Второе начало термодинамики Сади Карно, В.Томпсон, Р. Клаузиус, Д. Больцман, М. Смолуховский (1013602), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Тогда д(,я работы, совершенной на этом бесконечно малом пути, которую мы обозначим через ой', мы получим равенство: д)у = 8дз. Обозначим всю действующую на точку силу через Р, а угол, который направление силы составляет с направлением движения в том месте, где находится элемент пути, через у. Тогда получим: Ф = Рсоз у. Следовательно, мы можем написать: ОИ' = Р сов 7 Иг. (2) Для производства вычислений удобно ввести прямоугольную систему координат и затем оперировать проекциямисэлемента пути на направления осей координат и составляющими силы по этдм направлениям. Мы предположим для простоты (а также для того, чтобы развить некоторые соображения, которые понадобятся нам в дальнейшем), мто движение, о котором идет речь, происходит в плоскооти ц что механичкскан ткогия теплА направления сил и исходное направление движения находятся в этой плоскости.
Мы введем расположеняую в этой плоскости прямоуголь- ную систему координат и обозначим координаты движущейся точки р в известный момент времени через х и у. Если точка передвинется из этого Положения на бесконечно малый отрезок,бг,'то проекции этого движения будут бх и бу. Этн проекции мы будем считать положитель- ными или отрицательными в зависимости от того, вызывает ли наше малое движение увеличение илн уменьшение координат. Далее, обозначим составляющие силы Р в направлении осей координат через Х и У.
Если сила Р образует с направлениями осей координат углы, косинусы которых равны а и Ь, то мы имеем: Х=аР; У=ЬР. Если, далее, элемент пути дг образует с направлениями осей коор- динат углы, косинусы которых уть а и б, то мы имеем: бх = ада; бу = фдг. Перемножая этн' уравнения попарно и складывая полученные произведения, получим: Х бх + Уду = (аа + ЬР)Р бг.
Из аналитической геометрии известно, что стоящая в скобках сумма представляет косинус угла между направлением силы и нащав- ленивм элемента пути, так что: аа + Ь)) = сову. Отсюда мы получаем: Хдх + Убу = сову Рбв, и, следовательно, принимая во внимание уравнение (2), бур = Х Ь + ЬЬ. (3) Чтобы из этого уррнения, относящегося к бесконечно малому движению, вывести выражение работы, совершенной при конечном движении, мы должны полученное уравнение проинтегрировать.
3 3. ИнтеГРиРОВАние ДРФеРенпнАлА РАВЪты При интегрировании диференцнального уравнения вида (3) мы будам предполагать, что сила изменяется в различных Местах пространства, или,,иными словами, будем считать Х и У функциями х и У. Поэтому (3) может быть переписано тзк: бит = у(х, у)бх + у(х, у) Г(у.
(За) При интегрировании этого уравнения нуншо иметь в виду одно абстоательство, весьма важное не только для рассматриваемого случая, но и для уравнений механической теории теплоты, с которыми мы будем иметь дело позже.' Поэтому мы остановимся с несколько Р. кльузвус большей полнотой на обсуждении этого обстоятельства. В дальнейшем мы будем просто ссылаться на эти рассуждения, не повторяя их.
Дифереициальные уравнения вышеприведенного вида распадаются на два класса в зависимости от природы функций, стоящих множителями при диференциалах ак и ((у. Эти два класса весьма отличаются друг от друга как по операциям, которых они требуют, так и по результату, к которому они приводят. К первому классу принздлежат те случаи, в которых функции удовлетворяют следующему условию: дХ ду ду дх (4) Ко второму 'классу относится те случаи, в которых функции этому условию не удовлетворяют. Если условие (4) выполнено, то выражение, представляемое правой частью данного диференциального уравнения (3) или (За), может быть проинтегрирована, т. е.
это выражение является полным диференциалом некоторой функции от х и у, в которой обе зти переменные неясно рассматривать как независимые друг от друга. Произведя указанное интегрирование, мы получим уравнение следующего вида И' = р'(х, у) + сопев.
(5) Если условие (4) не выполняется, то правая часть дацного диференциального уравнения не может быть нроиитегрнройана. ' Отсюда следует, что поскольку х и у рассмапгриваютсх как еавичиньь независимые друг от друга, И' не мое(сет бип(ь выражена через функ. Нию этих пдремснных, Действительно, если мы положим: то получим отсюда: дй' дс (х, у) Х = — = — '--, дх дх д)У дх (х, у) у =.
ду ду Ь отсюда вытекает: дх ж'~'~х, у) ду дх ду дг д'Р(х, у) дх ду дх Но для функций двух независимых переменных существует теорев(а, гласящая, что при диференцировании этой функции последовательно по обеим переменным, мы приходим к одному и тому же результату, независимо от порядка диференцврования. Следовательно, мьд можем положить: д()г(х, у) дЧ'~х. у) дх ду дуэх мнхлничискхя тиогкя гнила Таким образом от двух предыдущих уравнений мы опять вернулись бы к уравнению (4), относительно которого мы предположили, что оно в настоящем случае не выполняется.
Итак, в этом случае интегрирование в предположении, что переменные х и у сохраняют свое свойство независимости друг от друга, невозможно. Если, однако, предположить, что между двумя этими величинами существует зависимость, в силу которой одна из них может быть представлена как функция другой, то интегрирование данного диференциального уравнения становится возможным. Так, если мы положим 7(х,у) = О, (6) где 7' обозначает произвольную функцию, то мы можем с помощью этого уравнения выразить одну из переменных через другую и затем исключить эту переменную вместе с ее диференциалом из диферен.. циального уравнения (За).
Общая форма, в которой дано уравнение (6), обнимает, разумеется, и тот' частный случай, когда одна из переменных полагается равной некоторой постоянной. В этом случае диференциал рассматриваемой переменной становится равным нулю и исчезает из диференциального уравнения, а сама переменная просто заменяется постоянной. Итак, предположим, например, что переменная у, вместе с ее диференциалом, исключена из диференцнального уразйения (за) и что последнее приобрело вследствие этого следующий, более простой, вид: И)у = Ф(х) Ь Измененное таким образом диференциальное уравнение допускает, очевидно, интегрирование и дает уравнение следующего вида: й' = Р(х) + сопзс. (7) В соответствии с этим совокупность уравнений (6) и (7) должна быть рассматриваема как решение данного диференциального уравнения.
Так как функция 7(х, у) в уравненин (6) произвольна и с изменением вида этой функции изменяется, вообще говоря, и функция У(х) в уравнении (7), то мы видим, что решений этого рода имеется бесконечно много. Относительно вида уравнения (7) следует еще заметить, что он может быть различным образом изменен. Если бы с помощью уравнения (6) х было выражено через у, а затем переменная х, вместе с ее диференциалом, была бы исключена из данного диференциального уравнения, то оно приняло бы зид: б)У = Э,(у)бу, и отсюда, интегрируя, мы получили бы уравнение вида: й' = Р (у) + сопзс.
(7а) К этому же уравнению можно было бы притти, заменив с помощью уравнения(6) переменную х переменной уз уравнении (7), полученном ранее укаэанным способом. Можно было бы также не исключать Р. КЛАУЗИУС Если зсе это условие не еьтслняется, тс, чтобы иметь еозможность вьтслнить интегрирование, нужно предполсхсить между переменными некоторую зависимость, чзяо приводит п системе двух уравнений агедуюи1его вида: 7(х, У) =О, Й'=х(х у)+совет.
(в) форма функции Е зависит не только от диференциального уравнения, но и от формы произвольной функции 7. з 4. 1 еометРическое знАчение пРБДыДУЩих РезУльтАтОВ И ЗАМЕЧАПВЕ О ПРОИЗВОДНЫХ Существенное различие между результатами, относящимися к обоим случаям, становится особенно наглядным, если воспользоваться некоторыми геометрическими соображениями.
При этом мы для простоты предположим, что функция Е(х, у) в (А) принимает в каждой точке плоскости только одно значение. Предположим, что начальная и конечная точки движения нашей точки р заданы заранее своими коордннатамн х,, у, и х„у,.
Тогда в пер- х полностью из уравнения (7), но предпринять лишь частичное исклю ченцд х. А именно, если переменная х появляется в выражении функ ции Е(х) несколько раз в различных сочетаниях (а этого можно легко добиться с помощью измененного способа написания, хотя бы это и не имело места при первоначальном виде функции, так, например, с+1 х вместо х можно написать (1 — а)х + ах или — „., то в некоторых мессах можно ввести у вместо х, а в другмх — оставить х. В результате уравнение принимает следующий вид: гУ = Еэ(х, у) + сопэь. (7Ь) Эта форма является самой общей и обнимает две другие как частные случаи. Само собой разумеется, что уравнения (7), (7а) и (7Ь), иэ которых каждое имеет силу лишь совместно с (6), не являются различными решениями, но лишь различными выражениями одного и того же решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
