТО 10 20 СОМТ11сИЗЕ ОРЕМ ( 02, Н1.Е = 'КОЬУ1.РАТ" ) %К!ТЕ ( 02,* ) (А(! 1'М+1),1=1,М) С!ОБЕ ( 02 ) ОРЕМ ( 03, Н1.Е = 'КОЬУ2.РАТ" ) %К)ТЕ ( 03,' ) (А(12'М+1),1=1,М) СГ,ОЯЕ ( 03 ) С С С10ЯЕ ( 06 ) С ЯГОР ЕМР 13.5.4. Примеры расчетов Представленные ниже результаты носят в значительной мере иллюстративный характер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
