Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Задача рассматривается в половине сечения П = (х 1 х = (хи хг)> О < х < 1, а = 1, 2). Плоские деформации описываются уравнениями Ламе (более подробно см. и. 10.1) д~и1 д~и~ вжиг ди (Л + 21г) — г + Гг — г + (Л +,и) — 7 = О, (1) Вхг дхг дх!дх2 Вх! ве д до~ ди Р— т+(Л+21г) — г+(Л+Р) — У вЂ” = 0 д г дха д' для перемещений т = (оп иг), и~(х) = ее(хп хг), а = 1, 2.
В (1) Л н гг — постоянные Ламе, у = (ЗЛ+ 21г)а, а — коэФФициент линейного расширения. Тело предполагается однородным„н поэтому стационарное температурное состояние описывается Ряс. 13.20 уравнением (2) (6) (7) (8) Ли=О, хай, (3) где Ь вЂ” двумерный оператор Лапласа. Будем считать, что между телом н подложкой идеальный контакт, а температура подложки постоянная, что дает граничное условие и(хп 0) = ио, 0 < х| < 1ь (4) Между телом н подложкой предполагается жесткое сцепление, н поэтому т(хо О) = О, 0 < х| < 1ь (5) Условие симметрии дает следуюшне краевые условия на левой границе: ди — =О, х~ —— О, 0<хг<1ц дх~ е~(0, хг) = О, 0<хг<1п ди2 — =О, х~=О, 0<хт<1ь вз, 13.5.
Термоунругие налряхсения в теяе прямоугольного сечения 723 Верхняя и боковая поверхности граничат с окружающей средой, температура которой а„поэтому принимаются краевые условия да й — +о(а — аг) =О, х|=1~ 0 <хт<1п (9) дх1 да й +в(а — а~)=0 х2=12 0<х~ <1~ (10) дх2 где как обычно й, о — коэффициенты теплопроводности и конвекти иного теплообмена соответственно. Эти участки границы свободны, и при отсутствии нагрузок имеем следующие краевые условия для смещений: да д (Л+ 212) — + Л вЂ” — у(а — а,) = О, (11) дх, дх2 да| ва2 Л вЂ” + (Л + 2р) — — у(а — а,) дх~ дх ф + х~ — — 1н 0 < хт < 12~ (12) =О, (13) =О, х2=12, 0<х~ <1н (14) =О, б = (3 + 2к)а(ая — а,).
В безразмерных переменных уравнения (1), (2) примут вид д', д', д а2 (1+ 2к) — + к — + (1+ к) вхт вх22 дх|дхт дзи2 д дза| к — +(1+ 2к) — + (1+к) д, вх В*,дхз ~'"гю1 н1 ~ ~пчопровотносп Ю ~~~озняет гной да — гг — = О, (15) дх~ да — б — = О. (16) ВХ2 чнч Эти условия соответствуют рассмотрению тепловых расширений относительно состояния тела при температуре окружающей среды.
Уравнения (1)-(3) с краевыми условиями (4)-(14) полностью определяют равновесное состояние твердого неравномерно нагретого тела. При их обезразмеривании возьмем за характерный линейный размер 1ы безразмерную температуру определим отношением (а — а,)/(ав — а,), считая что температура подложки выше температуры окружающей среды. Величина 12 1 — 2и Л 2и характеризует свойства материала, где и — козффициент Пуассона (и < 1(2), Нормируя смещения на 1ы для характеристики тепловых деформаций получим безразмерный параметр 724 11~ива 13.
Примеры численною моделирования„ (20) 13.6.2. Рааиоетиая схема Решение задачи термоупругости в рассматриваемой постановке распадается на лве подзадачи: автономную задачу расчета температурного поля и задачу расчета напряжений дня этого температурного состояния тела. Используется равномерная прямоупаьная сетка ы в прямоугольнике !2. Дифференциальной задаче для стационарного уравнения теплопроводности (3) с граничными условиями (6), (17)-(19) на отдельных , сторонах прямоугольника ставится в соответствие разностная задача. Такие задачи рассматривались ранее нами неоднократно, поэтому мы ' ограничимся тем, что приведем текст подпрограммы формирования соот! ветствующей разностной задачи.
Более подробно рассмотрим разностную "' задачу расчета упругих напряжений. 1'1>аничное условие (4) на подложке дает н(х!,О) = 1, О < х~ < 1, (17) ) а для смещений имеем (5). Сохраняют свой вид и условия симметрии, (6)-(8). Интенсивность теплообмена с окружающей средой характеризуется, числом Био, поэтому из (9), (10) следует дн — +В!н=О, х~ —— 1, 0<хз <1п (18) дх, ди +В!н=О хз=1п 0<х~ <1 (19) дх, где В! = о1,/й.
Для смещений граничные условия (11)-(14) переписыва- ются следующим образом: д, д, (1+ 2к) — + — — Сн = О, дх д з'д до ~ ~ — + — У = О, х, = 1, О < х, < 1„(21) 'ч,дхз дх~ ) до, до — + (1+ 2к) — — Сн = О, (22) дх, дх, з'до, до,'! к~ — + — )) =О, хз=!и 0<х~ <1. (23) 1,д*, д*,,7' Основными параметрами сформулированной задачи (3), (5)-(8), (15) — (23) в безразмерных переменных являются к, гл и В!. Необходимо только иметь в виду, что в данном случае смещения пропорциональны С, и поэтому можно ограничиться расчетами при одном фиксированном С. Другими словами, параметр 6 может быть исключен из списка па- раметров, дня чего необходимо несколько по другому обезразмерить, смещения, 13.5. Термоупругие напряжения в теле прямоугольного сечения 725 БУВК013ТЗХЕ Р135ТР ( АО, А!, А2, Р ) !МР1.!С!Т ВЕА1,вЗ ( А — Н, 0 — Е ) КЕАЬ'8 КАРРА 01МЕХБ1ОХ АО(Х1,Х2), А1(Х1„Х2), А2(Х1,Х2), Р(Х1,Х2) СОММОХ / Т05 / Х11., Х1К, Х2Ь, Х2К, е КАРРА, В1, О, е Х1, Х2, Н1, Н2 Н1 = (Х1К вЂ” Х11.) / (Х1 — 1) Н2 = (Х2К вЂ” Х2Е) / (Х2-!) Н12 = Н1/ Н2 Н21= Н2/Н1 С С Внутренние узлы С 330 20 3 = 2, Х2-1 330 10 1 = 2, Х! — 1 А1(1 — 1,1) = Н21 А1(1,1) = Н21 А2(1,3 — 1) = Н12 А2(1,3) = Н12 АО(1,3) = А!(! — 1,3) + А1(1,1) + А2(1,3-1) + А2(1,1) Р(1,3) = 0.330 10 СОУПХ33Е 20 СОХТ1ХЮЕ С С Левая граница: краевое условие второго рода С 130 30 3 = 2, Х2-1 А2(1,3 — 1) = 0.5330ьН12 А2(1,3) = 0.5!30ьН12 АО(1,3) = А2(1,3 — 1) + А2(1,3) + А1(1„3) Р(1,3) = 0.130 30 СОМПХЮЕ С С Нижняя граница: краевое условие первого рода С !30401= 2, Х1 — 1 Р(1,1) = 1.!30 Р(1,2) = Р(1,2) + А2(1,1)'Р(1,1) А1(1,1) = ОЛГО А2(1,1) = 0.130 АО(1,1) = 1.330 726 В!авя 13.
Примеры численного моделирования 40 СОУПХ!1Е Верхняя граница: краевое условие третьего рода ВО 50 1 = 2, Х1-1 А2(1,Х2) = О.ВО А1(1-1,Х2) = 0.5РО'Н21 А1(1,Х2) = 0.500'Н21 АО(1,Х2) = А1(1 — 1,Х2) + А1(1,Х2) + А2(1,Х2 — 1) + Н1'В! Ц!,Х2) = О.РО 50 СОХПХ!1Е С С Правая граница: краевое условие третьего рода С 00 60 1 = 2, Х2-1 А1(Х1,!) = О.!30 А2(Х1,! — 1) = 0.5!30'Н12 А2(Х1,!) = 0.5РО'Н12 АО(Х1,!) = А1(Х1 — 1,!) + А2(Х1,1 — 1) + А2(Х!,!) Э + Н2'В! В(Х1,!) = 0.00 60 СОХТ!Х!1Е С С Левый нижний угол С Р(1,1) = 1.00 Р(1,2) = Р(1,2) + А2(1,1)'г(1,1) А1(1,1) = О.ОО А2(1,1) = 0.00 АО(1,1) = 1ЛЭО Левый верхний угол А2(1,Х2) = О.!20 АО(1,Х2) = А1(1„Х2) + А2(1,Х2 — 1) Ф + 0.5РО'Н1'В! Р(1,Х2) = О.ОО 13.5. Термоупругие напряжения в нггле прямоугольного сечения 727 Правый ииигиий угол Р(Х1,1) = 1.РО г(Х1,2) = г(Х1,2) + А2(Х1,1)'г(Х1,1) А1(Х1,1) = 0.00 А2(Х1,1) = О.РО АО(Х1,1) = !.00 Правый верхний угол А!(Х1,Х2) = 0.00 А2(Х1,Х2) = 0.110 АО(Х1,Х2) = А1(Х1 — 1„Х2) + А2(Х1,Х2-1) + 0.500еН1еВ1 + 0.5110'Н2'В1 Р(Х1,Х2) = 0.00 С КЕТАХ ЕМЗ Во внутренних узлах сетки системе уравнений (15), (1б) ставится в соответствие (см.
п. 10.1) разностные уравнения (1 + 2кке!)унн + к(е!) уг+ 1+к + — ((е!)у,е + (е!)ггу ) — Сиг, = О, (24) к(е2)уон + (1+ 2к)(е2)у,*,+ 1+к + ((е!)угег + (е!)егуг) — ггигг — — О, Х б Ы. (25) Граничные условия (5) на подложке аппроксимируются просто. Краевое условие (7) используется как краевое условие для уравнения (24), При аппроксимации условия (8), а тем более (9), (10) привлекаются сами уравнения равновесия. Уравнение (16) аппроксимируется на линии симметрии слелуюп!им образом: 2 — к(е!)„+ (1+ 2к)(е,)..., + (1+ к)(е!)* уг — бег =, ! хг=О, 0<хз<1н Принимая во внимание уравнение (15), аппроксимируем краевое условие (20) разностным уравнением: 2 — — ((1 + 2к)(е!)ег + (е!)аг — би) + к(е!)угег + ! +(1+к)(е,)у, — бну =О, х, =1, О< хз <1т (27) 728 Глава 13. Примеры численного моделирования Граничное условие (21) на решениях уравнения (16) приводит к аппроксимации 2 — — ((е~)е, + (е~)1 ) + (1+ 2к)(ет)еин + "1 + (1+ к)(е~)еон — би1 — — О, х~ — — 1, 0 < хз < 1з.
(28) Полностью аналогично аппроксимируются граничные условия (22), (23) на верхней границе тела. Разностные задачи для компонент смещения формируются в приведенных подпрограммах Р33ЯА! и Р33БА2 соответственно. ЯЗВКО13ТЗХЕ РЗЭБА1 ( АО, А1, А2, Р, Ч1, Ч2, 13 ) 1МРЕ1С1Т КЕА3е8 ( А — Н, Π— Е ) КЕА1 '8 КАРРА 331МЕХБ1ОХ АО(Х1,Х2), А1(Х1,Х2), А2(Х1,Х2), Р(Х1,Х2), Ч!(Х1,Х2), Ч2(Х1,Х2), 13(Х1,Х2) СОММОХ / Т05 / Х11, Х1К, Ф Х21., Х2К, Ф КАРРА, В1, б, Х1, Х2, Н1, Н2 Н1 = (Х1К-Х1Е) / (Х!-1) Н2 = (Х2К-Х21.) / (Х2 — 1) Н12 = Н1 / Н2 Н21 = Н2/Н1 С С Внутренние узлы С !30 20 3 = 2, Х2 — 1 !3О 1О 1 = 2, Х1-1 А1(1 — 1,3) = Н21 А1(1,3) = Н21 А2(1,3 — 1) = Н12 А2(1,3) = Н12 АО(1,3) = А1(1- 1,3) + А1(1„1) + А2(1,3- !) + А2(1,3) Р(1,3) = (1.!30+2.!30'КАРРА)'Н21'( (Ч1(1+1,3)-Ч1(1,3)) — (Ч1(1,3)-Ч!(1-1,3)) ) + КАРРАеН12*( (Ч1(1,3+1)-Ч1(1,3)) — (Ч1(1,3) — Ч1(1,3-1)) ) + 0.5ПО'(1.ПО+КАРРА)'( (Ч2(1,3+1) — Ч2(1- 1,3+1)) — (Ч2(1,3) — Ч2(! -1,3)) + (Ч2(1+1,3) — Ч2(1,3)) — (Ч2(1+1,3-1) — Ч2(1,3 — 1)) ) — 0.5ООеОеН2е( 13(!+1,3) — 13(1-1,3) ) 13.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
