p-Адическая арифметика и ее применение для анализа мономиальных динамических систем с примерами в СКМ Maple (1012852), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Это единица и минус единица; 2) три прнмитивиых корня степени 3 из единицы 10, ВЗВУЛОУЕ70..., 77701104В5...; 3) шесть примитивных корней степени 6 из единицы 10, ВЗВУУОХЕ71)„., СЗВУНОХЕ7Э..., 77701Х04В5„., 87701104В5..., ХХ; 4) девять примитивных корней отвлеки 9 из единицы 10, СЗВА203НОС„., 45НН56Е012..., 9П2НС5119, НС4Е458402„.„ ВЗВУХОХЕ7В..., 77701104В5..., 533ВВВ7СН4..., 6С2НЕХНС16 ..; 5) восемнадцать примитивных корней степени 18 нз единицы 10, С2ВА203НОС..., 45НН56Е012...„9112УУС51ХО..„НС4Е458402..., У)ОС14012ОС..., ЕХЕ575321К..., ВЗВУУОХЕ7УУ,, СЗВУНОХЕ7УУ..., 77701104В5..., 8770110485..., 5ЗЗВВУ)7СХУ4..., ОСЗНЕУНСХ6..., 26Ь4ЕХ)АЕХС..., АНОС16ВН09, ГВ11У)С4ПУС..., ЗС78С17116„., П, Кроме того, корни степени 18 из единицы образуют циклическую подгруппу а = (10, СЗВА203НОС..., 45НН56ЕО12..., 9112УХС5119..., НС4Е458402..., У)6С1401 20С..., Егг 575В21Е..., ВЗВХ УОХЕ7В..., СЗВХНОХЕТР..
„ 77701104В5..., 877ОПО4В5..., 5ЗЗХУВУ)7СН4..., ОСЗНЕХУУС16..., 26Е4ЕВАЕУС..., АНОС16УУН09, КН11ВС41НС,, ЗС78С17116..., Х1) с Я~з порядка 18. Число П это элемент 2-го порядка. Числа ВЗВУУОХЕ7В..., 77701104В5... это элементы 3-го поряд- Числа СЗВПУОХЕ7В..., ЗГ701104В5... зто элементы 6-го порядка. Числа СЗВАЗОЗУХОС..., 45НН56К012..., 9ПЗУХС5119, НС4Е458402..„ 5331)ВХ)7СН4..., 6СЗНЕУНС16... это элементы 9-го порядка. Числа .Рбт»14012ОС..., КЕК673В21К... „263»431)АКХС..., АНОС160НОО, ду)11ВС41НС..„3673ЫКИ6„. это злемептм 13-го порядка.
Задача 1 1. Нужно, используй СКМ Мар)е, найти все примитивные корпи степени т из единицы в Я, если р = 23, 31, 37, 41, ф» Построить циклическую подгруппу в Я порлдка р — 1 и найти по- Р РЯДКИ ЕЕ ЕЛЕМЕНТОВ. ЛГ=7(жо) жв=йж1)=В(жо)) 7 7=7(жо),".,же=Аж, „)= - ~"(Жо), ЖО е К,, Где Отображение ~ (ж) ж ~ »» ... »» 7 ~ )»(„..Щж))„.,) — речультйг д последовйтельнмк примепеннй отображений 7. В теории динамический снст6м используется следяощйй тер- МППОЛОГПЯ. Коли 7(жй) жв 'ГО в~о — неподвижней иючкй, Кслп жй ~ жй прп некотором й = 1,2»...„то Говорит, что лов йерподычесжйй йточкй.
Коли й — наименьшее натуральное число» 06»тйдйющее эгим свойс*твом» тогдй й пйзмвйетсй пе)»йодом жо, й последовйтельпость повтоРашщиксл чисел 7 = (жб, жп ..., ж~ т) — йпклом длйпм й. Пусть 7~ (жп»жм...,жй») — ппкл периода (данны) $. Ц чйст* ности„неподвпжнйп точка хо лвллетсп периодической с периодом 1. 27 Ясио,'что ла является неподвижной точкой итерированного отобРаженил (а, если ло — пеРиоднческаа точка с неРиодом й. НЕНОДВПЖНВЯ тОЧКа Ко Иаамваатон аттРВКТОРОМ ОтОбРаЖЕНИЯ (а, если существует окрестность (шар, см.
приложение 1) У(ло) точки у е У(лс) такая, что все ее точки ле притягиваются точкой ле. Зто надо понимать тзк. Пусть ро е У(хо)„тогда Говорят, что нвкл у= (ло, ли ...,ль 1) являетсл ащтракщором, если ле — аттрактОр Отображения ( Допустим, а е Я вЂ” неподвижная точка функцпк ((л), Шар Р Уг~г) (о) Р = (),+1,хй,.-., называется диском Звзслл, если каждая сфера 31,, ч (а), и и р является пнвариантной сферой Функции 1(л), т.е, если везть начальпУю тОчку НВ Олпой пз сфеР Жгу ~~ (а)ф и с Р1 то все итернрозаиные точки будут также лежать на вей: р (ла „а) = Р = р,(хо,о) для всех й. Объединение всех дисков Знгелл с центром в точке а называют максимальным диском Зигеля и обозначают через З1(а).
2.2. Моиомиальные динамические системы Динамическая модель, основанная на р-аднческом нрострапстве, обладает богатой структурой уже для мономиальных функций Р() а й З 2 П кое число умножается на себя и раз„производя некоторое другое р-эдическое число, а итерационный нрОцесс мож6т иорожда'гь аттракторы, диски Зигеля, циклы, Простое число р играет роль пара- метра динамической системы. Поведение итераций зависит от этого аараметра. Бго изменение приводит к существенному изменению динамической системы: аттракторы могут стать цектрэмн дисков Знгелн и, наоборот„циклы различной длины могут ноявлятьсй и исчезать.
Нам следует знать, при каких (( коревы)-й степени пз единицы принадлежит Я (фактически, единичной сфере 8 (6)). Пусть т и н — натуральные числа. Обозначим напбольгаий обигий делптель (НОД) этих чисел символом (н, кг). Известно„что рраенсвис же = 1 имссш и = (д, р-.1) различных косней е воле У Например„пусть р= 7 и (( = 2. Тогда й" = (2,6) = 2.
Следовательно, Я, содержит два корим из единицы а = 16 и ц = 66. Это едппи. ца п минус единица, Обо~~~~~м корень степени ~) нз ~динки~ через б о, ) =1„2„.*., и = ) = (о,р-1) (выберем 6 о — — О). Рассмотрим поведение динамических систем ~„(ж) = л~ и = 2, 3,... в Я . Оче~идно, что точка хо = О авллетсл аттрактором этих динаг' мическнх сне'гем.
Соотв6*гствующаи область нрптлжеиия Проверим, использул СКИ Мар1е п программу ХР (см. нрнло;кение 4), нритлгивает ли точка О другие точки пз своей окрестности. Длл точки 42 паходкм," >ру=7у и*; — 3: 1Р(42, и, р, 5, 10);гаИа1пер(6"7)у О = р ауЩ7,1,16,0,0,0,0,0,0,0,0,0,.)) 1 = р ау((у(7,3„16,2,4,0„0,0,0,0,0,0,.)) 2 = р а41с(7„946,1,0„2,4,4,1,5,1,0,.1) 3 = р ау((с(7,27,(6.5,2,5,3.0,3,4,0,Ц) 4 = р аг((с(7,81,16,3,5,4,4,3,3,3,21 42 Из вычислений видно, что итерационный процесс быстро сходится к О.
Заметим, что (поскольку р"едическое нормирование приннма" ет только дискретные значения р", ц = О,+1,х2,...) шар (Уу(0) является обьединением шара (Ууг (О) н сферы Зу(0), Таким образом, нам нужно только изучить поведение этих динамических систем на единичной сфере Я1(О) =(ха Я,: М1„=Ц. Это поведение определяет (1Ц следующая теорема, Теоуем» 2.1. Динамическая система У„(х) =х" (х )»нЗ(ха), х,, е 3,) имеет 3=(а= и -1, р — Ц нгууодвижных точек а = б о = 61 1 —— Р ) у. 1 =У„(буо), У'=1,...,3 ФеРе Зу(0), Оенодв . но а;а1 нР надлеясат сфере Зу(1) 1.
Если (н»р) = 1, уно все гти. точки лвллютсн иентрами дисков Зигеля и максимальные диски Зигелл ЗХ(а ) совпадают с шара. ми (Уу, (а ). Длл любого й =1,2,... всг й-циклы :Р' У. ~6)0=6) й=©буо)» бу)1 = ~в(бу)0)»'-» бузу=)н (Оуно)~ лвллюунсл унанхге ууентрами дисков Зигглл радиуса 1,Ур. 2. Если (н,р) 1, тогда все зти точки — аттракуноры и А(а.) = ) =('угу(а!) Длн любого й =1"- -е "и-л"у «Оу»й= бу)о= Фбу)о)) уууакгкг атупракнуорьу. Для описания циклов в Ж длины й будем использовать следующие числа: та = (н — 1» р — Ц, й =1,2,....
у» Утверждение 1, Динамическая система «„(я) = я", и =2,3,... имеет цннли э 2 длины й «й ~ 2) тогда и толысо тогда, когда шь не делит ни одного т-, у =. 1„..„...й — 1, У)се эти циклы находятся на сфере 31(1). Сяедствне 1. Динамическая система «„(я) обладает конечны.н чослОм цынлоэ о 2 дл,а Ан1бого лростого р.
например, пусть н р, у й 1, тогда (ру,р) э 1 н, следовательно, 1 все неподвншные точкн этой снстемы а = б о, « = 1,...,р — 1 = У 1 = 1'оу -1, р — Ц ап ракторы, с областямн прктяження А(а.) («1, (ау) = 1 1 = (Уг,г(у) (а ну(п1од р)). Так как ть (р -1р-1) = р-1, й =12,..., ы то яе сущестъует нн одного цнкла длины й, й я 2. Поэтому 3 частности, если р =- 2„то все точки сферы 31(0) притягкаа1от. ся точкой а1 = 1. Исследуем теперь поаеденне динамических систем «„(я) ~ я". я =2,3,... В 2, нспольеуя С(ьМ Мар1е, т.е, прн заданных параметр ~ рах и я р найдем: неподвиясные точки; макснмальные Висяк Знгеля, 6слн йеподвнжиые точкк ЯВля1Отся ц6нтрами дискоВ Зигеляу аттракторы н циклы у дннамической системы„предварнтельно прОВернв нх сущестВОВВНН6.
Пример 2.1. Пусть р = Т н и = 3. Тогда о = и — 1 = 2, (я,р) = =(3,7) = 1, Ф=(О,Р— 1) =(2,6) н « =1,2. Так как 3 =(2,6) ~ 2, то дннамическая система «В(я) — х нм6ет две кеподвнжные тОчки а1  — 01 0= д1,1 = «3(01 о) =1 Н ат = бд,о= 621= «э(бг,о) а Фере В1(0) Найдем этн неподвнжныэ точки. Для этого вычисляем В Су(М Мар)е прнмнтнвяьге корня кэ единнцы порядка 2.
>р:=Т: Му 10: ш2: гоогр(к 2-1,р,Х)1 ш211=ор(шйЩ); ш22: ор(ш2$2)); т21;=р аб16(Т,О(1, 0,0„0, 0,0,0,0, О, О,,)) т22 ."= р,абус (7,0 (6, 6, 6, б, б, 6, 6, 6, 6, 6)) Зто единица и минус единица. Неиодвижпме точки а) й 1 принадлежат сфере З((1) = (х н 3: (х — 1~ Ц. Среди иил пеподвпж- Р Р ная точка ат = ба субб. Так как (и,р) = (3,7) - "1, то все этн точки являются цептрамн дисков Знгеля н максимальные диски Зигеля 61(а ) должны совпадать с шарами (10) (х и 2л ~х 10(р ~ 1/р) (уГ~Л(66) (х и Ур,' (х — 661, ~ 1 'р). Наломним, что вмполнение пмиликации хс е ЗГ, х(а,) =э хй = фхс) е ВГ, ~ (а)), й = 1,2,3„. длл параметра и = 1.2,3,..., определяет мйксимйлвнмй диск Зигеля Ь~~ (й ).
Проверим вмполнение этОГО условия для енйчекий Функции д «а) = 6 + 7~, которые принадлежат сфере 3, (10), а также для значений функции Фл(ц) = -1+ 7, которые принадлежат сфере ЗГ, х (66), Ислольсуя СКМ Мйр1е и программу 1)2 (см. яриложение 4), иййдем для лйрймйтрй и = б: >)и 7: я." 3: 1: б: «ОК(1+7"1, т21, и, р, б, 10)„ О = р айЦ7,0,(1,0,0,0,0 1,0,0,0,0,.)) 7 1 = р,ас(Ы7,0 (1,0,0,0,0,3,0,0,0,0)) 7 ~ 2 = р айс(7,0,(1,0,0,0,0,2,1,0,0)) 7 ' 3 = р асн(7,(Ц1,0„0,0,0„6,3,0,0)) 4 = р ас)147,0,(1„0,0,0,0,4,4,1„0)) 7 й >р: 7:и: 3:1: б:92(1+71,т22,й,р,б,10); 0 = р а<)с(7,046,6,6,6,6,0,0,0,0,0,.1) 7 ~ 1 = р а61с(7,0(6,6,6,6,6,2,0,0„0,0$ 7 й 2 = р мй(7,0 (6,6,6,6,6,1„1,0,0)) 7 ' 3 = р аб(с(7,(Ц6,6,6.6,6,6,3,0,0)) 7-а 4 = р йб)с(7,(Ц6,6,6,6,6,3,4,1.0)) 7 '" Меняя точку хо е Я1~ р (а-), убеждаемся, что для всех сфер Я,, ~ (10), 8,та (66), а > 1 выполнено условие: рт(хь, а) = рт(хо, а) для всех Й.
Следовательно, имеем неподвижные точки ат — - 61 О = 10, ав —— = бв о = 66 принадлежащие сфере 3„(0). Кроме того, неподвижная точка ее = 62 о= 66 принадлежит сфере Я~(1)=(хейг:(х-1~,=Ц. Так как (3,7) = 1, то точки аг --- 6~ о —— 10, аз — — дт о — — 66 аттракторами не являются. Онн являются центрами дисков Зигеля и максимальные диски Зигеля ЯХ(1О) и ЯХ(66) совпадюот с шарами ХХ р(10) = (х и 2г.
(х — 10(р ~ И4 н П, (66) =. (х е Ег; (т — 66~ < 1/р). Циклы в 2' длины Й (Й > 2) существуют тогда и только тогда, когда же =(а — 1, р — 1) не делит ни одного т. = (я) — 1, р — 1), й ) ) =1,...„..Й-1. Используя программу вычисления чисел т в СЕМ Мар1е (см. приложение 4)„проверим существование циклов, >р;-7; ш 3: г(: 15; МК(п,К,р)„' Таь как все ть — — 2 для Й =1,2,3,..., то циклов длины Й > 2 в Ят не существует. Пример 2.2. Пусть р = 3 и н = 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
