Главная » Просмотр файлов » 5. Итерационные методы решения систем линейных алгебраиче-ских уравнений. Численные методы решения нелинейных уравнений

5. Итерационные методы решения систем линейных алгебраиче-ских уравнений. Численные методы решения нелинейных уравнений (1013387)

Файл №1013387 5. Итерационные методы решения систем линейных алгебраиче-ских уравнений. Численные методы решения нелинейных уравнений (8 практических занятий с сайта кафеды 805)5. Итерационные методы решения систем линейных алгебраиче-ских уравнений. Численные методы решения нелинейных уравнений (1013387)2017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХАЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), записываемых в видеAx  bили a11  a1n   x1   b1               ,   a n1  ann   x n   bn где A  (ai j )  R n  n – действительная матрица размеров (n  n) , i , j – переменные,соответствующие номерам строк и столбцов (целые числа); b  (b1 ,..., bn )T  R n –вектор-столбец размеров (n  1) , x  ( x1 ,..., x n )T  R n – вектор-столбец неизвестных,R n – n -мерное евклидово пространство, верхний индекс " T " здесь и далее обозначаетоперацию транспонирования.Требуется найти решение x   ( x 1 ,..., x  n )T  R n системы, подстановка кото-рого в систему приводит к верному равенству A x   b .А.

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙМетодика решения задачиШаг 1. Преобразовать систему Ax  b к виду x  x   одним из описанныхспособов.x (0 )Шаг 2. Задать начальное приближение решения x (0) произвольно или положить  , а также малое положительное число  (точность).

Положить k  0 .Шаг 3. Вычислить следующее приближение x (k 1) по формулеx (k 1)  x (k )   .Шаг 4. Если выполнено условие окончания x (k 1)  x (k )   , процесс завершить и положить x   x (k 1) . Иначе положить k  k  1 и перейти к п.3.Пример 1. Методом простых итераций с точностью   0,01 решить системулинейных алгебраических уравнений:2 x1  2 x 2  10 x 3  14 ,10 x1  x 2  x 3  12 ,2 x1  10 x 2  x 3  13.227 1. Так как 2  2  10 , 1  10  1 , 1  2  10 , условие преобладаниядиагональных элементов не выполняется. Переставим уравнения местами так, чтобывыполнялось условие преобладания диагональных элементов:10 x1  x 2  x 3  12 ,2 x1  10 x 2  x 3  13,2 x1  2 x 2  10 x 3  14 .10  1  1 , 10  2  1 , 10  2  2 .

Выразим из первого уравненияПолучаемx1 , из второго x 2 , из третьего x 3 :x1   0,1  x 2  0,1  x 3  1,2 ,x 2   0,2  x1  0,1  x 3  1,3 ,x 3   0,2  x1  0,2  x 2  1,4 ;Заметим, что1 0  0,1  0,1 1,2  0  0,1  ;    1,3  .    0,2  0,2  0,21,4 0   max  0,2 ; 0,3 ; 0,4   0,4  1 , следовательно, условие сходимости(теорема) выполнено.2. Зададим x(0 )1,2      1,3  . В поставленной задаче   0,01 .1,4  3. Выполним расчеты по формуле x (k 1)  x (k )   :x (k 1)(k ) 0  0,1  0,1   x1  1,2     0,20  0,1    x 2(k )    1,3  , k  0,1,... ,  0,2  0,2  x (k )  1,4 0  3   илиx1(k 1)   0,1x 2(k )  0,1x 3(k )  1,2 ;x 2(k 1)   0,2 x1(k )  0,1x 3(k )  1,3 ;k  0,1,... ,x 3(k 1)   0,2 x1(k )  0,2 x 2(k )  1,4 ;до выполнения условия окончания и результаты занесем в табл.

1.Таблица 1kx1(k )x 2(k )x 3(k )x (k )  x (k 1)0123451,20000,93001,01800,99461,00150,99961,30000,92001,02400,99341,00200,99951,40000,9001,03000,99161,00240,99930,50,130,03840,01080,0027< 22814. Расчет закончен, поскольку условие окончания x (k 1)  x (k )  0,0027  выполнено.Приближенное решение задачи: x   (0,9996 ; 0,9995 ; 0,9993)T . Очевидно, точное решение: x   (1 ; 1 ; 1)T .Б. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯМетодика решения задачиШаг 1.

Преобразовать систему Ax  b к виду x  x   одним из описанныхспособов.Шаг 2. Задать начальное приближение решения x (0) произвольно или положитьx (0)   , а также малое положительное число  (точность). Положить k  0 .Шаг 3. Произвести расчеты по формулеx1( k 1)  11 x1(k )  12 x 2( k )  13 x 3( k )  ...

 1n x n(k )  1 ,x 2( k 1)   21 x1( k 1)   22 x 2(k )   23 x 3(k )  ...   2n x n( k )   2 ,(*)x 3( k 1)   31 x1( k 1)   32 x 2( k 1)   33 x 3( k )  ...   3n x n( k )   3 ,x n( k 1)   n1 x1(k 1)   n 2 x 2( k 1)   n3 x 3( k 1)  ...   nn 1 x n(k11)   nn x n(k )   n .(в каждое последующее уравнение подставляются значения неизвестных, полученныхиз предыдущих уравнений, что показано в записи стрелками)илиx (k 1)  Lx (k 1)  Ux (k )   ,где L,U являются разложениями матрицы  : 0  21L    31  n100 3200 n2 n3000 0 ,  0 11 0U  0 012 220013  1n  23   2n  33   3n  .   0   nn и найти x (k 1) .Шаг 4. Если выполнено условие окончания x (k 1)  x (k )   , процесс завершить и положить x   x (k 1) . Иначе положить k  k  1 и перейти к п.3.229Пример 2.

Методом Зейделя с точностью   0,001 решить систему линейныхалгебраических уравнений:2 x1  2 x 2  10 x 3  14 ,10 x1  x 2  x 3  12 ,2 x1  10 x 2  x 3  13 . 1. Приведем систему Ax  b к виду x  x   так же, как в примере 1:x1   0,1  x 2  0,1  x 3  1,2 ,x 2   0,2  x1  0,1  x 3  1,3 ,x 3   0,2  x1  0,2  x 2  1,4 ;Так как 1 0  0,1  0,1     0,20  0,1  ;  0,2  0,20 1,2     1,3  .1,4   max  0,2 ; 0,3 ; 0,4   0,4  1 , условие сходимости выполняется.2. Зададим x (0)  (1,2; 0; 0)T . В поставленной задаче   0,001 .3.

Выполним расчеты по формуле (*):x1(k 1)   0,1x 2(k )  0,1x 3(k )  1,2 ;x 2(k 1)   0,2 x1(k 1)  0,1x 3(k )  1,3 ;k  0,1,... ,x 3(k 1)   0,2 x1(k 1)  0,2 x 2(k 1)  1,4 ;и результаты занесем в табл. 2.Таблица 2kx1(k )x 2(k )x 3(k )012341,20001,20000,99920,99961,000001,06001,00541,00021,000000,94800,99911,00001,0000x(k ) x (k 1)11,06000,10080,00520,0004< Очевидно, найденное решение x   (1 ; 1 ; 1)T является точным.4.

Расчет завершен, поскольку условие окончания x (k 1)  x (k )  0,0004  выполнено.230ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть дано нелинейное уравнениеf (x )  0 ,(*)где f ( x ) – функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке.Этапы решения нелинейных уравненийПервый этап. Находятся отрезки ai , bi  , внутри каждого из которых содержится один простой или кратный корень ( x i  ai , bi  ). Этот этап называется процедуройотделения корней. По сути, на нем осуществляется грубое нахождение корней x i .Второй этап.

Грубое значение каждого корня x i уточняется до заданной точности одним из численных методов, в которых реализуются последовательные приближения.А. МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙМетодика решения задачиШаг 1. Уравнение f ( x )  0 равносильным преобразованием привести к видуx  ( x ) . Это преобразование может быть осуществлено различными путями, но длясходимости нужно обеспечить выполнение условия ( x )    1 (  – некотораяконстанта). При этом задача сводится к нахождению абсциссы точки пересеченияпрямой y  x и кривой y  ( x ) (рис.

1).yyxy  ( x )0xxРис. 1Шаг 2. Задать начальное приближение x (0 )  [a, b ] и малое положительное число . Положить k  0 .231Шаг 3. Вычислить следующее приближение:x ( k 1)  ( x ( k ) ) .Шаг 4. Если x (k 1)  x (k )   , итерации завершаются и x   x (k 1) . Еслиx ( k 1)  x ( k )   , положить k  k  1 и перейти к п.3.Способы преобразования уравненияПреобразование уравнения f ( x )  0 к равносильному виду x  ( x ) можетбыть выполнено неоднозначно.1.

Можно заменить уравнение f ( x )  0 на равносильное x  x  c f ( x ) , гдеc  const  0 . Тогда, принимая правую часть этого уравнения за ( x ) и раскрывая( x )  1  c f ( x )  1 , получаем условие  2  c f ( x )  0 .2. Можно выразить x из уравнения f ( x )  0 так, чтобы для полученного уравнения x  ( x ) выполнялось условие сходимости ( x )  1 в окрестности искомогокорня.Пример 1.

Найти решение уравнения x 3  x  1  0 методом простых итерацийс точностью 1  0,01 и  2  0,001 . I. Отделим корень уравнения. Уравнение имеет три корня, среди которых покрайней мере один действительный, поскольку это уравнение нечетной степени.Преобразуем уравнение к равносильному виду: x 3  x  1 и найдем точки пересечения графиков y  x 3 и y  x  1 (рис. 2).yy  x3y  x 121011Рис. 2Очевидно, корень уравнения x   [  2;  1 ] .232xII. Преобразуем уравнение к виду x  ( x ) . Для этого запишем его сначала вформе x  x 3  1 . Легко показать, что функция ( x )  x 3  1 не удовлетворяет условию сходимости, поскольку ( x )  3x 2 , ( 2)  12  1 , ( 1)  3  1 . Поэтому воспользуемся другим преобразованием.В результате получим x  3 x  1 .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
319,19 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций

8 практических занятий с сайта кафеды 805
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее