Главная » Просмотр файлов » 7. Численные методы решения систем обыкновенных дифферен-циальных уравнений

7. Численные методы решения систем обыкновенных дифферен-циальных уравнений (1013390)

Файл №1013390 7. Численные методы решения систем обыкновенных дифферен-циальных уравнений (8 практических занятий с сайта кафеды 805)7. Численные методы решения систем обыкновенных дифферен-циальных уравнений (1013390)2017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Занятие 13. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙПример 1. Приближенно решить задачу Кошиy   2 y  3 x  2 , y (0)  0на отрезке [0; 1] с шагом h  0,1 различными методами: Эйлера (явным и неявным),предсказания и коррекции второго порядка, Рунге–Кутты четвертого порядка иметодом трапеций. Поскольку явный метод Эйлера и метод Рунге–Кутты четвертого порядкаотносятся к классу ограниченно устойчивых, то для них требуется определитьвеличины критического шага. Сравнивая данное уравнение с тестовым примером,2заметим, что   2 . Тогда для явного метода Эйлера hкр    1 , а для метода2,78Рунге–Кутты hкр   1,39 .

Следовательно, интегрирование с шагом h  0,1  hкробеспечивает устойчивость этих методов.Явный метод Эйлера. Из общей формулыyˆi 1  yˆi  hi 1 f ( x i , yˆi ) ,i  0, n  1 , yˆ0  y 0 ;получаем расчетную формулу явного метода Эйлера:yˆi 1  yˆi  0,1  (2 yˆi  3 x i  2) , ŷ 0  0 , i  0,9 ;Метод предсказания и коррекции второго порядка.Шаг «предиктор»:yˆi(П1)  yˆi  hi 1 f ( x i , yˆi ) ,Шаг «корректор»:)ˆi yˆ i 1  yˆ i(К1  yhi 1[ f ( x i , yˆ i )  f ( x i  hi 1 , yˆ i(П)1 )] .2Отсюда следуют расчетные формулы метода предсказания и коррекции:yˆi(П)1  yˆi  0,1  (2 yˆi  3 x i  2) , ŷ 0  0 , i  0,9 ;0,1yˆi 1  yˆi (2 yˆi  3x i  2  2 yˆi(П)1  3x i 1  2) ; ŷ 0  0 , i  0,9 ;2Метод Рунге–Кутты. Из общей формулыyˆi 1  yˆi hi 16K 1,i  2K 2,i  2K 3,i  K 4,i ,249yˆ0  y 0 , i  0, n  1 ,гдеhhK 2,i  f  x i  i 1 , yˆi  i 1 K 1,i  ,22hh f  x i  i 1 , yˆi  i 1 K 2,i  , K 4,i  f x i  hi 1 , yˆi  hi 1  K 3,i ,22K 1,i  f i  f ( x i , yˆi ),K 3,iследуют формулы метода Рунге–Кутты четвертого порядка:0,1yˆi 1  yˆi (K 1,i  2K 2,i  2K 3,i  K 4,i ) ,6K 1,i  2 yˆi  3 x i  2 ,K 2,i  2  ( yˆi  0,05  K 1,i )  3  ( x i  0,05)  2 ;K 3,i  2  (yˆi  0,05  K 2,i )  3  (xi  0,05)  2 ; K 4,i  2  ( xi  0,1  K 3,i )  3  (xi  0,1)  2 ;Неявный метод Эйлера.

Из общей формулыyˆi 1  yˆi  hi 1 f ( x i 1 , yˆi 1 )  ( x i , x i 1 , yˆi 1 ) , i  0, n  1 .получаем расчетную формулу неявного метода Эйлера:yˆi 1  yˆi  0,1  (2 yˆi 1  3 x i 1  2) ,yˆi 1 откудаМетод трапеций.yˆi  0,3x i 1  0,2;1,2Из общей формулыyˆi 1  yˆi hi 12 f i  f (xi 1 , yˆi 1 )  (xi , xi 1 , yˆi 1 ) , i  0, n  1 ,получаем расчетную формулу метода трапеций:откуда0,1yˆi 1  yˆi  (2 yˆi  3x i  2  2 yˆi 1  3x i 1  2) ,2yˆi 1330,9  yˆi   0,1  x i  2  0,1   0,1  x i 122.1,1Очевидно, в данном примере удалось получить явные формулы для нахожденияŷ i 1 неявным методом Эйлера и методом трапеций лишь в силу линейностирешаемого уравнения. В общем случае применяются методы простых итераций илиНьютона.Точное решение рассматриваемой задачи Коши: y( x )  1,75  1,5x  1,75 e 2 x .Результаты расчетов приведены в табл.

1, в последней строке которой указаныфактические погрешности.Анализ результатов показывает, что при решении данной задачи методпредсказания и коррекции точнее явного и неявного методов Эйлера, но уступаетметоду Рунге–Кутты и совсем немного методу трапеций (порядок погрешностиодинаков).250Таблица 1ЯвныйметодЭйлераНеявныйметодЭйлераМетодРунге–КуттыМетодпредсказанияи коррекцииМетодтрапецийy (x )0,00,0000,0000,0000,0000,0000,0000,10,2000,1420,1670,1650,1680,1670,20,3300,2380,2770,2730,2790,2770,30,4040,2870,3400,3350,3420,3400,40,4330,3060,3640,3590,3660,3640,50,4270,2970,3560,3510,3580,3560,60,3910,2640,3230,3180,3250,3230,70,3330,2120,2680,2640,2700,2680,80,2560,1430,1970,1920,1990,1970,90,1650,0610,1110,1070,1120,1111,00,062-0,0330,0130,0090,0150,013max i0,0680,0590,00001040,0050,002xiПример 2. Найти приближенное решение задачи Кошиy  z  1 ,y (0)  1 ,z    y  2z , z (0)  1на отрезке [0; 1] с шагом h  0,1 методами Эйлера (неявным и модифицированным),Адамса–Бэшфорта третьего порядка и трапеций. Путем прямой подстановки в систему легко убедиться в том, что точноерешение задачи имеет вид y ( x)  2  3 e  x  x e  x ; z ( x)  1  2 e  x  x e  x .Выписываем формулы для нахождения приближенного решения указаннымиметодами (при этом применяется векторная форма записи).Для неявного метода Эйлераyˆi 1  yˆi  hi 1 f ( x i 1 , yˆi 1 )  ( x i , x i 1 , yˆi 1 ) , i  0, n  1 .имеем yˆi 1   yˆi   zˆ    z   0,1    i 1   i zˆi 1  1   yˆi  0,1  zˆi 1  0,1 ,yˆi 1  2zˆi 1   zˆi  0,1  yˆi 1  0,2  zˆi 1 yˆ0  y (0)  1,zˆ0  z (0)  1.Разрешая эту систему относительно ŷi 1 , ẑ i 1 , окончательно получаемyˆi 1 0,1  (zˆi  0,1  yˆi  0,001) 0,1 ;1,21251zˆi 1 zˆi  0,1  yˆi  0,01.1,21Соотношенияyˆi12 yˆi hi 1f ( x i , yˆi ) ,2i  0, n  1 ,hyˆi 1  yˆi  hi 1 f  x i  i 1 , yˆi  1  ,22 i  0, n  1 .для модифицированного метода Эйлера принимают вид0,10,1yˆ i  1  yˆ i ( zˆ i  1); zˆ i  1  z i ( yˆ i  2 zˆ i );2222yˆ i 1  yˆ i  0,1  zˆ i  1  1 ;2zˆ i 1  zˆ i  0,1   yˆ i  1  2 zˆ i 1 .22Для метода Адамса–Бэшфорта третьего порядка изhyˆi 1  yˆi  [23 f i  16 f i 1  5 f i  2 ] , i  2, n  1 ;12находим0,1[23  ( zˆ i  1)  16  ( zˆ i 1  1)  5  ( zˆ i 2  1)] ,120,1[23  ( yˆ i  2 zˆ i )  16  (  yˆ i 1  2 zˆ i 1 )  5  ( yˆ i 2  2 zˆ i 2 )] . zˆ i 12yˆ i 1  yˆ i zˆ i 1Для определения «разгонных» точек ( x 0 , yˆ0 , zˆ0 ), ( x1 , yˆ1 , zˆ1 ), ( x 2 , yˆ2 , zˆ2 ) воспользуемсямодифицированным методом Эйлера.

Точка ( x 0 , yˆ0 , zˆ0 ) определяется начальнымиусловиями (0; 1;  1) .Выпишем соотношения для метода трапецийyˆi 1  yˆi hi 12 f i  f (xi 1 , yˆi 1 )  (xi , xi 1 , yˆi 1 ) , i  0, n  1 ,и разрешим их относительно неизвестных: yˆ i 1   yˆ i  0,1  zˆ i  1   zˆ i 1  1   ˆ  ˆ   z i 1   z i  2   yˆ i  2 zˆ i    yˆ i 1  2 zˆ i 1  yˆ i  0,05 zˆ i  0,05 zˆ i 1  0,1, 0,05 yˆ i  0,05 yˆ i 1  0,9 zˆ i  0,1zˆ i 1 откуда путем разрешения системы относительно yˆi 1 , zˆi 1 получаемyˆ i 1  yˆ i  0,05 zˆ i  0, 05zˆ i 1 0,1 yˆ i  0,8975 zˆ i  0, 051,10250,1 yˆ i  0,8975 zˆ i  0,051,1025 0,1 ;.Результаты проведенных расчетов даны в табл. 2 дляyˆi , y ( x ) и табл. 3 дляzˆi , z ( x ) соответственно.

Из их анализа вытекает, что наиболее точно величину ŷiможно рассчитать методом Адамса–Бэшфорта, а величину ẑ i – методом трапеций. 252Таблица 2xiНеявный методЭйлераМодиф. методЭйлераМетод Адамса–БэшфортаМетодтрапецийТочноерешение0,01,000001,000001,000001,000001,000000,10,809920,805000,804990,804990,805000,20,629600,619970,619910,619910,619940,30,458850,444790,444690,444640,444700,40,297400,279240,279080,2790000,279090,50,145000,123090,122850,122730,122860,60,00131-0,02397-0,02428-0,02444-0,024280,7-0,13397-0,16224-0,16265-0,16284-0,162630,8-0,26119-0,29208-0,29257-0,29279-0,292550,9-0,38072-0,41384-0,41441-0,41465-0,414381,0-0,49287-0,52787-0,52853-0,52879-0,52848max  i0,037204150,000672910,000059420,00033550Таблица 3xiНеявный методЭйлераМодиф.

методЭйлераМетод Адамса–БэшфортаМетодтрапецийТочноерешение0,0-1,00000-1,00000-1,00000-1,00000-1,000000,1-0,90083-0,90000-0,90023-0,90023-0,900160,2-0,80316-0,80095-0,80132-0,80132-0,801210,3-0,70753-0,70357-0,70402-0,70401-0,703880,4-0,61440-0,60844-0,60893-0,60890-0,608770,5-0,52408-0,51601-0,51650-0,51645-0,516320,6-0,43684-0,42663-0,42709-0,42702-0,426910,7-0,35287-0,34054-0,34095-0,34087-0,340780,8-0,27229-0,25794-0,25828-0,25818-0,258120,9-0,19518-0,17894-0,17920-0,17908-0179051,0-0,12158-0,10357-0,10378-0,10364-0,10364max  i0,019581330,000325860,000121450,00003005-253.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
214,4 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций

8 практических занятий с сайта кафеды 805
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6314
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее