p-Адическая арифметика и ее применение для анализа мономиальных динамических систем с примерами в СКМ Maple (1012852), страница 2
Текст из файла (страница 2)
2 3 213'б'7' ЗУ Зэ 2 Используя операции сложения, умножения р-адических чисел "столбиком" начиная слева и перенося едпницу в стерший разряд (справа), найдем: — = 1.О, — = 11О101, — = 1011ОО11, -= 111О1ОО1, — †, = 101, 1 1 1 1 1 2 '-"3 — 'б — '7 3 Продемонетркруем получение этих результатов. Найдем 2-адн- 1 ческое разложение числа 1/3. Допустим, что число — = аоа- ахах „., 1 т.е. целое 2-адическое. Так как 3 — = 1, то, умножая "столбиком" '3 1 1 О 0 О Р ° ° ° ао ат ах аз а и,. ° ° ° аоаооо оо а1 аг О О 0 ° в ° ат ае 0 0 е в ° аз аз 0 ° е е Складывая результаты поразрядного умножения "столбиком", находим аз=1, 1+а1=0=эа1=1, аз=о, 1+аз=о=эаз=1, ...ах„= О, ахи~1 = 1...,„т.е.
— = 110101. 1 Замечание, Этот же результат можно получить, применяя стандартную процедуру деления '*углом" (рис. 1,а), а если учесть, что операция вычитания двух чисел а и е есть операция сложения числа а с противоположным к числу е, то получим модифицированную схему деления "'углом*' (рис.
1,6). 4 4$ !Ооаоаоо ~иоооооо !ОШИ ! !!010!01 1!11И ! )оааоаоо ~иаааооо и000000 1!О!О!о! И1И!1 иоааао ои ии 1аии1 ии! ИООО 01Ц Продемонстрируем решение поставленной задачи в ОКМ Мар1е. Найдем 2-аднческое разложение числа тф - 2 ° >а: ета1р(-3/2, 2, 10); ор(%)! В форме р аб)с(2„-1, 11. а, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, Ц) 2 — модуль 2-адического числа, — 1 указывает на наличие одного разряда в дробной части р-аднческого числа, Пример 1.б. Нужно навлечь !б и 1-1 в Дз. 12 Вту задачу ИОжнО решить, используя следуюп!Не факты. КОли рз 2, тор-адическое число с = с,!+ с,р+ сзр + „„с! е (0,1,...,р-Ц, 2 со Ф 0 является квадратом ТОгда и тольно тогда, когда со является квадратичным вычетом по модулю р.
Целое рациональное число 2, не делящееся на р, называют кеадранзочнкм еыаензом во моду- лю р, если сравнение г и 2(шобр) и~е~т решения среди чисел 2 (0„1,...,р — 1). В противном случае с называется кзадражвчнмм ке- емчсжом. (О решении сравнений см. приложение 3.) Алгоритм извлечения чз СВОдится к растению уравнения х — 2 = О в 9 . Он является аналогом метода последовательньгх 2 Р приближений Ньютона н вытекает из утверждения (леммы Гензе- ля), Пусть г'(х) = со + с х + ... + саха — многочлен с целыми р-ади- 13 ческпмн козффициентйми, й Р(х) = с~ + 2сзх + ...
+ пс„х" — но производная. Предположим„что ао — целое р-йднческое число, д р р(а ) О(тасар), й р'(ао) а О(шеар). т дй уш ет единственное целое р-йдическое число а такое, что Р(а) = О и а и ао(шой р). Продемонстрируем решение задачи нз примере кзвлечеиия ')е в ()з, где г = 6 = 1+1 б. Рг~аснпс. Зздйчй сводится и отыскйишо последовйтелвпости б-йдическпх цифр ао,ораз,.„, О ~ а з 4, таких что ао * а .б + ав Ь + аз б + ...~ = 1 + 1.Ь, (1.8) 2 3 Выполнив поразрядное умножение "столбиком" в левой части уравнения (1.8), имеем: +айвз" +аеас'Ь + " .
б б + а ~ аз" б + аг ае ' Ь + ° » + аз.б~+азаз бе+ ... +азов Ь +азат Ь +„. 4 5 азао б +аза б +... 4 3 а,ао б'+... где Ф= О,1,2,3,... Полйгйя в (1ЛО) )у = О, находим срйвнение ао н 1(шсх( б), Тйк 3 кйк ао е (О,1,2,3,4), то ао = 1 или ао — — 4 ре~ен~~ срйвнения н сс -— 1 является кзадратичиым зычстом ло модулю Ь. Следовательно, зздйчй имеет двй решения. Первое решение.
Поллсвн в (1 10» а; = 1 В задавая 5' = 1,2,3, 4,5... „Носледоввтельно Взходнм; 1) а„+ 2аоа 5 и 1+1 50вой 6 ) =э 1+ 2а,.5 м 1+1 5(пкк1 5 )=е =Ф 2а1 и 1(взой 5) л~ а1 = 3„' 5) Во+2 Оа1.5+ (2 оав+ а1) 5 +(2аоаз+ 2а1аз) 5 В 2 г в 3 + «2аоаз + 2а)ав + аз)-5 + (2аоаз * 2а ВВ + 2азаз) 5 Н и 1+1. 5(нзой 5 ) ~ 1+1 5 + «2НВ * И) 5 н 1+1. 50ВОЙ 5 ) ~ => 13 + 2аз н 0(1ной 5) ье аз = 1;...
Окончательно имеем: '~6 = И042123133033232224., = 1+ 3-5 + + 4 5З+ 2 54+ 5В+2 6Е+3 57+ 5В+ 3 6В+ 3 5~О+ 3 5ЬВ+ 3.513+ + 2, 514 + 3. 51$ + 2. 51В 2. 517 + 2. 51В + 2. 519 «)(520) Второе решение. Ивходнтся ВВВНОГнчнО первому решенн30, если ноложнть ао — — 4. Имеем )б = 4140232131141121222... Посъ'унея ВнелОГнчно, Влжоднм ч-1 = 212И423032204132404... и -')-1 = 332310214И240312040... р1=31 а1=гоо1р(х"2+1.р.20): а11=ор(а(Ц); а2;=ор(а(21)." а1 ж р аб(с(б, 0(3,3,2„3,1,0,2,1,4, 1,2,2,4,0,3,1,2,0,4,01) а2:= р а4((с(б, 0(2,1,2,1,3,4,2,3,0,3,2,2,0,4,1,3,2,4,0,41) пример 1.6. нужно показать, что не су1цествует Г2 в Цз.
Решение. Для того чтобы "12 существовал, необходимо найти последовательность 3-адическнх цифр йо, й1, йа ...„0 б и; ь 2 таких, что 2 2 ос+ й1.3+ й2-3 + йз 3 + ... ( = 2. Это возможио (см. Иример 1.8), если ас е (0,1,2) является репгением сравнения йз и 0(п1ог(3), но 2 среди чисел множества (0,1,2) решений нет н сс = 2 является кзйдрал1ичлым незычетсл ло модулю 3. Следовательно, не существует среди 3-адических чисел ~2.
Пример 1.7. Нужно извлечь 1-Т з 92. ( 2.4е') Эту задачу можно решить, используя следующий факт. Если р = 2, то р-адическое число е, ~цз —— 1 является квадратом тогда и только тогда, когда г и 1(шоб 8). Рсижлис, е и 1(шог( 8). Это видно из цепочки сравнений е и 1 + 1 2 + 1 2 + „, и 1(шог( 2 ) =э 1 2 и 0(шог( 2' ). Поэтому задача сводится к отысканию последовательности 2-адических цифр й1, й, й2,..., 0 ь й, < 1, таких, что Выполнив поразрядное умножение "столбиком" левой части уравнения (1.11)„имеем: йо+ йсй1.2+ йой2 2 + йойз 2 + йой1.2 +йсйз 2 + ... 2 2 3 4 3 й1йо 2+ й1 2 + й1й2 2 + й1аз 2 + й1й4'2 + ". 2 2 3 4 5. й2йо'2 + 2й1'2 + й2'2 + й2йз'2 +-- 2 З 2 4 З з 4,з (112) йзй,1-2 + йзй1 2 + йзй2 2 + ...
й4а .2 +й4й 2 + ... 4 5 йзйо.2 + ... Снладывая результаты поразрядного умножения "столбиком" (1.12)„находим систему сравнение Ф Ф ~~~~ 2 ~, а~а~ ~ а 1+1 ° 2 + 1 2 + ...(пю4 2*у+"), йко Гео где Ф = 0„1,2,3... Полагая Ф = О, находим: ао а 1(пюд 2) в~ ао 1. 2 Полагая Ю 1, находим а, +2аоа~.2 мЦпюй 2 ) =з1+а 2 а т 2 т 1(п~о(2 ) а 2 аО(я~ой 2 ) -.а а1=0 или а =1, Кслиа =О, то, а 3 пелагея )у = 2, неволим: ао+2аоат 2+(Засов+а)).
2 яЦпюй 2 ) =а 2 2 2 3 =~ 1+ ая 2 а 1(пюд 2 ) =~ ат = 0 илн ав ~ 1. Если а~ = 1, то, нахо. в дим: 1+2 +(2аз+1) 2 м1+1.2 (пни) 2 )=~(ах+1).2 а2 (пюс) 23) =~ =оаз=Онлиа =1. Полагая Ф 3, ат = О, ат = О, находим: ао+2аоа).2+ 3 +(2аоат+ а~) 2 + (2аоаз+ а аз) 2 я1+ 1 2 + 1 2 (гной 24)=~ =~ аз 2 я2 *2 (нюй 2 ) —..о О а 2 (нтос(2 ), Нет репгеипй. Полетел К ~ 3, ат = О, ат = 1„ийходим: ао +2аоа1 2 + 3 +(2ао аз * а ). 2 + (2аоаз + 2а аз) . 2 а 1 + 1 2 + 1 2 (пюй 24) =е ~аз 2 и2(пюй2)=~а =Оилиаз .1.
-')-7 = 11010010111111001110... Продемонстрируем рещение поставленной задачи в СКМ Мар)е. Найдем 2-адическое разложение числа ч-7: р:=2: а: гоо(р(х"2+7,р,20): а1:=ор(аЩ); ай."=ор(а12)); а1:= р аб!с(2,0Д1,0„1,0,1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,О,О,О,Ц) а2:= р ад1с(2,0 (1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,1,1„1,1,0„0,1,1,1,0)) Пример 1.8.
По б-адическому разложению рациональных чисел определить их знак. Эту задачу можно решить, используя следующие факты(а,1), Пусть г е Я. Тогда йй > 1 такое, ~гго р-адическое разложение числа гр может быть представлено в виде аЬЬЬЬЬ,.„где Фрагменты а и ь Ь содержат одинаковое количество цифр. Кроме того, неравенство г > 0 зквивалентно неравенству а > Ь в обычном смысле (как для целых чисел, записанных в системе по основанию р). Рейнские. 1) Пусть в СКМ Мар)е найдено б-аднческое разложение числа — = 211П1, Подбираем Ь так, чтобы б-аднческие разложения пред- 3 стесняли целые б-адическое числа и фрагменты а н Ь имели одина- 3 ковос количество цифр, Выбираем й = 1.
Тогда —.5 = 03111Ш. Фрагмент а = 02 и Фрагмент Ь = 11, Следовательно, рациональное число положительное (а > Ь, так как в обычном смысле а =- 10 и Ь = 0). 2) Пусть в СКМ Мар)е найдено 5-адическое разложение чцсла 3= — — = 333333. Подбираем й так„чтобы б-аднческие разложения й представляли целые б-адические числа и фрагменты а и Ь имели 3 одинаковое количество циФр, Выбираем Ь = 1. Тогда — — 5 = . 03333333, Фрагмент а = 03 и фрагмент Ь = 33. Следовательно, рациональное число отрицательное (а ч Ь, так как в обычном смыслеа=-15 иЬ=18).
3) Пусть в СКМ Мар1е найдено 5-адическое разложение числа — „= 3401323420431210240132. Подбираем й так, чтобы 5-адичес- 16 17 кне разложении представляли целые 5-аднческое числа и фрагменты а и Ь имели одинаковое количество цифр, Выбираем Ь = 10. Тогда — 5 =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
