p-Адическая арифметика и ее применение для анализа мономиальных динамических систем с примерами в СКМ Maple (1012852), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда и = Ь, (6,3) = 3 я 1, 3 = =(3,2) = 1 и Х =1. Следовательно, имеем неподвижную точку аг = 6~ о = 10, принадлежащую сфере Я. (О). Так как (6,3) = 3 я 1, то точка а, = 6 = 10 — аттрактор и область ее притяжения А(10) = ХХ1,, (10) = (х и Я„: (х — 1Щ„~ 1/р). Используя программу вычисления чисел ть в СКМ Мар)е, проверим существование циклов. >р. "3: и:=6: Я: 10: МК(п,Я,р)"„ ~1 2 3 4 5 6 7 3 9 10 11 12 13 14 15) ~111111111 1 1 1 1 1 1~ Так как все ша — — 1 дли Й =1,2,3,..., то циклов длины Й > 2 в 27 ие существует.
Пример 2.3. Пусть р= 7 и н = 7. Тогда и= 6, (7,7) = 7 е 1. г= =(6,6) =- б и ) =1,2,3,4,5,6. Следовательно, имеем шесть неподвижных точек, которые ив лиштса аттракторами. Найдем их в СКМ Мар)е: >р:=.7; шб: гоо(р(х"6-1,р,20): ш61:=ор(шб(Ц); ш62:=ор(шб(21); ш63:=ор(шбЩ); ш64:=ор(шб(4))"„ шбб:=ор(шб(5)); шбб."=ор(шб(6)).„ ш61:=.р а41с(7, О,(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0„0,0,0,0,0,0,0,.)) ш62; р,а41с(7,0,(2„4,6„3„0,2,6„2„4,3, 4, 4, 5,2,1,2„1, 4,6, Ц) шб3:=-р ай(с(7,0.(3,4,6„3,0,2,6,2,4,3, 4, 4, 5. 2,1, 2„1„4,6. 1)) т64:-р аб(с(7,0,(4,2,0,3,6,4, 0,4,2,3,2,2„1, 4,5,4, о,2,0, э)) тб5: =р ас((с(7, О, (5, 2, О, 3, 6, 4, О, 4, 2, 3, 2, 2, 1, 4, 5„4, 5, 2„0, 5)) тбб:=р аЖс(7,0,(6, б, 6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6„6,6)) ~ О = р аб)с(7,0,(2,4,6,3„0,2,6,2,4,3,4,4,5,2,1,2,1,4,6,1Р , 1 =.
741 ! ~2= '% 1 %1 ! ак. Пу "ть ро е У(хо), гда уь =)е(до) е У(хо) для Й =1,2,3,". и )(ю уь = "о Проверим, пр!втягивает ли точка п!62 другие точки. Возьмем точку 2+7+7"2+5"7"17: >«Р(2+7+7 2+5"7"17,7,р,20,20); ! 0 = р айс(7,0,12,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0„0,0,0,0,0,0,5,0,0,.)) ~ ' 1 = р айс(7,0,(2,4,3.1,2,5,2,2,6,3,4,3,5,1,3,0,0,0,5,4)) 2 = р айс(7,0,(2,4,6,0,5,6,5,1,0,4,3,5,4,0,4,5,2,1,4)) 3 = р ас(!с(7,0,(2,4,6,3,4,6,3,5,6,6,0,5.5,1,1,2,5,0,1)) ~ 17 = р ас(!с(7,042,4,6„3,0,2,6,2,4,3,4,4,5,2,1,2,1.4,3)) ! 18 = р,аШс(7,0,(2,4,6,3,0,2,6,2,4,3,4,4,5,2,1,2,1,4,6)) 19 = р айс(7,0,12,4,6,3,0,2,6,2,4,3,4,4,5,2,1,2,1,4,6)) Следовательно, эта точка притягивается точкой н!62 и поэтому принадлежит У(т62).
Используя программу вычисления чисел в СКМ Мар)е, проверим существование циклов. >р!=7! и!=7! Х! 16: МК(п, Хю р)~ Так как все я!ь —— 6 для Й =-1,2,3,..., то ц~~л~~ длины Й ь 2 в Ят не существует. Следов тельно, имеем непОдВижные гочки а! = 6«0 =. 10.
аз = 62 о= 2463026243..„аз = 63 о= 3463026243..., ач= 64 0= =.4203640423..., а = да !) = 5203640423... „ае = Ое о --- 66, принадлежащие сфере Я (0) и являющиеся аттракторами. Кроме того, неподвижные точки ал, аз, аа, а „аа принадлежит сфере 8,(1) = (х и 2д! )х -«) < Ц, Так как все я!ь = 6 для Й =1,2,3,... „то циклов длины Й > 2 в Ят не существует. Пример 2.4,Пусть р = 7 п и = 2 Тогда и = 1, (2,7) =1, у=(1,6)=1 и) =1. Следовательно, имеем неподвижную точку а = б о-" 10, которая аттрактором не является и принадлежит сфере 81(0).
Она явлшотса центром диска Зш еля п максимальный диск Зигеля ЯХ(10) совпадает с шаром Пт,, (10) = (л и Я~: ~я — 10)в ь 1/р). Это прове- ряется так же как в примере 1. Используя программу вычисления чисел ать в СКМ Мар)е, проверим существование циклов. >р: 7: ш 2: 'г(: 6: МК(п,)т',р); Так как все шва з =- 1, шва = 3 для Й =1,2,3,..., то существуют циклы длины 2 в 27' 11Усть вто цикл 7 (ЬО" М' Тогда точки ЬО Яв" лаются неподвижной точкой итерированного отображения )а, т,е, 2 Ьо = (в(Ьо) и находптсн в циклической подгРУппе пРпмитпвных 2 корней степени 6 нз единицы. Найдем эту подгруппу. 1.
Вычисляем примитивные корни пз единицы порядка 6: >р:=7:Х: 20*. шб: гоо(р(а"6-1,р,Х): ш61: ор(шб(Ц)," >ш62:=ор(шб(21); шбб; ор(шбЩ)„ш64: ор(шб(4)); >шбб."=ор(шб(59; ш66:=ор(шб(6)); ст61: р аб(с(7„0,(1,0,0,0,0,0„0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,.)) т62: р аб(с(7.0,(2,4,6,3,0,2,6,2,4,3, 4,4,5„2,1.„2, 1.,4,6,Ц) тб3: р аЖс(7,0,(3,4,6,3,0,2„6,2,4,3. 4,4,5,2,1„2,1,4,6, Ц) шб4:=р аб(с(7,0,(4„2,0,3„6,4,0,4,2,3,2,2,1„4„5,4,5,2,0„5)) втбб: =-р аб(с(7, О, (5, 2, О, 3, 6, 4, О, 4, 2, 3, 2„2, 1, 4, 5, 4, 5, 2„0, 5)) мбб: р аб)с(7, О, (6, б, 6, 6, 6, 6, б, б, 6, б, 6„6, 6, 6, 6, 6, 6, б, 6, 6)) Исследуем поведение динамической системы для параметров р= 11 и и = 2 в СКМ Мар1е, так же, как в примерах 1 — 4. Будем иметь: а) неподвижную точку а1 = 61 б = 10, принадлежащую сфере Я (О), Она являются центром диска Зигеля и максимальный диск Зигеля о1(10) совпадает с шаром(71,, (10) = (я н Е, ".
~я — 10) ь 1 'р). б) так как уяа а = щ4у 2 -" яь4у 1 '= 1 и ж4ь = 5 прн и =1 2*3'- то существуют циклы длины 4 в 27. Пусть это цикл 7 = (ЬО,Ь| „Ь2,Ьа). Тогда точки Ьс являются неподвижной точкой итерироваиного отображения )~~, т.е. Ьо = ~~~(Ьо) и находится в циклической подгруппе примитивных корней степени 10 из единицы и = (10, 2А49123978..„479529078..., 5251785АЗА..., ЗА9874023А..., 301236А87О..., 6859325070..., 7315812А32.... 9061987132..., АА) с: Яп порядка 10, Это элементы 5-го порядка. Находим: Ьш = 301236А870..., Ьсх.= 479529078..., Ьоа = 5251785АЗА.„„ Ьса = 9061987132.... Каждая из этих точек порождает единственный цикл длины 4 7 =(9061987132..., 479529076..., 5251785АЗА..., 301236А870...).
Он является центром диска Зигеля радиуса 1/р. Пример 2.6. Пустьр= 13 и я = 2, тогдаб= 1, (2,13) 1. я=(1„12)= .=1 и) =1, Исследуем поведение динамической системы для параметров р = 13 и я = 2 в СКМ Мар1е, так же, как в примерах 1 — 4„будем а) неподвижную точку а1 = 61 о = 10, которая аттрактором не является и принадлежит сфере 81(0). Она являются центром диска Зигеля и максимальный диск Зигеля 81(10) совпадает с шаром П1, (10) = (х я Яг: )т — 10~ < 1/р); Пусть ото цикл 7 = (Ьо. Ьь), '1огда точки Ьо являвьтся неподвижной точкой итернрованиого отображения )х, т,е. Ьо = хх(Ьо) и них ходятся в циклической подгруппе примитивных корней степени 12 яз едиинцы а = (10, 2622425873..., 91635А8344..„А1635А8844.„, 5510551018..., 7ВЗ297683В..., 619АЗ56441..., 87ВС77ВСВ4..., ЗВ69724488..., 4В69724488..„ВОААЗА7459..., СС) ь; 21а Следовательно, каждая иа втих точек порождает цик.ч длины 2 7 =(91635А8344..., ЗВ69724488...).
Он является центром диска Зигеля радиуса 1/р, Примерй.7.Пустьр= 19ия = 2, твидам=. 1,(2,19) 1„Е=(1,18) 1 и Х = 1. Исследуем ~~~ед~ние динами~вся~6 системы для пара~с~ров р = 19 и а = 2 в СКМ Мар1е„так же„как в примерах 1 — 4. Будем а) неподвижную точку а~ = 61 О = 10, принадлежащузо сфере В (О). Она являются центром диска Зигеля и максимальный диск Зигеля ВХ(10) совпадает с шаром ХХ1, (10) = (х е Е: )т — 10~ 5 1ур); для Ь =1,2,3,, то сугцествувт цикл длины и длины 6 в Я в. Пусть цикл длины 2 7 = (Ьо, Ь1).
Тогда точки Ьо являются неподвижной точкой итерированного отображения ~а, т.е. Ь, = Х (Ь„) и 2 х находится в циклической подгруппе примитивных корней с~спеки 13 из единицы а = (10, СЗВАЗОЗНОС..., 45НН568012,.„91ХЗНС51Х19..., ХХС4Е458402..., Х)бЮ140120С..., ЕЬ Е575В21Е..., ВЗВХ ХОХЕ7В... „ СЗВХНОХЕ7В..., 7Р701ХО4В5..., ЗЕ701ХО4В5..., 533Х)ВВ7СН4..., 6С2НВХНОХ6..., 26Е4И)АВХб)..., 4НОС16Х)Н09..., ВХ)116С4ХНС..., Зс78СХХ~116..., ХХ) а; Я~е порядка 18.
Это элементы 3-го порядка. Находим: Ьог = ВЗВХХОХЕТР..„Ьол = 7Р701Х04Вб... Оледовательио, каждая из стих точек цорождает цикл длиим 2 7 = (ВЗВХЛ)ХВТХ)..., 7г"701Х04Вб...), Ои является центром диске Зигеля радиуса 1/р. Пусть цикл далин б 7 = (Ьо, Ь~, Ьт, Ьл, Ь,, Ьь). Тогда точки Ьо являмтся иелодвижкой точкои итерироваииого отображеиия Х:~, т.е. Ьс ~ Хт(Ьо) и иаходится в циклической цодгруиие цримитивиых корней степени 18 из едикицм Ои является центром диска Зигеля радиуса 1/р, Задача 2Л, Нужно, исцользуя СКМ ЬХар)е, исследовать пове- деиие дииамическои системм ХгХх) = л в иоле 2, если,о = 17, 23, Р' 29, 31, 37„41.
НЕАРХИМКДОВЫ ЧИСЛОВЫК ПОЛЯ Р, б, й — 101 Известно, что множество действительных чисел образует ноле. Поле вещественных чисел является архимедовой числовой системой, т.е. в В выполняется аксиома Архимеда: длл любых двух яолежищельных Веи(есвгеснных 6еличин и и Ь можно нзйл$и гноясь! нижррольное число л, чьчо имесж месуно нсрззенсюзо (н — 1) а ь Ь < ЯЬ.
Примерамн Основных зрхимедОвых чясловых ИОлей являются — поле вещественных чисел В н производное от него поле комплексных чисел С, Пусть Р— поле, Абсолютная величяиа (норма) — зто отображение ) ° )Г . "Р -+ В~, удОвлетворяющее следующим условиям~ (х(Р = 0 сз х = 0„ )л + Мр ~ 14г + 1р(г. Абсолютная величина )ч)Г на поле Р называется тривиальной, есля ,'л)г = 1 для всех л н О, Любая абсолзотная величина порождает метрику. ПОчяотз ИОля Р— этО полнота ОтиосительнО этой метрики~ рг(л у) = )л Ыг ° Неравенство (П1.3) — это неравенство треугольника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
