Второе начало термодинамики Сади Карно, В.Томпсон, Р. Клаузиус, Д. Больцман, М. Смолуховский (1013602), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Так как в определяющем о выражении (13) переменными-величинами являются только х, и, з, и, следовательно, р(д) тоже должна рассматриваться как функция этих трех величин, то стоящая в квадратных скобках сумма представляетполный диференциал, и мы можем поэтому написать: Хбх + УИУ + Ябг = — НУ(д). (1н) Хаким образом элемент работы выражается для этого случая отрицательным диференцналом от р(о)', откуда следует, что н(д)является для этого случая эргэлом. Предположим теперь, что вместо одной неподвижной точки дано произвольное количество неподвижных точек я, я„яз..., которые находятся на расстояниях о, д,,оз...отточкиридейстзуютнанее с силами, выРажающнмисЯ чеРез У'(д), У,(з,), 7 з'(дз)..
Тогда с помощью интегрирования, подобно тому как мы это сделали в (14), образуем нз этих фУнкций фУнкцни фо), Р,(Р,), У,(дз)... и, пользУЯсь ими положим аналогично равенству (1б): дт(Е) дт1(а,) дтпл(да) Х =* — —— дх дх дх = — д„Ь(е) + р1(е ) + дъ(рз) + .], или, применяя знак суммы: х= — хМ). д (17) Для двух других координатных осей получим точно также: У- — ~ й (з); г- — — „й (И. д д (17а) Отсюда, далее, следует: Хбя+ Убр+Ябз= — Н ' т(д). Сумма Е р(д) является, таким образом, эргалом.
84 Р. Клахэнтп Если вся эта система точек совершает бесконечно малое движение, то работа, произведенная действующими на отдельную точку силами '(которые мы себе можем представить замененными их результирующей), будет изображаться выражением Хдх + Нуу + Яде.
Отсюда следует, что вся работа, совершенная всеми действующими на систему силами, будет представлена выражением вида: Е(Хйх+ У(Ь+ газ). В этом выражении знак суммы относится ко всем входящим в систему движущимся точкам. И это более сложное выражение может, подобно рассмотренному раньше более простому, оказаться нри известных условиях полным диференцналом некоторой функции координат всех движущихся точек; в этом случае мы отрицательное значение этой функции назовем эргалом всей системй.
Отсюда„непосредственно следует, что при'конечном движении совершенная всемп действующими на систему силами рабрта просто равна разности между начальным и конечным значениями эргала и поэтому (если мы только. примем, что функпня, представляющая эргал, имеет для каждого положения точки лишь одно значение) вполне определйна начальными и конечными положениями точек, причем нам ничего не нужно знать о путях, по которым они переходят из верного положения во второз. Вполне понятно, что если мы имеем дело с таким случаем, то вычислзнне работы весьма облегчается. Пример такого случая мы имеем тогда, когда все действующие силы системы являются силами центральными, которые-могут исходить от некоторых неподвижных точек или действовать между точкамн системы.
Что касается центральных снл, исходящих нз неподвижных точек, то наин было уже дано доказательство для одной движущейся точки. Это доказательство сохраняет свое значение и для движения пеной системы точек, ибо работа, произведенная нри движении нескольких точек, просто равна сумме работ, произведенных при движении отдельных точек. В соответствии с этим мы можем ту часть зргала, которая относится к действию неподвижных точек, представить, как н рацьше, через Еч(9); при этом мы должнь только условиться, что значение знака суммы будет расширено в ом смысле, что он будет обнимать теперь нр столько членов, сколько имеется неподвижных точек, но столько, сколько комбэнацнй можно составить попарно из одной цеподвижной и одной движущейсл точки. Переходя, далее, к силам, действующим между самими движущимися точками, мы рассмотрим сначала только две точки Р н Р, с координатами ж, в, е в э,, у,, г,.
Обозначая расстояние между этнмй двумя точками через г, мы должны положить: т = (х~ — з) + (ц~ — д) + (2г — з), (19) Силу, действующую между точками, мы обозначим через Г"(г), пРичем опять допустим, ято положительное ее значение соответ- мнхАннчкскАя тногия тнплА 85 етвует притяжению, а отрнпательное — отталкиванию. Тогда составляющие силы, действующей на точку р в результате этого взаимодействня, будут: т'-.=,*; 1'(г)' — "„"; 1'(г)~=„-*-. а составляющие противоположно направленной силы, действующей на точку ()„ у(, р(, у() Так как, согласно (19), мы должны положить: дг дг э — э, г ' дэ г то обе составляющие силы в направлении осня-ов можно выразить следуюн(лм.
образом: -Иг) —; -~(г) —. дг, дг дэ ' дэ1' Ыслн ввести Функцию Г(г) со аначеннем Ф) - /'у'(ГИГ, то предыдущие выражения превратятсн в дф(г) дг(г) дэ ' дэ1 (Гочио так же для осн р-ов получаем составляющие: дг(г) ф(г) Ь ' дд для осн э-ов д((г) д((г) дг ' дг1 Бслн мы теперь из всей работы, которая производится прн бесг конечно малом движении обейх точек, хотим определить лишь ту ее часть, которая относится к двум противоположно направленным силам, порождаемым взаимодействием между рассматриваемыми точ-. камн; то зта часть будет представлена следующим выражением: — 1 — аэ + — ф + — аэ + эж1 + — й((А + — ээ1~. Г д/(г) дйг) д((г) дйг) д((г) д!(г) дэ дд дэ дэ1 1 дг1 дэ1 Но так как г зависит только от шести величин х, и, е, л„'и „э, и, следовательно, и Г(г) нужно рассматривать как функцию этих шести величии, то стоящая в квадратных скобках сумма есть полный дн4ереицнел, и, значите работа, относяпряся к взаимодействию между обснии точками, будет выражаться просто через — 4(э).
83 Р. клатзиус Точно таким же образом можно представить работу, относящуюся к взанмодействщо.между любой парой точек. Работа, произведенная всеми силами, действующими между точками системы, выразится поэтому следующей алгебраической суммой: — Я(г) — бЯг1) — бЯгэ) —... Это выражение можно переписать так: — Й(~(т) + г1(г1) + Ягз) +...), илп, применяя знак суммы. — 4Е ~(г), причем сумма должна содержать столько слагаемых, сколько комби-' наций по две можно составить из всех движущихся точек.
Эта сумма Е~(г) является поэтому той частью эргала, которая относится к взаимодействиям между движущимися, точками. Если мы теперь объединим оба рода сил, то получим для всей работы, совершенной при бесконечно малом движении системы точек, равенство: Е(ХИх + Убу + Еба) = — дЕ Яз) =НЕ (о(г) = — с$(ЕГ(8)+Е~(г)), (21) откуда следует, что величина Е ч (Е) + Е ~(г) есть эргал всех действующих в системе сил, Лежащее в основе предыдущих рассуждений предположение, что действуют только центральпые силы, представляет, конечно, среди всех математически возможных предположений о природе сил только весьма специальный случай; но этот случай имеет.
особо важнее значение постольку, поскольку, по всей вероятности, все независимые от движения силы природы могут быть сведены к силам центральным'. з 8. Зависимость междт газетой и живой силой В предыдущем изложении рассматривались только силы, дейстующие на точки, и изменения цоложепня точек; массы точек я их скорости не принимались во внимание, Теперь мы обратимся к рарсмотрению также и этих величин. Для свободной движущейся точки массы т спваведлнвы, как известно, следующие уравнения движения: юи —;-=Х; ю — У; тп — =2. ~вх уу лы иФ ' ыи ' ни (йй) Умножая эти уравнения последовательно на ~,й, ~, й; -руй и 'затем складывая, мы,получим: миланичвюкаи тногия типла' Левую часть этого уравнения можно преобразовать так: — ".
ж ~(Й)'+(Й)'+(ФЛ или, если обозначить скорость точки через е-, так: д( — ".4 т д(~Р) ( 2 ) д фт ) 2 4с Нс ( 2 Уравнение (23) принимает тогда следующий анд: д( —, *)=(Х ~+у ф+И ф)дг. (24) Ясли дана не одна свободно движущаяся точка, а целая система таких точек, то аналогичное уравнение будет иметь место для каждой точки системы. Суммируя, мы получим следующее, уравнение. ' — "."='('й+'й+ Ф) Величина Е ~ ив представляет всю живую силу системы то- 2 чек.
Бслн мы введем для живой силы более простое обозначение, положив Т=Š— и', (26) то наше уравнение примет внд: ат=Е(Х д, +уф+г д',)аЬ. (27) Содержание этого уравнения, может быть выражено Словами следующим образом: Приращение живой силы, происшедшее в системе в течение некоторого промежутка времени, равно работе, произведенной дейевзию~~ими силами в течение того жв прймежвтка времени.
При этом,'разумеется, уменьшение живой силы рассматривается кок отрицательное приращение. При вйзоде этого предложения мы принимали, что все точки свободны. Однако может'случиться, что движение точек ограничена. Выражение в правой части этого уравнения представляет работу, совершенную во время й. Интегрируя это уравнение между каким-ниоудь начальным моментом времени гв и моментом ~ и обозначая через Тв живую силу. в момент времени ~в, мы получим: с т — тв=/ (Хф+уф+ге;)д~. (26) Р. кльузиуо известными условиями. 'Гочки могут находиться в известной связи друг с другом, так что движение одной какой-либо точки до некотсрой степени определяет движение других точек; либо на движ нге - могут налагаться--известные ограничения извне, как это, например„ имеет место тогда, когда какая-нибудь точка вынуждена ост.ваться на данной неподвижной поверхности или неподвижной кривой, чем, понятно, ограничивается движение и всех тех точек, которые свяааны с первой точкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
