Второе начало термодинамики Сади Карно, В.Томпсон, Р. Клаузиус, Д. Больцман, М. Смолуховский (1013602), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Чтобы сделать возможным интегрирование диференцизльного уравнения (3) можно было бы вместо уравнения (6) исходить также иа уравнения менее простого вида, которое содержало бы, кроме х и у, еще и И' или даже являлось бы диференциальным уравнением. Но для наших целей совершенно достаточно и вышеприведенн ~й простой формы.
Ограничиваясь поэтому ею, резюмируем кратко результаты рассуждений этого параграфа. Если даваемое (4) условие непосредственной возможности интегрирсваниявыпэлняется,то интегр л получается прямо в виде' уравнения: (А) мвхьнзчискья тиогзя теплА вом случае мы можем сейчас же указать работу, которую совершает действующая сила, причем нам совсемне нужно знать, как протекает движение. А именно, эта работа, согласно (А), выражается разностью. Р(лд, 91) — Р(зо, уо).
Итак, хотя движущаяся точка может перейти из одного места в другое весьма различными путями, величина работы, совершаемой при этом силой, совершенно от этого не зависит и полностью определена, как только даны начальная и конечная точки движения. Иначе обстоит дело во втором случае.
В относящейся к этому случаю системе двух уравнений (В) первое уравнение следует рассматривать'как уравнение кривой. Поэтому только что высказанные соображения можно геометрически изложить следующвм образомь работу, совершаемую точкой р, можно определить в этом слумае лишь тогда, когда кривая, по которой движется точка, полностью известна. Если начальная и конечная точки движения заданы заранее, то нужно выбрать первое из уравнений (В) так, чтобы соответствующая ему кривая проходила через обе эти точки; но при этом возможно еще бесконечно.большое число различных форм кривой, для которых, несмотря на то что все они ограничиваются одними и теми же двумя точкями, получится бесконечно много различных значений работы. Если, в частности, принять, что точка р описывает замкнутую кривую, так что начальная точка движения совпадает с его конечной точкой и, следовательио, координаты з,, у, имеют те же значения, что и з„йютодля такого движения в первом случае работа равна нулю; во втором случае она может и не быть равной нулгб, а получить то нли иное положительное нли отрицательное значение.
Рассмотренный здесь случай также очень хорошо поясняет, каким образом величина, которую нельзя выразить через функцию огсз и у (поскольку последние рассматриваются как независимыэ друг от друга переменные), все же может обладать частными производными по з и у, выражающимися через определенные функции этих переменных. А именно, если мы предположим, что х возрастает на бз, в то время как ч остается без изменения, то этим вполне определяется путь, на котором происходит соответствующее бесконечно малое движение, следовательно, вработа, совершенная на этом пути. Если, в соответствии с определениями диференциального исчисления, обозначить эту работу через — бх аи дв то участвующая в этом выражении частная производная — является аи дз вполне определенной величиной.
Так же обстоит дело и с частной ди' производной — в том случае, 'когда й возрастает ца Йу, з остается без изменения, и работа выражается через ди. — дл да 8О Р. кльузиус Так как бесконечно малая работа, совершенная в обоях этих случаях, выражается также произведениями.
Хйж и Уйр, то отсюда получаются уравнения: (8) которыеспразедлнвынезависнмо от того, является ли Я1 величиной, которую згожно представить как функцию от х и у при самых общих предположениях, или же величиной, определить которую можно лишь тогда, когда известен путь, описываемый точкой.
Отсюда вытекает, что условие (4), выполнение или невыполнение которого приводит к рассмотренному различию в оперировании над диференциальным уравнением и в результатах, можно написать также следующим образом: Можно также сказать: рассмотренное в связи с исследованием величины ФГ различие зависит от того, равняется лн разность нулю нли от него отлична. $ б. Рьспгостгьпжниж пгждыдтщжго нь ттн измжгжяня Если рассматриваемая точка р не ограничена в своем движении едкой плоскостью, но может свободно передвигаться в пространстве, то для элемента работы получается выражение, весьма схожее с выра- жением (8).
Пусть а, д, с будут косинусами углов, образуемых дей- ствующей на точку силой .Р с тремя направлениями осей прямоуголь- ной системы координат. Тогда составлжощпе Х, У, Я этой силы опре- делаются равенством: Х = аР; У = йР; Я = сР. Пусть, далее, а, Р, у будут косинусами углов, образуемых эле- ментом пути йг с направлениями осей координат.
Тогда проекции йж, йу и йг элемента пути на оси координат определяются равенством: йл = айг; йр = ))йг; йг = уйг, Отсюда следует: Х йх + Уйр + Я йг (аа + дй + суР йг. 06Ьзначив через у угол между Р'и йг, мы имеем; аа + Ь)) + гу = соь ч слццййтсльно~ ,Хйж+ЬЬ+ гйг= михьиичискмя тиогия типль Из соединения этого равенства с равенством (2) получается: ддддд = Х дЬ + Удр + Еддг. (10) Таково днференцнальное уравнение, определяющед работу. Входд(щие в него величины Х,'У, Я могут быть любымн фуикцпями координат я, и, г; ибо каковЫ бы нн были значения этих трех составляющих в различных точках пространства, из них всегда можно соотавить некоторую силу Р.
Прн изучении этого уравнения нужно, прежде всего, рассмотреть следующие три условия: зх ду дг дг зи зх (11) дл дг и ел' эг зг и выяснить, удовлетворяют ли функции Х, У, Я этим трем условиям; Если условия (Щ выполняются, то выражение в правой части(10) является полным дифереициалом некоторой функции от х, и, г, причем-.эти три переменные рассматриваются как независимые друг от друга.' Интегрирование поэтому зыполняетсн непосредственно,: получается уравнение следующего вцда: Ю = Г(хд, у„г) + сопзс. (12) Если -мы теперь представим себе, что нодвнжная точка р переходит'из некоторой начальной точки ям.уг, ггв некоторую коне4цуго точку я„чд, г„то работа, совершенная при этом силой, будет пред-'.
отавлеиа разностьюд р(яд. Фы гд) й(яг> род го)' Если мы теперь. опять предположим, что у(я,р,г) имеет В каждой точке пространства только одно значение, то работа полностью определится заданием начального и конечного положений'движущейся точки. Отсюда следует, что. как бы ни были различны нути, -по которым движущаяся точка переходит из начального положении в конечное, совершаемая при этом силой работа остается всегда одной и той же. Если три условия (11) не выполняютея, то интегрирование не может быиь проведено в столь общем виде. 'Но когда известен путь,. по которому происходит движение, интегрирование становится возмощным.
Если, в этом случае, даны начальная и коне)ддая точки движения и мы себе представим, что между этими точками проведены различные кривые, по которым может двигаться точка р, то для каждого из этих путей мы получаем определенное значение работы, но значения работы, соответствующие различным путям, вовсе не должны быть, как в предыдущем случае, равньд друг другу; вообще говоря, эти значения оказываются различными. Р. клаузвго и соответствующие выражения для двух других координатных осей. Если мы теперь введем функцию у'(д), определив ее равенством е(р) = у е''(е)г(р (14 в нрсдыд)щее ур»впеппе может быть переписано. так; деЩ де деГе) Х= — — — =- —, де дх дх е1у) ~ 6.
Эгглл В тех случаях, когда работа выражается просто через некоторую функцию координат, эта функция играет важную роль в вычислениях. Поэтому Гамильтон дал ей особое название «1огсе 1ппсс(оп» (силовая функция), 'которое можно прииенить и к более общему случаю, когда вместо одной движущейся точки имеется любое их число и выполнено условие, что работа зависит только от положения точек. С установлением нового, более широкого понимания значений величины, пред-. ставляемой этой функцией, оказалось целесообразным ввести особое название для о~врикательиого значения этой функции, или, иными словами, для той величины, убывание которой представляет совершенную работу. Ганкин предложил название воэывмиальназ энергия. Это название,, правда, превосходно выражает значение рассматриваемой величины, но оно несколько длинно; поэтому я позволил себе предложить для' этой величины название ергаг Р) .
Среди случаев, в которых действующая па точку сила обладает эргалом, следует выделить особенно тот, когда сила складывается пз притяжений и отталкиваний, с которыми действуют на движущуюся точку точки неподвижные, и когда величина этих притяжений и отталкиваний зависит только от расстояния, или, иными словами, когда наша сила может быть представлена как результнрующзя одних только кевжральвчх сил. Предположим сначала, что действие происходит от одной только неподвижйой точки л с координатами е, в, 1 и обозначим через о ее расстояние от движущейся точки, тогда можно написать: е = У(е — х)з+ Ч вЂ” у)г + (с — )'. (13) Если мы обозначим силу, с которой я действует на р, через е '(е (причем положительное значение функции должно обозначать при тяженме, а отрицательное †отталкиван), то мы получим для составляющих силы выражения; х=д'(е)'=*; у=е'(е) — ""; г=е'(е) '=", е е е 'Гак как, далее, из (Щ следует де Š— х дг Е то получается; Х = — е''(е) д* де мвханическьи ткогия типпер (18) Э 7.
Длльнкйшвв газвнтнн пгкдыдтщих соовгьжнний В предыдущем изложении мы рассматривали только одну движущуюся точку. Теперь мы расширим границы нашего исследования и рассмотрим систему, состоящую из сколь угодно большого числа дзнжущвхся точек. Мы предположим, что эти точки частью находятся пол действием внешних сил, частью действуют с нзвестнынн силами друг на друга. Точно так же мы подучим: дт(е) . дт(е) У= — — —. ЕГ дд ' дх Отсюда, далее, следует: Ха+ Убу+ г Ь = — ~+) б +-дт(е) гк+ д,(д'б.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
