8. Задачи вариационного исчисления (1013392), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Тогда x ч t   A e t  A t e t , x чt   2 A e t  A t e t . Подставляя в неоднородное уравнение, получаем2A e t  A te t  A t e t  e t .Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях от t , имеем 2 A  1 или1tA  . Поэтому x ч t   e t ;22в) найдем общее решение неоднородного уравнения как сумму результатовtпп. «а» и «б» : x t   C1e t  C 2e  t  e t .23.

Определяем постоянные C1 и C 2 из граничных условий:x 0   C1  C 2  0,x 1  C1e  C 2e 1 Получаемx * t   e22(e 2  1)C1  et e22(e 2  1)e22(e 2  1),e t C2 e22(e 2  1)и,какследствие,e 0.2экстремальt te .27Пример 7. Найти экстремаль функционалаI x (t ) 2 [ 3t x 5(t )  5 x (t ) x  4 (t ) ] dt ,1удовлетворяющую граничным условиям x 1  1 , x 2   4 .Fx 1.

Запишем уравнение Эйлера. Так как F  3t x  5  5x x  4 ,dF x    15x  4  60 t x  3 x   20 x 4  60 x x  2 x , 15 t x  4  20 x x 3 ;dtто 5 x  4  15 x  4  60 t x  3 x   20 x  4  60 x x  2 x   0 илиF x  5x  4 ,x  2 x  x  t x   0 .2. Найдем общее решение уравнения Эйлера. Оно распадается на три уравнения.Первое уравнение x  2  0 имеет решение x t   C .

Прямые этогосемейства не принадлежат классу допустимых кривых, так как не удовлетворяют граничным условиям.Второе уравнение x   0 имеет решение x t   C1 t  C 2 .Третье уравнение x  t x   0 является уравнением с разделяющимися переdx dtменными :. Оно имеет решение x t   C t , которое включается в семействоxtx t   C1 t  C 2 .3.

Найдем постоянные C1 и C 2 из граничных условий:x 1  C1  C 2  1 ,x 2   2C1  C 2  4 .Отсюда C1  3 , C 2  2 , x * t   3 t  2 – экстремаль.Пример 8. Найти экстремаль функционалаI x t  22  x  t   37 x t  x t   81 x t   dt ,180удовлетворяющую граничным условиям x 0   1 , x    1 . 18  1.СоставимуравнениеЭйлера.Так как F  x  2  37 x x   81x 2 ,dF    2x   37 x  , то уравнение имеет видF x  37 x   162 x , F x   2 x   37 x ,dt x 37 x   162 x  2 x   37 x   0 или x   81x  0 .82. Найдем общее решение уравнения Эйлера.

Аналогично п.2 примера 3 получаем 2  81  0 , 1,2   9i , x t   C1 cos 9t  C 2 sin 9t .3. Определим постоянные C1 и C 2 из граничных условий:x 0   C1  1 ,x    C 2  1 . 18 В результате получаем экстремаль x * t   cos 9t  sin 9t .Пример 9. Найти экстремаль функционалаI x t  2  x  t   t x t   dt ,20удовлетворяющую граничным условиям x 0   0 , x 2   0 . 1.

Запишем уравнение Эйлера. Подынтегральная функция F  x  2  t x  независит от x явно и, следовательно, соответствует первому случаю интегрируемости. Уравнение Эйлера имеет первый интеграл:F x   2 x   t  C1 .2. Решим уравнение Эйлера x  C1  t2C12t. Интегрируя, получаем2t2x t  t C2 .24C13. Определим постоянные C1 и C 2 из граничных условий:x 0   C 2  0 ,x 2   C1  1  C 2  0 .t t2Отсюда C1  1 , C 2  0 . В результате получаем экстремаль x t    .2 4Пример 10. Найти экстремаль функционала*I x t  21  x  2 t 1tdt ,удовлетворяющую граничным условиям x 1  3  3 , x 2   3 . 1.

Запишем уравнение Эйлера. Подынтегральная функция F 1  x2неtзависит от x явно и, следовательно, соответствует первому случаю интегрируемости.Уравнение Эйлера имеет первый интеграл:F x xt1  x2 C1 1.C92. Найдем общее решение уравнения Эйлера. Имеемx C1  x 2 t . СделаемC  tg  C sin  .Найдем дифференциал:1cos dt  C cos  d . С учетом равенства dx  tg  dt получаем dx  tg   C  cos  d  C sin  d . Интегрируя, имеем x t    C cos   C 2 .Из системыподстановкуx dx tg  :dtt x t   C 2   C cos  ,t  C sin  ,возводя в квадрат каждое уравнение и складывая, находим t 2  x t   C 2 2  C 2 – общий интеграл уравнения Эйлера.3.

Определим постоянные C и C 2 из граничных условий:x 1  3  3x 2   31  3  3  C22C2,4  3  C 2 2  C 2 .Отсюда C 2  3 , C 2  4 . В результате получаем экстремаль t 2  x * t   32 4 . Таккак x 1  3  3 , экстремум может достигаться лишь на кривой x * t   3  4  t 2 ,t  1, 2 .Пример 11. Найти экстремаль функционалаI x t  43  x  t   x  t  dt ,20удовлетворяющую граничным условиям x 0   0 , x 2   4 . 1,2. Запишем уравнение Эйлера. Подынтегральная функция F  x  4  x  3не зависит от t и x явно и, следовательно, соответствует второму случаю интегрируемости. Общее решение уравнения Эйлера имеет вид (12): x t   C1 t  C 2 .3. Определим постоянные C1 и C 2 из граничных условий:x 0   C 2  0 ,x 2   2C1  C 2  4 .Отсюда C1  2 , C 2  0 .

В результате получаем экстремаль x * t   2 t .Пример 12. Найти экстремаль функционалаI x t  31  x  2 t  dt ,1удовлетворяющую граничным условиям x 1  2 , x 3  0 .10 1,2. Запишем уравнение Эйлера и его общее решение. Подынтегральнаяфункция F  1  x  2 не зависит от t и x явно. Общее решение уравнения Эйлера, соответствующее второму случаю интегрируемости, имеет вид: x t   C1t  C 2 .3. Определим коэффициенты C1 и C 2 из граничных условий:x 1  C1  C 2  2 ,x 3  3C1  C 2  0 .Отсюда C1  1 , C 2  3 . В результате получаем экстремаль x * t    t  3 . Заметим,что тем самым получено решение примера о поиске гладкой кривой, соединяющейдве точки и имеющей наименьшую длину.Пример 13.

Найти экстремаль функционалаI x t  2  x t   x t  dt ,21удовлетворяющую граничным условиям x 1  0 , x 2   1 . Запишем уравнение Эйлера и решим его. Подынтегральная функция2F  x  x не зависит от t и x  . Она соответствует третьему случаю интегрируемости. Уравнение Эйлера имеет вид: F x  2 x  1  0 .11Отсюда x t    . Поставленная задача не имеет решения, так как кривая x t   22не удовлетворяет заданным граничным условиям x 1  0 , x 2   1 .Заметим, что решение существует, если граничные условия другие, а именно:11x 1   , x 2    .22Пример 14. Найти экстремаль функционалаI x t  2  x t   2 t x t  dt ,Tt0удовлетворяющую граничным условиям x t 0   x 0 , x T   xT . Запишем уравнение Эйлера и решим его.

Подынтегральная функцияF  x 2  2t x не зависит от x  и соответствует третьему случаю интегрируемости.Уравнение Эйлера имеет вид: F x  2 x  2t  0 или x t    t . Задача имеет решение,если найденная прямая проходит через граничные точки, т.е. при x t 0    t 0  x 0 ,x T   T  xT .Пример 15. Найти экстремаль функционалаI x t  2  x t   t x t  dt ,20удовлетворяющую граничным условиям x 0   0 , x 2   1 . Запишем уравнение Эйлера и решим его. Подынтегральная функцияF t , x, x   P t , x   Q t , x  x   x 2  t x  , т.е. P t , x   x 2 , Q t , x   t (четвертый слу11чай интегрируемости).

Уравнение Эйлера принимает форму 2 x  1  0 . Отсюда1x t   . Задача не имеет решения, так как полученная функция не удовлетворяет2граничным условиям.Пример 16. Найти экстремаль функционалаI x t  32  2 x t   3t x t  dt ,10удовлетворяющую граничным условиям x 0   0 , x 1  xT . Запишем уравнение Эйлера и решим его. Подынтегральная функцияF t , x, x   P t , x   Q t , x  x   2 x 3  3t 2 x  , т.е.

P t , x   2 x 3 , Q t , x   3t 2 (четвертыйслучай интегрируемости). Уравнение Эйлера принимает форму 6 x 2  6t  0 илиx2  t .Граничное условие x 0   0 удовлетворяется, а условие x 1  xT выполняетсяпри xT2  1 . Таким образом, экстремаль существует только тогда, когда xT  1 илиxT   1 .Пример 17. Найти экстремаль функционалаI x t  2  x t  cos t  2 x t  x t  sin t dt ,26удовлетворяющую граничным условиям x    1 , x    2 .62 Подынтегральная функция имеет видF  x 2 cos t  2 x sin t x   P t , x   Q t , x  x  , т.е.

P t , x   x 2 cos t , Q t , x   2 x sin t .Так как P Q P t , x Q. Выражение под знаком 2 x cos t , 2 x cos t , тоtxxtинтеграла является полным дифференциалом функции x 2 sin t . Величина функционала не зависит от пути интегрирования, а вариационная задача не имеет смысла (см.четвертый случай). Значение функционала равноI   ,2 2   ,1 6 12x 2 cos t dt  2 x sin t dx   ,2 2  d x  ,1 6 2sin t  x 2 sin t  ,2 2   ,1 6 41 7 .2 2МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХС ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИTФункционалыF (t , x (t ), x (t ))dt , зависящие от одной функции.t0Случай гладких экстремалейПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых функций (кривых) x (t ) , удовлетворяющих следующим условиям (см.

рис.1):а) функции x (t ) непрерывно дифференцируемые, т.е. x (t ) C 1 () , где  – некоторый конечный отрезок, внутренними точками которого являются значения t 0 и T ,которые заранее не заданы;б) значения t 0 , x 0  x (t 0 ) и T , xT  x (T ) , определяющие концы допустимых кривых, удовлетворяют граничным условиям:(t 0 , x 0 )  0 ,(T , xT )  0 ,(1)где (t , x ) , (t , x ) – заданные непрерывно дифференцируемые функции.На множестве M задан функционалI x (t ) TF (t , x (t ), x (t )) dt ,(2)t0где функция F (t , x, x ) имеет непрерывные частные производные до второго порядкавключительно по всем переменным.Среди допустимых кривых x (t ) , принадлежащих множеству M , требуется найтикривую x * (t ) , на которой функционал (2) достигает экстремума , т.е.I  x * (t )   extrx ( t )MT F (t , x(t ), x(t )) dt .(*)t0З а м е ч а н и я.1.

Условия (1) определяют подвижные границы (рис. 1). Таким образом, экстремумв поставленной задаче ищется в классе гладких кривых, концы которых скользят по двумзаданным линиям, описываемым уравнениями (t 0 , x 0 )  0 (для левого конца),(T , xT )  0 (для правого конца).13x(T , xT )  0(t 0 , x 0 )  0x  (t )x * (T  )x * (t 0 )t 00TtРис. 1Можно выделить следующие частные случаи общей постановки задачи.А. Концы допустимых кривых скользят по двум заданным вертикальным прямым,описываемым уравнениями: t  t 0 , t  T (рис.

2).xt  t0t Tx  (t )0t0TtРис. 2Б. Концы допустимых кривых скользят по двум заданным кривым, описываемымуравнениямиx  (t ) ,Рисунок аналогичен рис. 1.14x  (t ) .В рамках рассматриваемого частного случая выделим задачу, в которой заданныекривые являются прямыми линиями, параллельными оси абсцисс: x  x 0 , x  xT (рис.3).xx  x0x0x  (t )Tt 00tx  xTxTРис.

32. В поставленной задаче наряду с поиском кривой x * (t ) фактически производитсявыбор значений t 0 * и T * (см. рис. 2 и рис. 3), т.е. ищется тройка ( x * (t ), t 0 * ,T * ). Приэтом ее  -окрестность первого порядка (   0 ) образуется тройками ( x (t ), t 0 ,T ), удовлетворяющими условиюx (t )  x * (t )1C ()t 0  t 0 *  , ,T T *   .Функционал (2) точнее записывается в формеI x (t ), t 0 ,T  TF (t , x (t ), x (t )) dt .t0Функционал достигает на тройке ( x * (t ), t 0 * ,T * ) слабого минимума, еслиI x (t ), t 0 ,T   I x * (t ), t 0 * ,T *в  -окрестности первого порядка.НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМАТеорема (необходимые условия экстремума функционала в задаче (*)).Если на функции x * (t ) C 1 () , удовлетворяющей граничным условиям(t 0 , x 0 )  0, (T , xT )  0 , функционал (2) достигает слабого экстремума, то онаудовлетворяет:dа) уравнению Эйлера F x  F x   0 ;dtб) условиям трансверсальности:15*  x0  0 ,*  t0 * ** *txt,()0t 0 x t0 , x (t0 ) * ** T * **  xT  0 , x T , x (T ) t T , x (T ) F xFxt T *t  t 0*  xT  [F  x  F x  ]t T *  x 0  [F  x  F x  ]t  t0 * T  0 , t 0  0 .З а м е ч а н и я.1.

Характеристики

Список файлов лекций