rpd000010379 (1012718), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

,

где М – вспомогательный угол, отсчитываемый от перигея, который называется средней аномалией КА. Это угол, на который повернется радиус-вектор если бы КА двигался по круговой орбите с тем же периодом обращения что и по эллиптической. Средняя аномалия вычисляется по формуле

,

где

– время прохождения перигея орбиты (с),

t – текущий момент времени (с).

Неизвестной величиной является угол Е – эксцентрическая аномалия.

Уравнение Кеплера решают методом последовательных приближений по схеме

, k=0,1,…

при начальном приближении Е⁰ =М.

Решение уравнения заканчивают при выполнении условия

,

где _E – точность решения.

Истинная аномалия однозначно связана с эксцентрической аномалией уравнением

..

Часто для расчетов положения КА относительно Земли удобно использовать вспомогательную угловую величину – аргумент широты КА. Это угол u, который отсчитывается в плоскости орбиты от восходящего узла до КА в направлении его движения по орбите. По этому углу определяют географическую широту точки земной поверхности, над которой находится КА, и поэтому он так и назван:

.

Для расчета положения КА на орбите в любой момент времени в полярной системе координат (r,) обычно задают начальные условия – определяющие параметры, отнесенные к моменту прохождения восходящего узла.

Для расчета положения КА на орбите в любой момент времени необходимо найти момент прохождения перигея . С использованием вышеприведенных формул найдем что

,

,

,

.

Здесь принято обозначение , где Э – любой элемент формулы с нижним индексом “0”.

1. Начальные условия

В качестве исходных данных, определяющих форму орбиты, положение ее плоскости в пространстве и положение КА в заданный момент времени будем задавать следующие начальные условия:

R_p – минимальное расстояние от центра Земли до КА в перицентре (км),

e – эксцентриситет орбиты (0e<1)

u – аргумент широты (угол от восходящего узла до радиус-вектора КА) (град),

 – аргумент перицентра – угол от восходящего узла до перигея (град),

 – долгота восходящего узла (град),

i – наклонение плоскости орбиты к плоскости экватора Земли (град).

Начальные условия всегда привязаны к моменту времени t₀, на который они получены решением навигационной задачи обработки траекторных измерений. Этот момент может быть задан произвольно. Важно то что все дальнейшие вычисления, связанные с моделированием движения КА по времени проводятся от момента t₀.

Начальный момент времени задается датой и временем суток в дате (переменная типа TDateTime).

1. Параметры орбиты

По исходным данным можно рассчитать значения следующих параметров орбиты:

Истинная аномалия ,

Радиус перицентра , где R_E – средний радиус Земли,

Фокальный параметр ,

Расстояние от начала координат до КА ,

Большая полуось орбиты (эллипса) ;

Малая полуось орбиты (эллипса)

Период обращения ;

Средняя угловая скорость радиус-вектора (среднее движение)

Угловая скорость радиус-вектора

Орбитальная скорость .

Скорость в апоцентре .

Скорость в перицентре .

Скорость вдоль нормали к радиус-вектору (трансверсальная).

Скорость вдоль радиус-вектора (радиальная).

Эксцентрическая аномалия ;

Средняя аномалия

Момент времени прохождения перигея

Угол между радиус-вектором и вектором орбитальной скорости

.

Драконический период обращения – время движения КА на интервале аргумента широты от 0 до 2 (от одного восходящего узла до другого) по незамкнутой возмущенной орбите

,

где T_оск – оскулирующий период обращения (см. ниже).

Аномалистический период обращения – время движения на интервале [0..2] аргумента  по незамкнутой возмущенной орбите

.

Среднее возмущенное движение ..

Оскулирующий период обращения .

1. Положение и скорость КА в АГЭСК

Абсолютная геоцентрическая экваториальная система координат – неподвижная система, используемая для фиксации координат КА в инерциальном пространстве.

Координаты КА в АГЭСК (вектор X) вычисляют по формулам:

где u – аргумент широты,

 – долгота восходящего узла орбиты,

i – наклонение плоскости орбиты к земному экватору ,

r – радиус-вектор КА (расстояние от центра Земли до КА)

Вектор скорости КА в этой системе координат вычисляют по формулам

,

где

–скорость КА вдоль радиуса орбиты

– угловая скорость радиус-вектора.

 – истинная аномалия;

е – эксцентриситет орбиты.

1. Расчет параметров орбиты по координатам в АГЭСК

Сначала вычисляют компоненты вектора площадей и вектора Лапласа :

,

,

,

,

,

.

Затем вычисляем:

– фокальный параметр ,

– эксцентриситет орбиты ,

– радиус перицентра ,

– наклонение плоскости орбиты к экватору .

Чтобы вычислить значения углов ,  и i нормируем векторы С и F:

; .

На круговой орбите (т.е. когда ) аргумент перицентра не определен. В этом случае его можно принять равным аргументу широты.

Аргумент широты – угол, отсчитываемый от восходящего узла. Он теряет смысл при нулевом наклонении орбиты, ибо ее плоскость лежит в плоскости экватора планеты.

Если это так, вместо аргумента широты можно вычислить угол между главной осью абсолютной экваториальной системы координат и радиус-вектором КА (т.н. угол прямого восхождения), и принять долготу восходящего узла равной этому углу.

Таким образом, в особых случаях используется следующая логика.

Сначала анализируем значение наклонения.

Если наклонение отлично от нуля (i0), то вычисляем долготу восходящего узла по формулам

,

где .

Аргумент широты есть угол между радиус-вектором КА и единичным вектором направления на восходящий узел орбиты:

,

где .

Если наклонение равно нулю, то аргумент широты определяем как угол между ортом оси OX абсолютной системы координат и радиус-вектором КА:

где и принимаем  = u.

Для вычисления аргумента перицентра эллиптической орбиты (при 0<e<1) используем соотношения между эйлеровыми углами и первыми интегралами невозмущенного движения, из которых находим синус и косинус аргумента перицентра.

В случае полярной орбиты (cёos i=0) имеем

,

При cos i0 находим

, .

Зная синус и косинус аргумента перицентра, находим результат на интервале [0, 2]:

.

Если эксцентриситет орбиты равен нулю, то аргументу перицентра присвиваем значение аргумента широты.

Приведенные соотношения и логика обработки особых ситуаций гарантируют вычисление элементов орбиты КА по декартовым координатам в абсолютной планетоцентрической системе координат при любых исходных данных. удовлетворяющих эллиптичекому движению е<1.

1. Звездное время

Среднее звездное время это часовой угол между направлением на точку весеннего равноденствия и гринвичским меридианом на эпоху t. Его рассчитывают от опорной даты (эпохи) по следующей формуле

где

d - интервал времени от эпохи T₀ до эпохи t в средних солнечных сутках, вычисляемый по формуле d = JD(t) - 2451545,0;

JD(t) – юлианская дата эпохи t.

М - всемирное время UT1 рассматриваемой даты, выраженное в долях суток;

τ - интервал времени от эпохи Т₀ до эпохи t в юлианских столетиях по 36525 средних солнечных суток, вычисляемый по формуле

Для вычисления юлианской даты эпохи t используйте функцию

function DateTimeToJulianDate( Value : TDateTime ) : double из модуля DateUtils.

1. Положение КА в ГСК

Гринвичская система координат вращается вместе с Землей, т.е. является подвижной. Ее используют для фиксации координат КА относительно вращающейся Земли.

Вектор состояния КА в ГСК определим с компонентами {X_g, Y_g, Z_g, R, ,  }, где X_g, Y_g, Z_g – декартовы координаты, R, ,  – сферические.

Для вычисления декартовых координат используем преобразование

,

где S – звездное время, т.е. угол, характеризующий положение ГСК относительно АГЭСК в заданный момент времени.

Сферические координаты вычисляют по формулам

,

(широта),

(долгота)

где , причем правильную четверть долготы надо определить по ее синусу .

В случае полярной орбиты (когда ) долгота принимается равной звездному времени S.

1. Возмущенное движение КА порядка J₂₀

Основными факторами, возмущающими движение КА на низких орбитах, являются нецентральность поля тяготения Земли и аэродинамическое торможение.

Наибольшее влияние на движение КА оказывает полярное сжатие Земли, которое учитывается коэффициентом J₂₀ – второй зональной гармоникой разложения геопотенциала по сферическим функциям. Она вызывает вековые изменения параметров M, ,  и периодические изменения всех параметров на одном витке.

Модель вековых изменений элементов орбиты в функции интервала времени (t-t₀ ) без учета торможения в атмосфере имеет вид

где ;

Характеристики

Список файлов учебной работы