semopt11 (1013539), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

f (0,5) f (2) < 0 , и производные f ′( x ) < 0 ,f ′′( x ) > 0 сохраняют знак при x ∈ [0,5; 2] , то условия сходимости выполняются.1. Зададим начальные приближения: на отрезке [0,5; 2] выберем x (0 ) = 0,5 , так какf (0,5) ⋅ f ′′(0,5) > 0 ; на отрезке [− 4, − 2] выберем x (0) = − 4 , так как f (4) ⋅ f ′′(4) > 0 ;аналогично на отрезке [2,5; 4] выберем x (0) = 4 . В поставленной задаче ε = 0,001 .2,3. Результаты расчетов по формуле:x(k +1)=x(k )(x ) − (x ) − 9x + 9 ,−3 (x ) − 2 x−9(k ) 3(k ) 2(k )(k ) 2(k )k = 0,1,... ,приведены в табл.

6–8.Таблица 60k1- 4,00000x (k )x (k ) − x (k −1)-234-3,255319-3,023383-3,000225-3,0000000,7446810,2319360,0231580,000225Таблица 7k0123x (k )0,50000,9729730,99982461,0000000x (k ) − x (k −1)-0,4729730,02685160,0001754Таблица 8kx (k )x (k ) − x (k −1)x∗204,0000-123453,3225813,0514843,0016743,0000023,00000,67741940,27109690,0498090,0016712 ⋅ 10 −6приближенныезначенияВ результате получены≅ 1,0000 ; x ∗3 ≅ 3,0000 .„238корней:x ∗1 ≅ −3,0000 ;В. МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯМетодика решения задачиШаг 1. Найти начальный интервал неопределенности L0 = [a0 , b0 ] одним из методов отделения корней, задать малое положительное число ε .

Положить k = 0 .Шаг 2. Найти середину текущего интервала неопределенности:ck =ak + bk2.Шаг 3. Если f (ak ) ⋅ f (ck ) < 0 , то положить ak +1 = ak , bk +1 = ck , а еслиf (ck ) ⋅ f (bk ) < 0 , то принять ak +1 = ck , bk +1 = bk . В результате находится текущийинтервал неопределенности Lk +1 = [ak +1 , bk +1 ].Шаг 4.

Если bk +1 − ak +1 ≤ ε , то процесс завершить: x ∗ ∈ Lk +1 = [ak +1 , bk +1 ] . Приa+ bk +1ближенное значение корня можно найти по формуле x ∗ ≅ k +1.2Если bk +1 − ak +1 > ε , положить k = k + 1 и перейти к п.2.Пример 5. Найти корень уравнения x 3 − x + 1 = 0 методом половинного деления сточностью ε1 = 0,01 и ε 2 = 0,0005 .†I. Результат отделения корня уравнения x ∗ ∈ [ − 2; − 1 ] , поэтомуa0 = −2 , b0 = −1 .II. Функция непрерывна на отрезке [− 2; − 1] , имеет единственный простой корень.На концах отрезка функция имеет значения f (−2) = −5 , f (−1) = 1 , противоположные познаку.

Результаты расчетов приведены в табл. 9.kf (a k )01234567891011-5-0,875-0,875-0,224-0,224-0,08-0,015-0,015-0,015-0,007-0,0025-0,0003ak-2-1,5-1,5-1,375-1,375-1,34375-1,3282-1,3282-1,3282-1,3263-1,3253-1,3248bk-1-1-1,25-1,25-1,3125-1,3125-1,3125-1,3204-1,3243-1,3243-1,3243-1,3243f (bk )110,29650,29650,050,050,050,0180,00180,00180,00180,0018239ck =ak + bk2-1,5-1,25-1,375-1,3125-1,34375-1,3282-1,3204-1,3243-1,3263-1,3253-1,3248-Таблица 9f (c k )bk − a k-0,8750,2965-0,2240,05-0,08-0,0150,0180,0018-0,007-0,0025-0,0003-10,50,250,1250,06250,031250,01560,007810,00390,0020,0010,0005Если ε1 = 0,01 , корень x ∗ ∈ [− 1,3282; − 1,3204] , а если ε 2 = 0,0005 – кореньx ∗ ∈ [− 1,3248; − 1,3243] или x ∗ ≅x∗ ≅− 1,3282 − 1,3204= −1,3243 при ε1 = 0,01 ;2− 1,3248 − 1,3243= −1,3245 при ε 2 = 0,0005 . „2Пример 6.

Найти корень уравнения x 3 − x 2 − 9 x + 9 = 0 методом половинного деления с точностью ε = 0,01 .† Уточним корень, лежащий на отрезке [2,5; 4] . Результаты расчетов поместим втабл. 10.k012345678f (a k )-4,125-4,125-1,3769-1,3769-0,3672-0,3672-0,0933-0,0933-0,02349ak2,52,52,8752,8752,96872,96872,99212,99212,99804bk43,253,253,06253,06253,01563,01563,00393,0039f (bk )213,51563,51560,78150,78150,18940,18940,04690,0469ck =ak + bkf (c k )Таблица 10bk − a k3,5156-1,37690,78149-0,36720,18945-0,09330,0469-0,023490,0116471,50,750,3750,18750,093750,046870,023440,011720,0058623,252,8753,06252,968753,015622,992183,00392,998043,00097В результате найден интервал [2,99804; 3,0039] и приближенное значение корняx ∗ ≅ 3,00097 .Аналогично могут быть найдены интервалы, содержащие остальные корни уравнения.„240.

Характеристики

Список файлов лекций