p-Адическая арифметика и ее применение для анализа мономиальных динамических систем с примерами в СКМ Maple (1012852), страница 3
Текст из файла (страница 3)
000000000034013234204312102401323401323420431210240132. 17 Фрагмент а = 0000000000340132 и фрагмент Ь = 3420431210240132. Следовательно„рщкональное число положительное (а > Ь, тзк как в обычном смысзье а = Ь (3 + 4 5 + 1 5 + 3 5 + 2 5 ) = 80701015625 н Ь = 3+ 4 5+2 5 + 4.5 +3 5 +1 5 +2 5 +1.5 +2 б *4.5 + е 1 бк + 3-5ы + 2 5 " = 80781824448). 4) Пусть в СКМ Мар1е иайдепо 5-аднческое разложение числа — 17 = 20431210240132342043. Подбираем Ь так, чтобы б-аднчес- 16 кне разложении представллли цечые 5- адическое числа и фрагменты а к Ь имели одинаковое количество цифр. Выбираем Й - "12. 7огда — — 5 = 000000000000204312102401323420431210240132342043.
17 ' Фрагмента = 0000000000002043 и фрагмент Ь = 1210240132342043. Следовательно, рациональное число отрицательное (а > Ь„ так как в обычном смысле н а= 5 (2+ 4 5 +3.5 ) =116455078125 и Ь.=1+25+15 *25+45+15+35+25+35 +45 + + 2 б + 4 5 + 3 5 "= 116634857536).
5) Пусть в СКМ Мар1е найдено б-аднческое разложекне числа 6 — -" 3.142302142302. Подбираем Ь так, чтобы 5-адическне разло- 35 женил представллли целые б-адическое числа к фрагменты а и Ь имели одинаковое количество цпфр. Выбираем Ь = 6. Тогда — „5 = 000003142302142302. Фрагмент а = 000003 и фрагмент 6 Ь = 142302, Следовательно, рациональное число положительное (а>Ь, так как в обычном смысле а=5 3=9375 и Ь=1+4 5+ 3 + 2 5 + 3 5 + 2 б = 6696).
6) Пусть в СКМ Мар1е найдено Ь-адическое разложение числа 6 — = 2.30214230214230214. Подбираем Ь так, чтобы Ь-адические Зб разложения представляли целые Ь-адпческое числа и фрагменты а и Ь имели одинаковое количество цифр. Выбираем Й = 1. Тогда 6 —. Ь = 230214230214.
Фрагмент а = 230214 и фрагмент Ь = 230214. 35' Следовательно, рациональное число отрицательное (а = Ь). 1,4. Операция извлечения корпи степени иь из единицы в Я и ее вьгполнение в СКМ Мар1е Элемент полн Г™ называется корнем стеиеии т иэ эдикты, если ( = 1; такой корень называется иримитиаиым, если Г~ я 1 для 0 < я < т.
Утверждение 1.1. Для любого простого числа р и любого натурального числа т, взаимно простого с р, в 4) существует примитивный корень степени т из единицы тогда и только тогда, когда т делит р -1 без остатка (т) р -1). В этом случае каждый корень степени т из единицы является также корнем степени р -1. Все корни степени р — 1 из единицы образуют циклическую подгруппу в Я с Я порядка р — 1, где Я вЂ” множество всех обратимых эле- Р Р Р ментов кольца ЯГ, т.е. его мультипликативная подгруппа.
Утверждение 1.2. Примитивные корни из единицы степени р" не принадлежат 9», за исключенпем случая р = 2, л = 1.. Пример 1.9, Нужно, используя СКМ Мар1е, найти все примитивные корни степени т из единицы в 2т, построить цикличес- кую подгруппу в Ят порядка 6 и найти порядкп ее элементов. Реюсвис. Так как р — 1 = 6, то делители числа 6 это числа 2, 3, 6. Используя СКМ Мар1е, выполним следующие действия: 1) положим т =.
2 и найдем примитивные корни степени 2 из единицы: Следовательно, 27 содержит: Ц два примитивных корня степени 2 из единицы 10 и 66, Это едииица и мицуо едииица; 2) три примитивных корня степеии 3 из единицы 10, 2463026243... и 4203640423„.; 3) шесть примитнвпых корней степени 6 из единицы 10, 2463026243.„, 3463026243..., 4203640423..., 5203640423...и 66. Кроме того, корни степени 6 из единицы образуют циклическую подгруппу порядка 6. Числа 2463026243...и 4203640423...его элементы 3-го порядка.
Числа 3463026243... и 5203640423... это элементы 6-го порядка. Число 66 зто элемент 2-го порядка. Пример 1ЛО. Нужно, используя СКМ Мар1е, иайти все примитивпые корив стапеля в$ иэ едипицы в УЫ, построить цикличес- кую подгруппу в Уы порядка 10 и иайти гюрядки ей злемектов. Решсаис. Так как р -1 "- 10, то делители числа 10 это числа 2„5. Используя СКМ Мар1е, по той же самой схеме, что и в примере 1.9, найдем все примитивные корпи и их порядки. Получаем, Я содержит: 1) два примитивных корня степени 2 иэ едииицы 10 и АА (А = 10; см.
таблицу соответствий в приложение 4). Это единица и мивус единица; 2) пять примитивных корней степени 5 из единицы 10, 4795298078...„ 5251785А8А.... 301236А870..., 9061987132...; 3) десять примитивных корней степени 10 из единицы 10, 2А49123978..., 4795298078..., 5251785А8А..., 8А9374023А..., 301236А870..., 6859325070..., 7315812А32..., 9061987132... и АА. Кроме того, корпи степеии 10 из едииицы образуют циклическую подгруппу порядка 10. Числа 4795298078..., 5251785АЗА.„, 301236АЗТО..„ 9061987132... это элементы 5-го порядка.
Числа ЗА49123978..., 8А9874023А, 6859325070..., 7315812А32..., это элементы 10-го порядка. Число АА это элемент 2-го порядка. Пример 1.11. Йужно, используя СКМ Мар)е, найти все прими- тивные корни степени ю из единицы в Ягз, построить цикличес- кую подгруппу в У~з порядка 12 и найти порядки ее элементов.
Решение. Так как р — 1 = 12, то делители числа 12 это числа 2, 3, 4, 6, 12, Используя СКМ Мар1е по той же самой схеме, что н в примере 1В, найдем все примитивные корни и их порядки, Получаем З~з содержит: 1) два примитивных корня степени 2 из единицы 10 и СС. Это единица и минус единица; 2) трк примитивных корня степени 3 из единицы 10, 91635А 8844..., ЗВ69724488...; 3) четыре примитивных корня степени 4 из единицы 10, 5510551018..., 87ВС7ТВСВ4..., СС; 4) шесть примитивных корней степени 6 из единицы 10, 91635А8844..., А1635А8844..., ЗВ69724483, 4В69724438..., СС; 5) двенадцать примитивных корней степени 12 яз единицы 10, 2622425873..., 91635А3844,.„А1635А8844.„, 5510551018..„ 7В3297688В..., 619А856441..., 87ВС77ВСВ4..., ЗВ69724488..., 4В69724438..., ВЬААЗА7459, СС. Кроме того, корни степени 12 из единицы образуют цикличес- кую подгруппу а = (10, 2622425873..., 91635А8844..., А1635А8844.„, 5510551018.„, ТВЗ297683В..., 619АЗ56441..., ЗТВСТТВСВ4..., ЗВ69724488..., 4В69724483.„, ВЗААЗА7459..., СС) а В)з порядка 12.
Числа 91635А8844..., ЗВ69724488... это элементы 3-го порядка. Числа 5510551018..., 87ВС77ВСВ4... зто элементы 4-го порядка. Числа А1635А8844..., 4В69724438... зто элементы 6-го порядка. Числа 2622425873..., 7В3297688В..., 619АЗ56441..., ВЗААЗА7459„. это элементы 12-го порядка. Число СС это эле- мент 2-го порядка. Пример 1.12. Нужно, используя СКМ Мар1е, найти все прими- тивные корни степени гя из единицы в У э, построить цикличес- кую подгруппу в Я порядка 19 и найти порядки ее элементов. 24 Решение. Так как р - 1 = 18, то делители числа 18 зто числа 2„ 3,6,9,18. Используя СКМ Мар1е, по той же самой схеме„что и в примере 1,9, найдем все примитивные корни и их порядки, Получаем, Е19 содержит: 1) два примитивных корня степени 2 из единицы 10 н ХХ.
Это единица и минус единица; 2) три примитивных корня степени 3 из единицы 10, ВЗВИОХЕ7В..., 7К701ХО4В5...; 3) шесть примитивных корней степени 6 из единицы 10, ВЗВХ,ХОХЕт, СЗВХНОХЕ7В..., 7К701ХО485..., ХХ; 4) девять примитивных корней степени 9 из единицы 10, а2ВА2ОЗНОС..., 45НХХ56ЕО12..., 91ХЗХХС5119..., НС4Е458402...„ ВЗВХХОХЕТВ..., уК701Х04В5..., 533ШЮ7ан4..., 6С2ХХЕХНаХ6...; 5) восемнадцать примитивных корней степени 18 из единицы 10, а2ВА203ИОС..., 45НН56ЕО12..., 91ХЗИС5119..., НС4Е458402...„ Вза14012ОС..., ЕКК575В21 Е .. „ВЗВВХ ХОХЕ7В..., СЗВХНОХЕ7В..., 7К701Х04ВЗ...„ЗК701104В5..., 533ЭВЮ7ан4..., ОСЗНЕХнаХ6..., 26Е4ЕВАЕХа..., Аноа16ВНОО..„КВ11ВС4Хна..., За73аХК116,.„ 17, Кроме того, корки степени 18 из единицы образуют циклическую подгруппу и = (10, а2ВА2ОЗНОС..., 45НН56Е012..., 91ХЗНС51Х9..., НС4Е458402..., Вба1401.20С..., ЕКК575В21Е..., ВЗВХ,ХОХЕ711...„СЗВХИОХЕ711..., 7К701ХО4В5..., ЗК701Х04В5..., 533Х)ВХ)7ан4..., 6С2ХХЕХНаХО..., 26е4еэАеха..., Аноа16х)ноз, кхх11ВС4хна..., заузахк1хз..., Хб;,.
Е',з порядка 18. Число ХХ зто элемент 2-го порядка, Числа ВЗВХ ХОХЕ7ХХ...„7К701104В5... зто элементы 3-го порядка. Числа СЗВХНОХЕ7В..„ЗК701104В5... это злементы 6-го по- рядка. Числа азВА20ЗНОС,.„45НН56Е012..., 91Х2НС51ХО, НС48458402 533ХИЮ7ан4..., 6С2НЕХНаХО... зто элементы 9-го порядка. Числа Вза14012ОС..., ЕКК575В21Е..., 26Е4ЕВАЕХа..., АНОа16Х>Н09, КВ11ВС4ПХа..., За78аХК1ХО... зто элементы 18-го порядка. Пример 1,13. Нужно, используя СКМ Мар1е, найти все примитивные корни степени гп из единицы в Елз, построить циклическую подгруппу в 'Язз порядка 28 и найти порядки ее элементов. Решение.
Так как р — 1 = 28, то делители числа 28 — это числа 2, 4, 7, 14„28. Используя СКМ Мар1е, пс той же самой схеме, что и в примере 1.9, найдем все примитивные корни и их порядки. Получаем, Езз содержит: 1) два примитивных корня степени 2 из единицы 10 н ВВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
