8. Задачи вариационного исчисления (1013392)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 8.ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА.МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИTФункционалы F t, x (t ), x (t ) dt , зависящие от одной функцииt0ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых функций (кривых) x (t ) , удовлетворяющих следующим условиям:a) функции x (t ) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезкеt 0 ,T , где t 0 и Tзаданы, т.е.

x (t )  C 1 ([t 0 ,T ]) ;б) функции x (t ) удовлетворяют граничным условиямx t 0   x 0 ,x (T )  xT ,(1)где значения x 0 , xT заданы, т.е. кривые проходят через две закрепленные граничныеточки.На множестве M задан функционалTI [ x (t )]  F t, x (t ), x (t ) dt ,(2)t0где подынтегральная функция F (t , x, x  ) имеет непрерывные частные производные довторого порядка включительно по всем переменным.Среди допустимых кривых x t  , принадлежащих множеству M , требуется найтикривую x  t  , на которой функционал (2) достигает экстремума, т.е.I [ x * (t )]  extrx (t ) MT F t, x (t ), x (t ) dt .(3)t0Так как на кривые x t  , образующие множество M , не наложено дополнительныхусловий, кроме граничных, задача (3) называется задачей поиска безусловного экстремума. Этому классу задач посвящена вторая глава.

В третьей главе рассматриваются задачи поиска условного экстремума, когда на искомые функции кроме граничных условий накладываются дополнительные конечные, интегральные или дифференциальныеусловия.АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМАВ ЗАДАЧЕ (3)1. Найти Fx , Fx  ,dF  и записать уравнение Эйлераdt x1Fx dF   0.dt x2. Найти общее решение уравнения Эйлера x  x t ,C1 ,C 2  , где C1 и C 2 –произвольные постоянные.3.

Определить постоянные C1 и C 2 из граничных условий, решая системуx t 0 ,C1 ,C 2   x 0 ,x T ,C1 ,C 2   xT .В результате получить экстремаль x * t  , на которой может достигаться экстремумфункционала.З а м е ч а н и е.1. Уравнение Эйлера можно записать в развернутой формеF x  F x t  F x x  x   F x x   x   0и при F x x   0 представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение x  x t ,C1 ,C 2  зависит от двух произвольных постоянных C1 и C 2 и определяет двухпараметрическое семейство экстремалей.

Дваграничных условия x t 0   x 0 и x T   xT позволяют найти постоянные C1 и C 2 и,как следствие, кривую x * t  , на которой может достигаться экстремум функционала. Чтобы выяснить, достигается ли на экстремали экстремум функционала, а еслида, то какой (минимум или максимум), следует использовать достаточные условия.2.

Уравнение Эйлера интегрируется в квадратурах лишь в исключительныхслучаях. Приведем некоторые простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.Первый случай. Функция F t , x, x  не зависит от x явно: F t , x, x   F t , x  .dF   0 и, следовательно,Уравнение Эйлера принимает видdt xF x   C1 .Соотношение называется первым интегралом уравнения Эйлера.x явно:Второй случай. Функция F t , x, x  не зависит от tиF t , x, x   F x  . Уравнение Эйлера записывается в форме F x x   x   0 . Его общеерешение имеет видx t   C1 t  C 2 ,так как x   0 , а условие F x x   0 дает обыкновенное дифференциальное уравнениепервого порядка. Если уравнение F   (x )  0 имеет один или несколько действительxxных корней вида x   ki , то получаем однопараметрические семейства прямыхx (t )  ki t  C , содержащиеся в двухпараметрическом семействе.2Третий случай.

Функция F t , x, x  не зависит от tи x  явно:F t , x, x   F x  или не зависит от x  явно: F t , x, x   F t , x  . Задача (3) в общемслучае решения не имеет, так как уравнение Эйлера принимает видFx  0и не является дифференциальным, т.е. его решение не содержит элементов произвола и поэтому не удовлетворяет граничным условиям.

Однако, если решение уравнения F x  0 проходит через граничные точки t 0 , x 0  и T , xT  , экстремаль существует.Четвертый случай. Подынтегральная функция имеет видF t , x, x   P t , x   Q t , x  x  .Уравнение Эйлера записывается в форме P Q 0.xtЭто уравнение не является дифференциальным. Если его решение удовлетворяет гра P Qничным условиям, то экстремаль существует. Если, то под знаком интеxtграла (2) находится полный дифференциал и, следовательно, величина интегралане зависит от пути интегрирования, а вариационная задача теряет смысл.Пятый случай.

Функция F t , x, x  не зависит от t явно: F t , x, x   F x, x .Уравнение Эйлера имеет первый интегралF  x  F x   C1 .Заметим, что часто непосредственное применение уравнения Эйлера оказывается проще использования первых интегралов.Пример 1. Найти экстремаль функционалаI x t  22  x t   x  t  dt ,10удовлетворяющую граничным условиям x 0   0 , x 1  1 . 1. Запишем уравнение Эйлера.

Так как F  x 2  x  2 , F x  2 x , F x   2 x  ,dF    2 x  , получаем 2 x  2 x   0 или x   x  0 .dt x2. Найдем общее решение уравнения Эйлера. Оно является однородным с постоянными коэффициентами, поэтому составим характеристическое уравнение2  1  0 .

Его корни 1  1 ,  2  1 – действительные разные. Общее решение однородного уравнения имеет видx t   C1e 1t  C 2e 2t  C1e t  C 2e t .3. Определим постоянные C1 и C 2 из граничных условий:3x 0   C1  C 2  0,x 1  C1e  C 2Отсюдаx * t  e2e 1C1 et e2e 1e1e2C2 ,e1  e2.1 1.eВрезультатеполучаемэкстремальe t .Пример 2.

Найти экстремаль функционалаI x t  12t x t   x  t  dt ,021удовлетворяющую граничным условиям x  1  1 , x 0   0 .F x 1. Составим уравнение Эйлера (9). Так как F  12t x  x  2 ,dF    2 x  , получаем 12t   2 x   0 или x    6t . 2 x  ,dt xx1x1x * (t )  t 310F x  12t ,x * (t )  cos tt20Рис. 1Рис. 22. Найдем общее решение уравнения Эйлера, интегрируя дваждыправые части уравнения x    6t : x   3t 2  C1 , x t    t 3  C1t  C 2 .3. Определим постоянные C1 и C 2 из граничных условий:x  1  1  C1  C 2  1,x 0   C 2  0.Отсюда C1  C 2  0 .

В результате получаем экстремаль x * t    t 3 (рис.1) .Пример 3. Найти экстремаль функционалаI x t  22  x  t   x t  dt ,20удовлетворяющую граничным условиям x 0   1 , x    0 .2 Решим задачу двумя способами.4tлевую иПервый способ.1. Составим уравнение Эйлера. Так как F  x  2  x 2 , F x  2 x , F x   2 x  ,dF    2 x  , получаем  2x  2 x   0 или x   x  0 .dt x2. Найдем общее решение уравнения Эйлера. Поскольку оно является однородным с постоянными коэффициентами, то составим характеристическое уравнение2  1  0 . Его корни x1,2     i   i – комплексные разные   0,   1 . Поэтомуобщее решение однородного уравнения имеет видx t   e t C1 cos  t  C 2 sin  t   C1 cos t  C 2 sin t .3.

Определим постоянные C1 и C 2 из граничных условий:x 0   C1  1,x    C 2  0.2Отсюда получаем экстремаль x * t   cos t (рис. 2).Второй способ.1. Заметим, что подынтегральная функция F  x  2  x 2 не зависит явно от t ,следовательно, соответствует пятому случаю интегрируемости. Уравнение Эйлераимеет первый интеграл:F  x F x   x  2  x 2  x   2 x   C1 или x  2  x 2   C1  C 2 .2.

Найдем общее решение дифференциального уравнения. Сделаем замену переdx2 . Отсюда x 2  C 2   2 и x  C 2  2 , dx  d . Номенной: x  22dt2 C dt dxd. Проинтегрировав обе части, получим t   arcsin  C 2 .CC 2  2arcsin C2  t ,Cx (t )  C 2   2 Эйлера. sin C 2  t  ,C  C sin C 2  t  .ТогдаПоэтомуC 2  C 2 sin 2 C 2  t   C cos C 2  t  – общее решение уравнения3.

Определим постоянные C и C 2 из граничных условий:x 0   C cos C 2  1,x    C cos C 2    C sin C 2  0 .22Отсюда C  1 , C 2  0 . В результате получена экстремаль x * t   cos t . Заметим,что в данной задаче непосредственное применение уравнения Эйлера приводит кболее простому дифференциальному уравнению.5Пример 4. Найти экстремаль функционала2  4 x t   x  t   12t x t  dt ,1I x t  0удовлетворяющую граничным условиям x 0   1 , x 1  4 .Запишем уравнение Эйлера. Так как F  4 x  x  2  12t x  , F x  4 ,dF    2 x   12 , то 4  2 x   12  0 или x   4 .F x   2 x   12t ,dt x2.

Найдем общее решение уравнения Эйлера, интегрируя последовательно обечасти: x t   4 t  C1 , x t   2 t 2  C1t  C 2 .3. Определим постоянные C1 и C 2 из граничных условий: 1.x 0   C 2  1 ,x 1  2  C1  C 2  4.Отсюда C1  1, C 2  1 . В результате находим экстремаль x * t   2t 2  t  1 .Пример 5.

Найти экстремаль функционалаI x t  ln 2 x2t   2 x 2 t   2 x t   e  t dt ,0удовлетворяющую граничным условиям x 0   x ln 2   0 . 1.F x  4 x  2  e t , F x уравнениеЭйлера.Так как F  x  2  2 x 2  2 x e t ,dF x    2 x  e  t  2 x  e  t , то получаем 2 x  e t ,dtЗапишем4 x  2  e t 2 x  e t  2 x  e t  0 или x   x   2 x  1 .2. Найдем общее решение уравнения Эйлера:а) определим общее решение однородного уравнения x   x   2 x  0 . Корнихарактеристического уравнения 2    2  0 – действительные разные: 1  2 , 2  1 , поэтому x 0 t   C1e 2t  C 2e t ;б) подберем частное решение неоднородного уравнения в видеx ч t   A .1;2в) найдем общее решение неоднородного уравнения как сумму результатов1пп.

«а» и «б» : x t   C1e 2t  C 2e t  .23. Определим постоянные C1 и C 2 из граничных условий:Подставляя в уравнение, получаем  2 A  1 или A  x 0   C1  C 2 x ln 2   C1e61 0,212 ln 2 C 2e ln 2ln1111  C1e ln 4  C 2e 2   4 C1  C 2   0 .222213,C2 и,следовательно, получаем1471 2t 3 t 1x * t  e  e  .1472Пример 6.

Найти экстремаль функционалаОтсюдаC1 I x t  экстремаль22t  x t   x  t   2x t  e dt ,10удовлетворяющую граничным условиям x 0   0 , x 1  0 .Fx 1. Запишем уравнение Эйлера. Так как F  x 2  x  2  2 x e t , F x  2 x  2e t ,dF    2 x  , то получаем 2x  ,dt x2 x  2e t  2 x   0 или x   x  e t .2. Найдем общее решение уравнения Эйлера:а) определим общее решение однородного уравнения x   x  0 .Корни характеристического уравнения 2  1  0 действительные разные: 1  1 , 2  1 . Поэтому x 0 t   C1e 1t  C 2e 2t  C1e t  C 2e t ;б) подберем частное решение неоднородного уравнения в виде x ч t   A t e t ,где A – неизвестный параметр.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций