p-Адическая арифметика и ее применение для анализа мономиальных динамических систем с примерами в СКМ Maple (1012852)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИИСтИТУТ (тосударственний техннческпй уннзерснтет~ В.В. РЫБИН Утаернндено не зеседеннн редсснсте 1 сентнбрн 2008 г. РВ3бни В.В. Р-ВДИЧЗСКВН ВрифмвтННВ н Вб 33римз33ВИ33В ДЛИ В33алнза МОНОМИВЛЬ33Ь3х динамичсскнх систзм с примерами в СКМ Мар1В3 Учабиоа ноообиз. — Мл Изд-во М 33И.ПРИНТ, 2009. — 66 С.3 ил, В пособии рассматрнвавтс33 основные ноннтин р-адичсской арифмзтикн и нростейп3их систзм динам33чаского мин333ення.
Изучается техника 33маолнси33Н арифметических оозрации иад р-адичзскими чнсламн вруч- ну3О и при номо3ци СКМ Мар1В, а также техника исследования свойств простейа3нх систем дннамичзското мьанлоинл а СКМ Мар1В. Длв ст3'дзитОВ сцвциальностн Прикладнзл матзматика, а такзкз длн студснтОВ д33у3'их сизциальиОстсй изуча303цих соврсма33ныз 33зтоды тоорни интсллсктуальных снстзм н заннмакнцихса Вонрюсзми вр3жктировзнин ннтсчлакт3 альнзлз снстсм, РЗЦСКЗЗКВЗМ3 кафалра "МатзматНЧССКОВ МОдЕЛИРоваииз" МГТУ нм.
Н.Э: Наумана 3зав. каф. д-р физ.-мат. Наук, нроф. АП. Кри3цзнкоК зав. Хаф. "Вьккиаи матсмат33ка" МГТУ д-р техн. Наук, проф. С ч. Реоь козубоз В настоящее время понятие физического пространства отождествляется в основном с математическим пространством йз„т.е. наш физический мпр описывается с помощью вещественных чисел. Однако материальный мир не может быть описан точно с помощью вещественной декартовой модели. Адекватное описание физических явлений возможно только в комплексном гильбертовом пространстве Н.
Для описания духовных объектов (идей, ассоциаций„ мыслей и т.д.) до последнего времени, также использовались пространства Я~ и Н. Однако духовный мир для адекватного описания требует разработки специального ментального пространства, ультраметрическая геометрия которого отличается от евклидовой геометрии. Такая модель ментального пространства предложена в работе А.1О. Хренникова 11Ц. В етой работе математическое моделирование процессов мышления предлагается проводить в р-адическнх системах координат. Такая система координат опясывается системой р-адических чисел Я 11 — 3, б — 111. Р Впервые понятие р-адического числа было введено в 1897 году Куртом Гензелем Щ.
Так возник р-аднческпй (неархимедов) анализ. На протяжении последних ста лет р-адическне числа рассматривалнсь как чисто математический объект. В конце двадцатого века р-адический анализ нашел применение прн решенпи задач квантовой теории поля, теории струн, квантовых групп, теории случайных процессов, исследованиях хаоса и фрактальной геометрии„теория информации и теории динамических систем 17, 10, 1Ц. В настоящее время опубликованы лекционные курсы по основам р-здического анализа 18, 91, а сам р-адический анализ становится предметом изучения не только математиков, ио н инженеров. В курсе "'Янтеллек уальн е системы" который читается студентам Факультета Прикладная математика и физика" МАИ, изучаются системы дииамического мышления, аредложеиные А,Ю. ХреиКИИОВым, а В курсе "Дискретная математика" нзучаытся р-адкческие пОля и зз аднческке кОльца Даяяое пособие иредиазначеио для выработки навыков н умеинй у студентов вынолиять арифметические операции иад р-адическими числами вручиузо и при аомощн СКМ Мар1е.
Исследовать свойства иростенвгих систем дииамического мышлеиия В ь'КМ Мар!е, Некоторые работы, содержащне базовые зиаиия цо р-аднческому анализу и его прнлоэкенням, ариведены в библиографи- ЧЕСНОК СИНСКЕ* 1. ОСИОБЫ р-АДИЧЕСКОИ АРИФМЕТИКИ И ЕК ИЗУЧЕИИЕ Е СКМ Мар(е Известно Щ, что нонятие числа н его развитие от натурального до комнлексного можно описать последовательностью включений: множество натуральных чисел ФсЯ, множество целых чисел ЯсЯ, множество рациональных чисел Ф=Л, множество действительных чисел Кс:С, где каждое последующее множество нолучается из предыдущего с помощью процедуры. Которая называется пополнением, При этом пополнение множества рациональных чисел 9 до множества действительных чисел Й нроводится с использованием обычного евклидова расстояния на числовой арлмой (И(к,р) = ~л — р5, где абсолютная величина (норма) — это отображение иа О, удовлетворяющее условиям: ~л;~ = 0 сэ л = 0„ ~лр~ = ~Цф„.
)т+ ф я )л~+ ~р~, Возникает следующий вопрос: действительно ли евклидово расстояние между рациональными числами является наиболее "естественным"У Существует лн другой способ описания "близости" между рациональными численная Оказь1ваетсн, что ~т~ет на этот вон рос ноложнтельный. ДругОЙ снособ намерения расстояния (О(х~у) ~х ф между рациональными числами вОзникает иэ следующей арифметнчес" кОЙ конструкции. Пусть)ВН)У вЂ” произвольное аростос число. Определим отображение ~е~ на Я следующим образом: б ( 1 —, если хе О, ОЖ з яр= О. если х = О, кратности вхождеиияр в разложенне пелого числа х Р на простые сомножителн, Огд Х= Ф Огд а — Огб, Ь, если х = —, а,деЗ, 6 е О. Напрнмер: ~9~= — Π— -1, (2(т= —, — ~ = — =2, ~9~= — =-, ~2' = — =1 -' = — '= — ф = — =1 ~4 = — =1 — = — =1 Так, определенная абсолютная величина удовлетворяет усло- виям (1.1) — (1,3), но для кее выполняется усиленное неравенство треугольника (х + р( ~ щах~(х~~, ~р(, |.
'1'аким Образом, р-адическое расстояние между Точками в пространстве ь) существенно отличается от действительного расстОяния. Пропедура пОНОлнения множества рацнональных чисел ч' с таким спОсОбОм измеРОННЯ РасстОЯниЯ межДУ злементами мнО- жества (с ПОрОждает различные мяоьтеслФеа р"Фднческкх чксел (ее и (), Юз -~ (), ()с .'з ()...„(ь) „~ () вместо множества действительных чисел Ю. Зти множества являются кеархкмедоеммк числовыми яоллмы (см. приложение 1). Замечание 1, Зсе другие способы задания абсолнггиой велнчн ны зквнвалентны либо действительной ~е(, либо одной из р-аднческих ) ~~г, Зто вытекает из теоремы Островского (1Ц. Замечание 2. Множества 9т, ь)з, Яз,..., Я~, ...равномощны отрезку (О,Ц.
Однако есчи р к д, то р-адическне поля Я„и (е не нзоморфны, а поле действительных чисел В не кзоморфно любому 9 . Замечание 3. В р-адическом анализе доказъпаетсл (8, 9), что рлд ~~', а„(а„е (е ) сходится в () тогда и только тогда, когда а„--~ О, и-~ а=1 Например, рвд 1 + р + р + ... + р" + ... сходится в Я, так как Р* ,'р"~ = р "-~ О, в-~ . Сумма этого ряда вычисляется по обмчному Р правилу, как предел конечнмх сумм: 8 = —, Запись произвольного действительного числа в в позиционной системе счислепня с основанием гл > 1, где лг — фиксированное целое число Ойв определяется разложенпем этого чясла о по последовательнмм степеням чпсла т, Поэтому любое положительное действительное число а поля й может бить запнсано в впде гдеаье (01,...,ж-Ц„ай приннмаьзтзпачення-и;в+1...„-1,0,1,2,....
Это разложенке единственно, за нсклвченкем случая, когда все вь для достаточно боль~пил й раним ж-1. Например. ноложительцр(е целые чцедв,'аргут 6ь)ть записаны в базисе гу) как конечные суммы Нелестно, что действительное число а является рациональным тогда и только тогда, когда его 1я-здичиое равложеине (1.6) является иериодичимм, т.е.
суп(ествуетдакой индекс(н такое натуральное число Ь вЂ” длина периода, что а) гл а),х Например, 10-адическое разложение рационального числа †„ = 6,142857142857142857... 48 имеет периодически повторяющуюся последовательность шести чисел 1,4,2,8,5,7 и записывается в виде 6,142857. Похожая ситуация имеет место для р.аднческого сл)'чая. Лю" бое р-едическое число а мсокет быть записано в виде а-с а = — „+ ... + — + а + пру + ... + аьр + ... -" ,с ' "',.о а-а"'а-! 'аоа1"'аь"' где аз е (0,1„,р- Ц, а Й принимают значения -я,-а+1,...;1,0,1,2,....
Это разложение схоже с представлением действительного числа в виде (1.6), но отличается от действительного случая неограничеиностью в направлении возрастания степеней р н ограниченностью в направлении их убывания. Это разложение единственно для любого р-адического числа. Как и в действительном случае, р-адическое число рационально, если его каноническое разложение (1..7) периодично.
рассмотрим частный случай„т,е. множество р-адических чисел вида: а = О, аоа1 .„а„... Это множество принято обозначать л с 9 . Оно называется коленом иелыл р-адичссиил чисел поля () . В СЛУЧаЯХ, КОГДа ОЧЕВИДНО, Чта РаоеиатРИВастСЯ ТОЛЬКО Яг, ПИП1Ут а = абаз ...ав.... Например, пелымн р-адическими числами поля 9„являются; 1) все целые числа. Например, при р ~ йл 2) некоторые рациональные числа. Например, при р = рл 1.3, Арифметические операции сложении, вычитании„умножении, делении и извлечении корин в ф и их выполнение в СБМ Мар1е Талинка выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления р-адических чисел во многом напОминаег соответствующие операцни с десятичными дробями.
Единственное отличие в том, что "заннмание", "перенос в другой разряд"', "умножение Столбиком" и т.д. делазотся Слева направо„а не справа налево. Пример 1.1. Найти р-адическое разложение числа -1 в кано- ННЧССКОМ ВИДЕ. ДлЯ )юглениЯ зтОЙ задачи используем Обьгчную процедуру слО" женил (илн вычитания) "'столбиком*" к р-адическнм числам. Имеем 1 1000....
Пусть число о 1 2 3 й = аор + а) р + йтр + азр + ... = Ней) а2аз ... удовлетворяет соотногпенню 1 + а = 0 (тогда а = -1). Начиная слева, имеем 1 + йе = О„но, так как ао е (0„1,...,р - 1) „единственный ~Нос~6 достичь т)мбуемого состоит в том, чтобы иайгн ае нз сосгношення 1 + ао = р, а затем перенестн единицу вправо. Таким образом, ас = р — 1. Продолжая эту процедуру, можно видеть, что все а,. равны р -1, т,е, >а:=ета«р(-1„2, 10); ар(ЗЗ); огйр(а, 2); уа1пер(а, 2); а:=1+(2)+(2) +(2) +(2) +(2)з+(2) +(2) +(2) +(2) +О((2)~ ) р ай!с(2, О, (1, 1, 1, 1, 1„1, 1, 1, 1, Ц) О 1 результат вычислений представлен в двух формах. В форме р ай«с(2, О, Е«,1,1,1,1 1,1,1,1,11) 2 — модуль 2-адического числа, 0 — указывает на отсутствие дробной части р-адического числа, т.е.
1 зто целое 2-адическое число, (1,1,1,1,1,1,1,1,«.Ц вЂ” зто первые десять разрядов 2-адического числа — 1. Пример 1.2, 'Найти р-адические разложения (для р = 2,3,5) первых 8 натуральных чисел. 1) для р = 2 имеем: .« = «ООО... = «О, 2 = О«ООО... = 010, З = ПООО... = ПО„ 4 = 00«ООО... = 0010, 5 = 101000... = 1010, 6 = ОП000...
= 0110, 7 = П«ООО... = П«0, 3 = 000«ООО... = ООО«О; 2) для р = 3 имеем: 1 = «ООО.. = «О, 2 = 2ООО... = 2О, З = 0«ООО., = «О, 4 = 1«000... = ПО, 5 = 21000... = 210, 6 = 02000... = 020, 7 = 12000... = 120, 3 = 22000... = 220; 4 = 4000... = 40, 5 = 01000... = 010, 6 = 11000... = 110, У = 2«ООО... = 2«0, 3= З«ООО... = З«О. Продемонстрируем решенно поставленной задачи в СКМ Мар!е, Найдем 5-адическое разложение числа 3: а2:= 3+ 5 р а6«с(5,0,(3,1,0,0,0,0,0,0,0,0,.)) Пример 1.3. Найти р-адичесиие разложения (для р = 2,3,б) следующих целмх чисел: -2, -3, -4, -б, -6, -7„-8. Используя операцию сложения р-адичесних чисел "столбиком" начиная слева и перенося едяницу в старший разряд (справа), найдем: 1) для имеем: Р" 2 -3=(-2)+(-1)=101, -4=(-3)+(-1)=001, -б=(-4)+(-1)=1101, -6 (-б)+(-1)=0101, -7-"(-6)+(-1)=1001, -8 (-7)+(-1)=0001) 2) для р = 3 имеем: -3 (-2)+(-1)=02, -4-"(-3)+(-))=212, -б (-4)+(-1)=112, -6=(-б)+(-1)=012, -7=(-6)+(-1)=202, -8=(-7)+(-1)-102; 3) для р= б имеем: Пример 1,4, Найти 2-аднческие разложения следующих рациональных чисел: 1 1 1 1 1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
