5. Итерационные методы решения систем линейных алгебраиче-ских уравнений. Численные методы решения нелинейных уравнений (1013387)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХАЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), записываемых в видеAx  bили a11  a1n   x1   b1               ,   a n1  ann   x n   bn где A  (ai j )  R n  n – действительная матрица размеров (n  n) , i , j – переменные,соответствующие номерам строк и столбцов (целые числа); b  (b1 ,..., bn )T  R n –вектор-столбец размеров (n  1) , x  ( x1 ,..., x n )T  R n – вектор-столбец неизвестных,R n – n -мерное евклидово пространство, верхний индекс " T " здесь и далее обозначаетоперацию транспонирования.Требуется найти решение x   ( x 1 ,..., x  n )T  R n системы, подстановка кото-рого в систему приводит к верному равенству A x   b .А.

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙМетодика решения задачиШаг 1. Преобразовать систему Ax  b к виду x  x   одним из описанныхспособов.x (0 )Шаг 2. Задать начальное приближение решения x (0) произвольно или положить  , а также малое положительное число  (точность).

Положить k  0 .Шаг 3. Вычислить следующее приближение x (k 1) по формулеx (k 1)  x (k )   .Шаг 4. Если выполнено условие окончания x (k 1)  x (k )   , процесс завершить и положить x   x (k 1) . Иначе положить k  k  1 и перейти к п.3.Пример 1. Методом простых итераций с точностью   0,01 решить системулинейных алгебраических уравнений:2 x1  2 x 2  10 x 3  14 ,10 x1  x 2  x 3  12 ,2 x1  10 x 2  x 3  13.227 1. Так как 2  2  10 , 1  10  1 , 1  2  10 , условие преобладаниядиагональных элементов не выполняется. Переставим уравнения местами так, чтобывыполнялось условие преобладания диагональных элементов:10 x1  x 2  x 3  12 ,2 x1  10 x 2  x 3  13,2 x1  2 x 2  10 x 3  14 .10  1  1 , 10  2  1 , 10  2  2 .

Выразим из первого уравненияПолучаемx1 , из второго x 2 , из третьего x 3 :x1   0,1  x 2  0,1  x 3  1,2 ,x 2   0,2  x1  0,1  x 3  1,3 ,x 3   0,2  x1  0,2  x 2  1,4 ;Заметим, что1 0  0,1  0,1 1,2  0  0,1  ;    1,3  .    0,2  0,2  0,21,4 0   max  0,2 ; 0,3 ; 0,4   0,4  1 , следовательно, условие сходимости(теорема) выполнено.2. Зададим x(0 )1,2      1,3  . В поставленной задаче   0,01 .1,4  3. Выполним расчеты по формуле x (k 1)  x (k )   :x (k 1)(k ) 0  0,1  0,1   x1  1,2     0,20  0,1    x 2(k )    1,3  , k  0,1,... ,  0,2  0,2  x (k )  1,4 0  3   илиx1(k 1)   0,1x 2(k )  0,1x 3(k )  1,2 ;x 2(k 1)   0,2 x1(k )  0,1x 3(k )  1,3 ;k  0,1,... ,x 3(k 1)   0,2 x1(k )  0,2 x 2(k )  1,4 ;до выполнения условия окончания и результаты занесем в табл.

1.Таблица 1kx1(k )x 2(k )x 3(k )x (k )  x (k 1)0123451,20000,93001,01800,99461,00150,99961,30000,92001,02400,99341,00200,99951,40000,9001,03000,99161,00240,99930,50,130,03840,01080,0027< 22814. Расчет закончен, поскольку условие окончания x (k 1)  x (k )  0,0027  выполнено.Приближенное решение задачи: x   (0,9996 ; 0,9995 ; 0,9993)T . Очевидно, точное решение: x   (1 ; 1 ; 1)T .Б. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯМетодика решения задачиШаг 1.

Преобразовать систему Ax  b к виду x  x   одним из описанныхспособов.Шаг 2. Задать начальное приближение решения x (0) произвольно или положитьx (0)   , а также малое положительное число  (точность). Положить k  0 .Шаг 3. Произвести расчеты по формулеx1( k 1)  11 x1(k )  12 x 2( k )  13 x 3( k )  ...

 1n x n(k )  1 ,x 2( k 1)   21 x1( k 1)   22 x 2(k )   23 x 3(k )  ...   2n x n( k )   2 ,(*)x 3( k 1)   31 x1( k 1)   32 x 2( k 1)   33 x 3( k )  ...   3n x n( k )   3 ,x n( k 1)   n1 x1(k 1)   n 2 x 2( k 1)   n3 x 3( k 1)  ...   nn 1 x n(k11)   nn x n(k )   n .(в каждое последующее уравнение подставляются значения неизвестных, полученныхиз предыдущих уравнений, что показано в записи стрелками)илиx (k 1)  Lx (k 1)  Ux (k )   ,где L,U являются разложениями матрицы  : 0  21L    31  n100 3200 n2 n3000 0 ,  0 11 0U  0 012 220013  1n  23   2n  33   3n  .   0   nn и найти x (k 1) .Шаг 4. Если выполнено условие окончания x (k 1)  x (k )   , процесс завершить и положить x   x (k 1) . Иначе положить k  k  1 и перейти к п.3.229Пример 2.

Методом Зейделя с точностью   0,001 решить систему линейныхалгебраических уравнений:2 x1  2 x 2  10 x 3  14 ,10 x1  x 2  x 3  12 ,2 x1  10 x 2  x 3  13 . 1. Приведем систему Ax  b к виду x  x   так же, как в примере 1:x1   0,1  x 2  0,1  x 3  1,2 ,x 2   0,2  x1  0,1  x 3  1,3 ,x 3   0,2  x1  0,2  x 2  1,4 ;Так как 1 0  0,1  0,1     0,20  0,1  ;  0,2  0,20 1,2     1,3  .1,4   max  0,2 ; 0,3 ; 0,4   0,4  1 , условие сходимости выполняется.2. Зададим x (0)  (1,2; 0; 0)T . В поставленной задаче   0,001 .3.

Выполним расчеты по формуле (*):x1(k 1)   0,1x 2(k )  0,1x 3(k )  1,2 ;x 2(k 1)   0,2 x1(k 1)  0,1x 3(k )  1,3 ;k  0,1,... ,x 3(k 1)   0,2 x1(k 1)  0,2 x 2(k 1)  1,4 ;и результаты занесем в табл. 2.Таблица 2kx1(k )x 2(k )x 3(k )012341,20001,20000,99920,99961,000001,06001,00541,00021,000000,94800,99911,00001,0000x(k ) x (k 1)11,06000,10080,00520,0004< Очевидно, найденное решение x   (1 ; 1 ; 1)T является точным.4.

Расчет завершен, поскольку условие окончания x (k 1)  x (k )  0,0004  выполнено.230ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть дано нелинейное уравнениеf (x )  0 ,(*)где f ( x ) – функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке.Этапы решения нелинейных уравненийПервый этап. Находятся отрезки ai , bi  , внутри каждого из которых содержится один простой или кратный корень ( x i  ai , bi  ). Этот этап называется процедуройотделения корней. По сути, на нем осуществляется грубое нахождение корней x i .Второй этап.

Грубое значение каждого корня x i уточняется до заданной точности одним из численных методов, в которых реализуются последовательные приближения.А. МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙМетодика решения задачиШаг 1. Уравнение f ( x )  0 равносильным преобразованием привести к видуx  ( x ) . Это преобразование может быть осуществлено различными путями, но длясходимости нужно обеспечить выполнение условия ( x )    1 (  – некотораяконстанта). При этом задача сводится к нахождению абсциссы точки пересеченияпрямой y  x и кривой y  ( x ) (рис.

1).yyxy  ( x )0xxРис. 1Шаг 2. Задать начальное приближение x (0 )  [a, b ] и малое положительное число . Положить k  0 .231Шаг 3. Вычислить следующее приближение:x ( k 1)  ( x ( k ) ) .Шаг 4. Если x (k 1)  x (k )   , итерации завершаются и x   x (k 1) . Еслиx ( k 1)  x ( k )   , положить k  k  1 и перейти к п.3.Способы преобразования уравненияПреобразование уравнения f ( x )  0 к равносильному виду x  ( x ) можетбыть выполнено неоднозначно.1.

Можно заменить уравнение f ( x )  0 на равносильное x  x  c f ( x ) , гдеc  const  0 . Тогда, принимая правую часть этого уравнения за ( x ) и раскрывая( x )  1  c f ( x )  1 , получаем условие  2  c f ( x )  0 .2. Можно выразить x из уравнения f ( x )  0 так, чтобы для полученного уравнения x  ( x ) выполнялось условие сходимости ( x )  1 в окрестности искомогокорня.Пример 1.

Найти решение уравнения x 3  x  1  0 методом простых итерацийс точностью 1  0,01 и  2  0,001 . I. Отделим корень уравнения. Уравнение имеет три корня, среди которых покрайней мере один действительный, поскольку это уравнение нечетной степени.Преобразуем уравнение к равносильному виду: x 3  x  1 и найдем точки пересечения графиков y  x 3 и y  x  1 (рис. 2).yy  x3y  x 121011Рис. 2Очевидно, корень уравнения x   [  2;  1 ] .232xII. Преобразуем уравнение к виду x  ( x ) . Для этого запишем его сначала вформе x  x 3  1 . Легко показать, что функция ( x )  x 3  1 не удовлетворяет условию сходимости, поскольку ( x )  3x 2 , ( 2)  12  1 , ( 1)  3  1 . Поэтому воспользуемся другим преобразованием.В результате получим x  3 x  1 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций