p-Адическая арифметика и ее применение для анализа мономиальных динамических систем с примерами в СКМ Maple (1012852), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Абсолютная величина является неархимедоеой„если выполняется усилен. нос неравенсгво треугольника Поле Р с неархимедовой нормой называется неархимедоеым нолем. Примером неархимедового числового полн является поле нестандартных чисел В (41. Это расширение поля вещественных чисел В, содержащее бесконечно малые и бесконечно большие величины. В силу присутствяя бесконечно малых н бесконечно боль- шнх величин аксиома Архимеда в поле нестандартных чисел (гипердействнтельных чисел) В нарушается.
Заметим. что из неравенства треугольника (П1.4) следует, что абсолютная величина является иеархимедовой тогда и только тогда, когда )л(у < 1 для всех элементов н из кольца, порожденного в поле Р его единичным элементом. Пусть К неархимедово поле. Тогда: 1) с одной стороны, если а я Ь вЂ” два ненулевых элемента, принадлежащих К, таких, что ~~К < ~Ь~Х, то невозможно найти такое натуральное и, что )ла)л < )ь(к. с другой стороны, если а и ь — два элемента, принадлежащих Я, то всегда возможно найти такое натуральное число н, что )на~я < )Ь)л, где )~ и ( ° )л — ооычная абсолютная величина в Н; 2) если характеристика поля К равна нулю, то Ф с- К и Я с- К; 3) пусть à — образ К относительно гомоморфнзма ~ь~д. Тогда является подгруппой в В и с н Р образ любого элемента а„е К, для которого 1а,)Л = е; 4) ра(х,у) = )х — ууе — это метрика пространства К„так как яз (П1.4) следует, что рх(х,у) <~рл(х,г),рд(е,у)), х,у,г е К.
Такие метрики называют ультраметриками, Заметим, что усиленное неравенство треугольника имеет следующий геометрический смысл." длина любой стороны треугольники не более чем наибольшая из длин двух других сторон. Таким образом, в ультраметрическом пространстве все треугольники являются равнобедренны- Основные свойства ультраметрического пространства Х Пусть (У„(а) = (х е Х)р(х — а) ~ г) и У,(а) = (х е Х)р(х — а) < г) пщры радиуса гн Й с центром в точке а е Х. Тогда выполняются следующие свойства: 1. Любой шар в пространстве Х является одновременно кек открытым, так и замкнутым, Любая точка шара может служить центром.
Шар может иметь бесконечно много радиусов. 2. 1)усть у к у — два пира в пространстве Ж. Тогда существует только две возиожкости: а) пиры вклкчюотся друг в др га (т.е. у: $' клк у ~ у); б) шары не пересекаются. 3, Уявтракетрквеское пространство Х явяяется впояне кесвяв- НЫМ. 4, Сфера Я,(а) = (х е Хф(х — а) = г) является открмто-замкнутой к ке является граквщей шара У„(а). Обобщением р-адических чисел коля 9„являются и-адические числа кольца Я~, где т — любое фиксированное натуральное число, т ь 1. Заметим, что т-адические числа определяются так же, как и р-адические, В поле рациональных чисел Я вводится понятие ат-адической псевдонормы х — > ~х) .
Если и натуральное чис-ло, то его можно представить в виде л = т"Ь, где Ь и в; взаимно простые„Полагаем ~а~ ю ж (обычным способом игу псевдоиор. му можно продолжить на Я). Отличие от р-адического случая состоит в тОм, что для ~у) не выполняется условие (П1.2), если ж не ястве*си простым ~~~лом. Например„пусть ж = 4, ~~~да ~2~4 = 1, но ~2 2(4 = — е ~2~ )2) . Вместо условия (П1.2) в общем случае выпол- 4 няется более слабое условие Такая функция называется нсседоиормой. Пополнение поля рациональных чисел 9 по отношению к метрике, соответствующей псевдонорме гащ, и есть кОльцо Ям ш-адические чисел.
ЛюбОе жадическос число о ~~же~ быть аапнсано в виде где о- = 0,1,.„,ж — 1. Зто рааложение ана~о~~чно каноническому ) '*"" раалоясеняю (1,7) и единственно, в отличие от действительного случая (1.6), С его помощью реалиауются алгебраические операции на Я~, Но существуют проблемы с операцией деления, потому что в кольце (),„сугдествуют д~л~~~ли нуля. Например, если ж ~ 6„ то мох<но найти даа 6-аднческих числа вида о = 2с~оупв... Ь =- 2Ь,ЬхЬх ..., принадлежащих Я, таких. что 44 + За, + ,'~ ах ЬЬа + 2Ь» + ... = О, а=1 Длл этого хпаг за пхагом подбираем числа ах и Ь», которые обнуляхот коэФФициенты нахпего произведения при степенях 6, 1 х = 1,2,3: Получаем а = 2101...
и Ь = 3120... Заметим, что зти числа при. падлело»т кОльцу цельхх хз-адичесиих чисел Я,„Я Я,„. Ыохкио ПОказатхк 1) 1),=Х);, 2) 9 = Ох при условии з» =р"ц..р"» и 1=р'ц..р», где рх,„.,рз Р 1"' Ж 1"' а* — зто простые различи»хе числа„а гх„„.,з» вЂ” положительные цель»с числа. 3) Кольцо Ц являетсл прямой суммой р-адических полей Я~ х Ю„,=6~ ~6„3) ...хРЮ,, "х З» ГДЕ ХВ =Рр «"~ Уз, а Рх...*, Рз — Зтс ПРОСтЬХЕ РаЗЛИЧИЫЕ ЧИСЛа* Приложение 3 КОЛЬЦА И ПОЛЯ ВЫЧКтОВ (1й) ЗЛ.
Сравнение целых чисел по модулю Два целых числа а и Ь называются сравнимыми но модулю т, если оии при делении на т дают одинаковые остатки, а утверждение: "а сравнимо с Ь по модулю т" кратко записывается в виде соотношения а и Ь(шоо т), называемого сравнением. Ьритерий сравнимости 1. Отношение сравнимостн целых чисел по модулю т является отношением зквивалентности на Я и потому множество Я разбивается на непересекающиеся классы чисел, сравнимых по модулю т, т.е. дающих одинаковые остатки при делении на т. 2. Для любых а, Ь, с е Я а и Ь(пюй т), а = а(шоа т)=>авс и и Ьмс((шойт), где е — любая из операций +„—, (т.е, сравнения можно почленно складывать, вычитать и перемножать.
3. псла а' — общий делитель чисел а„Ь, т е Я, то а и Ь(шой т) о~ а Ь)' т1 оэ а и ~ шоп —, (т.е. обе части сравнения и модуль можно делизи и умножать на одно н то же число). 4. Пусть (с(,т) — наибольший общий делитель чксел а!, т. Если а — общий делитель чисел а, Ь и (д,т) = 1, то а е Ь(шсн$ т) а Ь ~ — и — (шоб т), (т.е. обе части сравнения можно делить и умно- а жать на число, взаимно простое с модулам), Следспзеил из сеойеазе сраеми моспьи 1.
Для любых целых чисел а, Ь, с и натурального числа Ь справедлива импликация: о е п(пии) зз)ееазс м Ьзс(п1об ш)„а и Ь (той т), с (а з Ь) ~* (гм(а) з г (Ь)). Множество всех хлассов вычетов по модулю т обозначим через Я/зз. Тах хах различные остатки от деленян целых чисел исчерпываются числами 1).1 ".~ж — )» то число нлассов вычетов по модулю л$ рзеио ж, н Множество Я/ат всех нлассов вычетов по модулю ж с тах определенными операциями сложения и умножения является хоммутатнзным хольцом с единицей. (Оно называется холеном еычсжое зо модулю ж.) В кольце Я;т каждый элемент (а),„е 10) или обратим, или де- литель нуля, причем: а) (а)„, — обратим с= (а,т) = 1; б) (а),„— делитель нуля «=э (а,т) е 1, Порядок мультиплнкативной группы (Я/т) кольца Я/т ра- вен числу натуральных чисел, не превосходяп1их т и взаимно простых с числом ш„и вычисляетсл по формуле: ~(я~т) 1 = р(т), где функция Эйлера ~р(т) = ш 1 — — ~ 1 — — ...
1 — — б если нату- ральное число имеет каноническое разложение т = р 1 рвз ... р, . з д з Отметим, что если натуральные числа а„т взаимно просты, то ае(~) 1(той т). Откуда следует, что если р — простое число и а е Я, то а) а" и 1(той р) прн (а,р) = 1; б) з" и а(шой р) при любом а. Кольцо Я/т является полем тогда и только тогда, когда т —. простое число. 3.3.
Решение сравнении иох" + а хз +...+а„„х+ а„н0(шодт). (П3,1) вазываетсялюбое палое число хо, при подстановке которого внести х сравнение (П3.1) становится верным числовым сравнением. Два сравнении (по одному нлн разным модулям) называются раекосильными, если множества их решений совпадают. Задача описания всех решений уравнения в целььх числах относительно неизвестного х. Это сравнение является частным случаем сравнения (П3.1).
Ва.четам: 1. Если в сравнении (ПЗ.Ц любой из коэффициентов а, заменить сравнимым с ним по модулю числом, то получится сравнение, равносильное исходному, 2. Если целое ьисло хс является рецьением сравнения (П3.1), то еь'о решениями являются все числа класса (хД„. Все зти числа называются одииаьсовыми по модулю т, Решения же, не сравни. мыс по модулю т, называются развя ьными по модулю т. Максимальное число различных решений по модулю т называют числом решений ао модулю т. Решение сравнения (П3.2) основано на справедливости следу!ощих утвержденийь 1.
Если (а,т) = 1, то сравнение (П3.2) имеет единственное решение по модулю т. 2, Если (а,т) = ьь', то сравнение (П3.2) разрешимо в том и голько том случае, когда сбб. При выполнении последнего условия сравнение (П3,2) имеет ровно ьь' решений по модулю т. Из упьерждения 1 следует, что существуют таяне числа У,Р а 2, что т(ь + ау = 1, и сравнение (П3.2) имеет единственное по модулю т решение УЪ: х и )'((шоб т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
