Г.Г. Спирин - Механика, молекулярная физика и термодинамика (1012842), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В частности, с помощью этой величиныхарактеризуют изменение параметров идеального газа приадиабатическом процессе.Адиабатический процессАдиабатическим называют процесс, проходящий без теплообмена свнешней средой. На практике адиабатический процесс может бытьосуществлен в системе, окруженной теплоизолирующей оболочкой.Так как при адиабатическом процессе Q = 0, то первое началотермодинамики принимает видAdU(4.24)т.е. работа, совершаемая системой при адиабатическом процессе,происходит за счет изменения внутренней энергии этой системы.Учитывая выражения (4.11) и (4.18), уравнение (4.24) для одногомоля газа можно представить в видеР dVCмолV dT,откуда, используя уравнение состояния идеального газа (4.4),исключаем давление РRTСмолdV 0,V dTVилиdTR dV.TVCмолVПроизведя интегрирование, получим142T VRC молVconst.молУчитывая, что R CмолCмолCмолPV (см.
4.22) и CPVнесложных преобразований находимT V1, после(4.25)const.Воспользовавшисьуравнениемсостояния идеального газа (4.4), можноуравнение (4.25) записать в видеPP VТ = constQ=0Рис. 4.2Vconst.(4.26)Это уравнение адиабаты идеальногогаза в переменных Р – V получилоназвание уравнения Пуассона. Графикиадиабатического(4.26)иизотермическогопроцессоввкоординатах Р – V показаны на рис.4.2.Классическая теория теплоемкости газовВ основе классической теории теплоемкости лежит установленноестатистической физикой положение о равномерном распределениикинетической энергии по степеням свободы молекул, согласнокоторому на каждую степень свободы молекулы приходится в среднемэнергия, равная (1 2)kT (где k = 1,38 10–23 Дж/К - постояннаяБольцмана).Под числом степеней свободы понимают количество независимыхкоординат, определяющих положение молекулы в пространстве.Модель молекулы идеального газа - материальная точка лучшевсего соответствует одноатомным газам.
Положение одноатомноймолекулы в пространстве может быть задано значением трех еекоординат (например, x, y, z). Поскольку изменение положенияодноатомной молекулы обусловлено только ее поступательнымдвижением, тосоответствующие степени свободы называютпоступательными.В качестве модели двухатомной молекулы в первом приближенииможно принять систему из двух жестко связанных между собойматериальных точек.
Эта система имеет пять степеней свободы. Три изних являются поступательными и определяют координаты центра масссистемы. Две определяют возможные вращения молекулыотносительно двух взаимно перпендикулярных осей, каждая из143которых перпендикулярна оси молекулы. Эти степени свободыназываются вращательными.Другой моделью двухатомной молекулы является система двухматериальных точек, связанных не жесткой, а упругой связью. В этомслучае возникает колебательное движение атомов вдоль оси системы.Такая система имеет шесть степеней свободы: три поступательных, двевращательных и одну колебательную.В отличие от поступательного и вращательного, колебательноедвижение связано с наличием как кинетической, так и потенциальнойэнергии.
В механике доказывается, что средняя потенциальная энергияпри колебательном движении равна средней кинетической. Поэтому накаждую колебательную степень свободы молекулы приходится всреднем вдвое большая энергия, равная kT.Модель молекулы, состоящей из трех и более атомов, обычнопредставляют в виде системы жестко связанных материальных точек.Эти молекулы имеют шесть степеней свободы2: три поступательные итри вращательные.Согласно положению о равномерном распределении энергии постепеням свободы, средняя энергиямолекулы может быть рассчитана поформулеikT ,(4.27)2где i = iпост + iвр + 2iкол – сумма чисел поступательных, вращательных иудвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы (числоколебательных степеней свободы удваивается в связи с их вдвоебольшей энергоемкостью).Тогда внутреннюю энергию 1 моля идеального газа можно записатьв виде:iUNART.(4.28)2Откуда с учетом (4.20) и (4.22) молярные теплоемкости идеальногогаза могут быть выражены следующим образом:2CмолVdUdTiR,2CмолPCмолVR(4.29)i 2R.2(4.30)Исключение составляют так называемые линейные молекулы, атомы которыхрасположены на одной прямой.
Эти молекулы имеют три поступательные и двевращательные степени свободы.144Из формул (4.29), (4.30) следует, что отношение теплоемкостейСР/СV для идеального газа зависит лишь от числа степеней свободымолекулСРСVCмолPмолCVi 2.i(4.31)молРезультаты расчетов CмолP , CV и в зависимости от числа атомов вмолекулах идеального газа приведены в таблице 4.1.Таблица 4.1МолекулаЧисло степенейХарактерiсвободысвязимежду --------------------------атомами пост. вращ. колеб.
–одноатомная–3––3двухатомнаяжесткая32–5двухатомнаяупругая3217с числоматомов трии болеежесткая33–6CмолVCмолPДжмоль КДжмоль К3R25R27R25R27R29R23R4R–1,671,401,291,33Главным недостатком классической теории является то, что она недает объяснения температурной зависимости теплоемкости газов.Приближенные значения теплоемкости по классической теории могутбыть получены лишь для отдельных температурных интервалов, еслисчитать, что при температурах, близких к комнатной, колебательныестепени свободы как бы “заморожены”, а с увеличением температурыколебательные степени свободы постепенно “размораживаются”.Классическая теория теплоемкости твердых телПри подводе теплоты к твердому телу она расходуется наувеличение энергии колебаний атомов, образующих кристаллическуюрешетку тела. Поскольку атомы твердого тела взаимодействуют друг сдругом, их колебания являются связанными между собой.
Однако придостаточно высокой температуре можно приближенно считать, чтокаждый атом колеблется независимо от соседних.145В общем случае колебания атомов около положений равновесия вузлах кристаллической решетки могут происходить в разныхнаправлениях. Но любое колебание всегда можно разложить на трисоставляющих колебания в трех взаимно перпендикулярныхнаправлениях. Поэтому каждый атом обладает тремя колебательнымистепенями свободы.В соответствии с законом равномерного распределения энергии постепеням свободы на каждую колебательную степень свободы атомаприходится энергия, равная kT.
Таким образом, на каждый атом вкристаллической решетке приходится в среднем энергия3kT.Тогда внутренняя энергия 1 моляU = 3kTNA = 3RT.(4.32)Объем твердых тел при нагревании практически не меняется,dVследовательно,0 , поэтому молярная теплоемкость твердого телаdTзапишетсяdU(4.33)Cмол Смол3R.VdTФормула (4.33) составляет содержание закона Дюлонга и Пти,открытого экспериментально в ХIХ веке.4.3 Второе начало термодинамики.
Тепловые двигателиЭнтропияПервое начало термодинамики не говорит о направленностипроцессов в системе. Но в изолированной системе процессы не могутидти как угодно. Большинство процессов в природе необратимы.Обратимым называется процесс, который может быть реализован вобратном направлении так, что система будет проходить через ту жепоследовательность состояний, что и в прямом. При этом во внешнейсреде не останется никаких изменений.
Все остальные процессыявляются необратимыми.В реальности все процессы необратимы (лишь в некоторых случаяхмы условно считаем их обратимыми). Так, процесс теплообмена междудвумя телами с различной температурой приводит к выравниванию ихтемператур. Этот процесс идет самопроизвольно. Обратный жепроцесс: нагревание более горячего тела за счет более холодногосамопроизвольно происходить не может.146Аналогичносамопроизвольноидутпроцессыпереходамеханической энергии в тепловую, например, за счет силсопротивления или трения.
Обратный же процесс преобразованиятепла в работу без дополнительных затрат энергии идти не будет.Тепловая энергия - это энергия хаотического движения молекул.Механическая энергия - это энергия направленного движения.Самопроизвольно в природе идут процессы, приводящие к увеличениювероятности состояния системы. Эта вероятность определяется числоммикроскопических способов осуществления данного макросостоянияw. Ясно, что чем выше степень беспорядка в координатах и скоростяхчастиц системы, тем больше w.Физическая величина, равнаяS = k lnw,(4.34)называется энтропией (k = 1,38 10–23 Дж/К - постоянная Больцмана).Изолированная система, первоначально находившаяся в состоянии,характеризуемом малой вероятностью, будет стремиться к состоянию,характеризуемому большей вероятностью.
Следовательно, энтропияизолированной системы не может убывать.S 0,(4.35)где знак равенства ставится, если в системе протекают толькообратимые процессы. Выражение (4.35) является одной изформулировок второго начала термодинамики.Энтропия системы, как и внутренняя энергия, является функциейсостояния, и ее можно выразить через термодинамическиехарактеристики. Так, если в системе протекают только обратимыепроцессы, тоQdS.(4.36)Tгде dS - полный дифференциал.В случае необратимых процессов выражение (4.36) превращается внеравенствоdSQ.T(4.37)Тепловые двигателиТепловым двигателем называется устройство, в которомхаотическая тепловая энергия молекул превращается в упорядоченноемеханическое движение.147ЛюбойциклическийтепловойНагревательдвигатель (рис.4.3) состоит из трехТ1частей: нагревателя (с температуройТ1), рабочего тела и холодильника (сQ1температурой Т2). Рабочее тело (газ,АцРабочеепар) при расширении совершаеттелоработу, получая от нагревателя стемпературой Т1 количество теплотыQ2Q1.ПрирасширениисовершаетсяХолодильникработа против внешних сил иТ2приводится в движение какой-либомеханизм.
После расширения рабочееРис. 4.3тело должно вернуться в исходноесостояние, поэтому газ должен быть снова сжат. Чтобы работа сжатиябыла по величине меньше работы расширения (т.е. работа за цикл былаАц > 0) необходимо, чтобы процесс сжатия происходил при меньшейтемпературе. Для этого нужен холодильник с температурой Т2,которому отдается количество теплоты Q2. В обычных тепловыхдвигателях холодильником является атмосфера.Коэффициент полезного действия (к.п.д.) теплового двигателя равенАц.(4.38)Q1Поскольку в конце цикла газ возвращается в начальное состояние,то изменение внутренней энергии за цикл равно нулю и первое началотермодинамики для цикла запишетсяQ1 – Q2 = Aц,(4.39)Тогда формулу (4.38) для к.п.д.
можно представить в видеQ2(4.40)1.Q1Выражение (4.40) соответствует еще однойРРQ1формулировке второго начала термодинамики:1к.п.д. теплового двигателя всегда меньшеединицы. Это означает, что невозможны2циклическиепроцессы,единственнымрезультатом которых является совершение4работы за счет охлаждения одного тела.3Q2Рассмотрим цикл, состоящий из четырехобратимых процессов: двух изотерм и двухР иРис.с . 4.44.4адиабат (рис.4.4), который получил названиеV148цикла Карно.Можно показать, что для цикла КарноQ1 Q 2T1 T2Тогда согласно формуле (4.40) к.п.д. цикла Карно можнопредставить в видеТ2(4.41).к 1Т1Полученный результат показывает, что к.п.д.
цикла Карно независит от рода рабочего тела, а только от температур нагревателя ихолодильника. Можно также доказать, что к.п.д. любого тепловогодвигателя не может быть больше к.п.д. цикла Карно, работающего в томже диапазоне температур нагревателя и холодильника. Этот выводпозволяет использовать формулу (4.41) для оценки эффективностиработы тепловых двигателей.ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 33Определение универсальной газовойпостояннойЦель работы: изучение процессов в идеальных газах и определениеуниверсальной газовой постоянной R.Методика измеренийРассмотрим в определенном объеме V при одной и той жетемпературе два состояния идеального газа при двух различныхзначениях массы m1 и m2. Применяя к каждому из состояний уравнениесостояния (4.3), получаем следующее выражение для расчетауниверсальной газовой постоянной(P1 P2 ) VR,(4.42)(m1 m 2 ) Tгде Р1 и Р2 - давления газа в состояниях 1 и 2 соответственно.Следовательно, для нахождения универсальной газовой постояннойнадо измерить давление Р1 и температуру Т некоторой массы m1 газа,заключенной в сосуд известного объема V.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
