6. Методы приближения функций. Интерполяция и интегральное сглаживание (1013389)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Занятие 6. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ. ИНТЕРПОЛЯЦИЯИ ИНТЕГРАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕЧасть I. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖАПусть на множестве   [a, b] задана сетка  n  x i , i  0, n , определяемаяn  1 точкой x 0 , x1 ,..., x n , а на сетке задана сеточная функция yi  f ( x i ), i  0, n :y 0  f ( x 0 ), y1  f ( x1 ),..., y n  f ( x n ) ,где x i  a, b   x 0 , x n  - в общем случае неравноотстоящие узлы, определяемые шагами hi 1  x i 1  x i ( hi 1  var ), i  0, n  1 .Требуется найти многочлен n-й степени, проходящий через все заданные точки.Интерполяционный многочлен Лагранжа n-й степени имеет видLn ( x) n( x  x )  ( x  x )...( x  x)  (x  x)...( x  x ) ( xi  x0 )0 ( xi  x11)...( xi  xii11 )  ( xi  ixi11 )...( xi n x n ) f i .i 0Многочлен Ln (x ) является многочленом степени n и удовлетворяет условияминтерполяции: Ln ( x i )  f i , i  0, n .Для записи интерполяционного многочлена Лагранжа удобно пользоватьсятабл.1.x  x0x 0  x1x0  x2x1  x 0x  x1x1  x 2x2  x0x 2  x1x  x2xn  x0x n  x1xn  x2.........x0  xnD0x1  x nD1x2  xnD2x  xnDnТаблица 1f0f1f2fnDifi... n 1 ( x )  ( x  x 0 ) ( x  x1 ) ( x  x 2 )  ...

 ( x  x n )Здесь Di – произведение элементов i -й строки,  n 1 ( x ) – произведение элементов главной диагонали.Тогда многочлен Лагранжа может быть записан в формеnLn ( x )   n 1 ( x ) i 0241fi.DiБ. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НЬЮТОНАИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН НЬЮТОНА ДЛЯ НЕРАВНОМЕРНОЙ СЕТКИПусть исходная (интерполируемая) сеточная функция y i  f  x i   f i , i  0, n ,задана на неравномерной сетке  n  x 0 , x1 , x 2 ,..., x n , характеризующейся шагамиhi 1  x i 1  x i  var .Выбрав внутри неравномерной сетки соответствующие шаблоны интерполяцииxi , xi 1  , x i , xi 1 , xi  2  ,..., xi , xi 1 ,.., xi  k  , введем следующие определения разделенных разностей:– разделенная разность нулевого порядка: f ( x i )  f i ;– разделенная разность первого порядка: f ( x i , x i 1 ) f i 1  f ix i 1  x i;– разделенная разность второго порядка:f ( x i 1 , x i  2 )  f ( x i , x i 1 )f ( x i , x i 1 , x i  2 ) ;xi  2  xi– разделенная разность k-го порядка:f ( x i , x i 1 ,..., x i  k ) f ( x i 1 , x i  2 ,..., x i  k )  f ( x i , x i 1 ,..., x i  k 1 )xi  k  xi;– разделенная разность n-го порядка в узле x 0 :f ( x 0 , x1 ,..., x n ) f ( x1 , x 2 ,..., x n )  f ( x 0 , x1 ,..., x n 1 )xn  x0.Интерполяционный многочлен Ньютона n-й степени имеет видN n x   f 0  f x 0 , x1 x  x 0   f x 0 , x1 , x 2 x  x 0 x  x1   ...

 f x 0 , x1 ,..., x n x  x 0 x  x1   ...  x  x n 1  .ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НЬЮТОНА ДЛЯ РАВНОМЕРНОЙ СЕТКИПусть исходная (интерполируемая) сеточная функция y i  f  x i   f i , i  0, n ,задана на равномерной сетке  n  x 0 , x1 , x 2 ,..., x n , характеризующейся шагамиhi 1  x i 1  x i  h  const .Выбрав внутри равномерной сетки соответствующие шаблоны интерполяциивведем следующие определения конечных разностей:xi , xi 1  , x i , xi 1 , xi  2  ,..., xi , xi 1 ,.., xi  k  ,– конечная разность нулевого порядка:fi ;242– конечная разность первого порядка: f i  f i 1  f i ;– конечная разность второго порядка: 2 f i  (f i )  f i 1  f i  f i  2  2 f i 1  f i ;– конечная разность k -го порядка: k f i  (k 1 f i ) где Ckj k (1) j C kj f i  j ,j 0k!;(k  j )! j !– конечная разность n -го порядка в узле x 0 :  n f 0   n1 f 1   n 1 f 0 .Интерполяционный многочлен Ньютона n -го порядка имеет видN nI  q   f 0 где q x  x0hf 01!q2 f 02!q q  1  ...

n f 0n!q q  1 ... q  n  1 ,- фаза интерполяции относительно точки x 0 .Пример 1. Требуется:а) найти интерполяционный многочлен Лагранжа третьей степени для сеточнойфункции, заданной табл. 2. Вычислить значение функции в точке x   2,5 ;б) найти интерполяционный многочлен Ньютона третьей степени для сеточнойфункции, заданной табл. 2.Таблица 20123i2345xi7587f (xi )  f i 1. Составим многочлен Лагранжа. Для этого заполним табл. 3, соответствующую табл.

1.x2123–1–2–3–1–2x 31–1x421x5 4 ( x )  ( x  2) ( x  3) ( x  4) ( x  5) 6  ( x  2)2  ( x  3) 2  ( x  4)6  ( x  5)DiТаблица 37587fiПолучаем:3fi( x  2) ( x  3) ( x  4) ( x  5)  7 ( x  2) ( x  3) ( x  4) ( x  5)  5 6  ( x  2)2  ( x  3)i  0 DiL3 ( x )   4 ( x ) ( x  2) ( x  3) ( x  4) ( x  5)  8 ( x  2) ( x  3) ( x  4) ( x  5)  7 2  ( x  4)6  ( x  5)24375 ( x  3) ( x  4) ( x  5)   ( x  2) ( x  4) ( x  5)  4  ( x  2) ( x  3) ( x  5) 6273107  ( x  2) ( x  3) ( x  4)   x 3  16 x 2 x  62 .6222. Вычислим значение функции в заданной точке: L3 (2,5)  4,8125 .

Составим многочлен Ньютона, справедливый для произвольного расположенияузлов. Для этого сформируем табл. 4.xifi27354857f ( x 0 , x1 ) f ( x j , x j 1 )f ( x j , x j 1 , x j  2 )Таблица 4f ( x j , x j 1 , x j  2 , x j  3 )5223232157 2 ;32f ( x1 , x 2 ) 85 3;4 3f (x 2 , x3 ) 78 1 ;543  (2) 51  3 ; f ( x1 , x 2 , x 3 )  2 ;42253522  3 .f ( x 0 , x1 , x 2 , x 3 ) 522f ( x 0 , x1 , x 2 ) Для n  3 имеемN 3 ( x )  f ( x 0 )  ( x  x 0 ) f ( x 0 , x1 )  ( x  x 0 ) ( x  x1 ) f ( x 0 , x1 , x 2 )  ( x  x 0 ) ( x  x1 ) ( x  x 2 ) f ( x 0 , x1 , x 2 , x 3 )  7  ( x  2)  (2)  ( x  2)  ( x  3) 5210733x  62 . ( x  2)  ( x  3)  ( x  4)  ( )   x 3  16 x 2 222Поскольку в данной задаче заданы равностоящие узлы, воспользуемся такжеформулой для первого интерполяционного многочлена Ньютона:N 3(I ) (q )где q  f (x0 ) f 01!q2 f 02!q  (q  1) x  x0 x  2 x 2.h1Составим табл.

5.2443 f 03!q  (q  1)  (q  2) ,Таблица 5xif i  f (xi )27354857f j22 f j3 f j53491Имеем:  f 0  5  7  2 ;  f1  8  5  3 ;  f 2  7  8  1 ;2 f 0  3  (2)  5 ;2 f1  1  3   4 ; 3 f 0   4  5   9 . ПоэтомуN 3(I ) (x )  7 (9)15(2)35q  q  (q  1) q  (q  1)  (q  2)   q 3  7q 2  q  7223!1!2!qx 213153107 ( x 3  6x 2  12x  8)  7  ( x 2  4 x  4)  ( x  2)  7   x 3  16x 2 x  62.2222Часть II. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯТОЧЕЧНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВМетодика решения задачи сглаживанияШаг 1. Записать систему:s 0 a0  s1a1  ...

 s m am  t 0 ,s1a0  s 2a1  ...  s m 1am  t1 ,s m a0  s m 1a1  ...  s 2m am  t m .гдеs 0  n  1 , t 0  f 0  f1  ...  f n ,s k  x 0k  x1k  ...  x nk , k  1,...,2m ;t k  x 0k f 0  x1k f1  ...  x nk f n , k  1,..., m .Шаг 2. Решить полученную систему одним из методов решения СЛАУ и найтикоэффициенты a0 , a1 ,..., am .Шаг 3. Записать искомую сглаживающую функциюf m ( x, a )  a 0  a1 x  ...  a m x m .245(*)Пример 2.

Решить задачу аппроксимации сеточной функции, заданной табл. 6,при m  1 и m  2 .ixif (xi )  f i027135248Таблица 6357 Пусть степень многочлена m  1 , тогда решение ищется в видеf 1 ( x, a )  a 0  a1 x .1. Для составления системы (*):s 0 a0  s1a1  t 0 ,s1a0  s 2a1  t1найдем ее коэффициенты s 0 , s1 , s 2 .

Расчеты поместим в табл. 7, где в последней числовой строке находятся коэффициенты системы.Таблица 7xifi1xi2xi f i234514s1758727t011114s049162554s21415323596t1В результате получаем4a0  14a1  27 ,14a0  54a1  96 .2. Решение системы: a0  5,7 ; a1  0,3 .3. Искомая сглаживающая функция имеет видквадратичная погрешность 1 (a )  1,0368 .f 1 ( x, a )  5, 7  0,3x , а средне-Пусть m  2 , тогда решение ищется в видеf 2 ( x, a )  a 0  a1 x  a 2 x 2 .1. Составим систему (*):s 0 a0  s1a1  s 2a2  t 0 ,s1a0  s 2a1  s 3a2  t1 ,s 2a0  s 3a1  s 4 a2  t 2 .246Расчеты коэффициентов системы приведены в табл.

8.Таблица 8xifi1xi2xi3xi4xi f ix i2 f i234514s1758727t011114s049162554s282764125224s31681256625978s41415323596t12845128175376t2В результате получаем систему4a0  14a1  54a2  27 ,14a0  54a1  224a2  96 ,54a0  224a1  978a2  376 .yf 2 ( x, a ) 10169 291x  x220 2049f 1 ( x, a )  5, 7  0,3x87654N 3 ( x )  L3 ( x )321012345Рис. 12476789x2. Решаем полученную систему методом Гаусса.Прямой ход:2727 1 71 7 4 14 54 27 224214542249605351,501 54 224 978 376  0 35 249 11,5 0 0272741 720,3    0 11 0 0274272710,3  .1 4 274Обратный ход:1 720 10 0Отсюда27 2  a0   274  7    a1    0,3  или 1   a2   14 a0  72 a1 272a2 27 ,4a1  7a2  0,3 ,a2 14.a2 1,4a0 27 27727 27 1 729169a2  a1    ( ) .44244 4 22020a1 31297  ,104203.

Искомая сглаживающая функция f 2 ( x, a ) тичная погрешность  2 (a )  1,0062 .169 291x  x 2 , а среднеквадра20 204На рис. 1 изображены заданная сеточная функция, сглаживающие многочленыпри m  1 и m  2 , а также интерполяционный многочлен (при этом m  3 ).Заметим, что если степень многочлена m  0 , то решение ищется в видеf 0 ( x, a )  a 0 .Для составления уравнения s 0a0  t 0 , следующего из (*), используем коэффи27 6,75 . Искомаяциенты s 0 , t 0 (табл. 8).

В результате получим 4a0  27 , или a0 4сглаживающая функция имеет вид f 0 ( x, a )  6, 75 , а среднеквадратическая погрешность  0 (a )  1, 0897 . При увеличении числа m среднеквадратичная погрешностьуменьшается:  0 (a )  1 (a )   2 (a ) . При m  3 среднеквадратичная погрешность 3 (a ) равна нулю, так как многочлен проходит через все заданные точки. 248.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций