rpd000003197 (1012246), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

n_ij- количество экспериментов, в процессе которых регистрировалось одновременное появление комбинации признаков x_i, y_j; n_i.,i=1,...,r- число исследований, в процессе которых регистрировалось появление признака x_i в комбинации с любым (неважно каким признаком) y_j, j=1,...,s; n._j,j=1,...,s- число экспериментов, в процессе которых регистрировалось появление признака y_j в комбинации с любым (неважно каким признаком) x_i, i=1,...,r; n- общее число исследований.

Поскольку, для независимых признаков P(x_iy_j) = P(x_i)P(y_j), тогда, переходя от вероятностей к их частотам, при справедливости гипотезы о независимости признаков X,Y для любых номеров i=1,...,r; j=1,...,s должно выполняться условие: n_ij  (n_i. n._j)/n

Для проверки выполнения указанного условия используется статистика Фишера-Пирсона следующего вида:

Теорема Фишера-Пирсона утверждает [32], что в случае независимости признаков X,Y статистика X² имеет распределение ² с числом степеней свободы (r-1)(s-1). Следовательно, предположение о независимости признаков должно быть отвергнуто, если X²  ²_,,где ²_ - квантиль распределения ², соответствующая доверительной вероятности : P(² _< ²_) =. Ранее неоднократно указывалось, что достаточная достоверность выводов достигается при использовании уровней доверительной вероятности =0.95, =0.99, =0.999.

В этом случае вероятность получить значение статистики, превышающее ²_, очень мала P(Х²  ²_) =1-, что является достаточным основанием, чтобы утверждать наличие статистически значимой связи качественных признаков, характеризующих экспериментальный объект.

7.2. Оценка статистической связи признаков, выраженных в порядковых шкалах. Коэффициенты ранговой корреляции.

Предположим по-прежнему, что состояние исследуемого объекта характеризуется парой признаков Х,Y. Пусть в результате проведенного исследования измерения признаков Х,Y проведены в порядковой шкале, отражающей c помощью тестовых баллов степень выраженности каждого из них. В результате сформированы выборки реализаций х₁,...,х_n и y₁,..., y_n.

Порядок анализа статистической взаимосвязи признаков в этом случае проводится следующим образом [32]:

1) выполняется ранжирование реализаций х₁,...,х_n. Предположим, что результатом проведенного ранжирования является последовательность чисел r₁,...,r_n.;

2) проводится ранжирование реализаций y₁,...,y_n. Допустим, что результатом проведенного ранжирования является последовательность чисел s₁,...,s_n .

Очевидно, если признаки Х,Y взаимосвязаны, то изменение значений признака Х в какой то степени сопровождается соответствующим изменением признака Y и наоборот. Следовательно, порядок в котором следуют числа х₁,...,х_n в определенной степени влияет на порядок в котором следуют числа y₁,...,y_n. Это, в свою очередь, означает, что последовательность рангов r₁,...,r_n в какой-то мере влияет на последовательность рангов s₁,...,s_n. Напротив, если признаки Х,Y независимы, то изменение значений признака Х ни в какой мере не влияет на изменение признака Y, то есть при любом наборе рангов r₁,...,r_n возможны любые перестановки рангов s₁,...,s_n.

Проблема, следовательно, состоит в выборе меры сходства двух наборов рангов. В качестве такой количественной меры используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена. В качестве меры близости ранговых последовательностей r₁,...,r_n и s₁,...,s_n используется скалярная величина:

.

Очевидно, что S_min = 0 тогда и только тогда, когда r_i= s_i для всех i=1,...,n. Напротив, S_max =(n³-n)/3 , если s_i= n - r_i + 1 для всех i=1,...,n. Чтобы ослабить влияние объема выборки n на оценку степени сходства ранговых последовательностей используют коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

=1 только в случаях полной предсказуемости ранговых последовательностей, что соответствует случаям S=S_min, S=S_max.

Оказывается, что при справедливости гипотезы о независимости признаков, распределение коэффициента  подчиняется определенным статистическим закономерностям, выраженным законом распределения значений . Для малых объемах выборки n составлены точные таблицы распределения значений коэффициента Спирмена. При больших объемах выборки n (n  30) для проверки предположения о независимости признаков используется случайная величина

,

имеющая стандартное t- распределение (распределение Стьюдента) с числом степеней свободы n-2. Следовательно, предположение о независимости признаков в этом случае должно быть отвергнуто, если оказывается малой вероятность p=P{tT}. Как уже неоднократно указывалось достаточным основанием, чтобы отвергнуть основное предположение является выполнение условия p p*, где p* – стандартный уровень значимости (p*=0.001, p*=0.01 или p*=0.05).

7.3. Оценка статистической связи признаков, выраженных в количественных шкалах.

Предположим, что в каждом эксперименте состояние исследуемого объекта характеризуется парой признаков Х,Y, каждый из которых представляет собой непрерывную случайную величину, то является количественным признаком. В результате серии экспериментов сформированы выборки реализаций х₁,...,х_n и y₁,..., y_n.

В этом случае в качестве количественной меры статистической связи случайных величин Х,Y выступает их корреляционный момент K_xy или коэффициент корреляции r_xy, выборочные оценки которых можно получить по реализациям х_i,y_i,i=1,..,n.Выборочная оценка корреляционного момента

где x*, y*-выборочные средние случайных величин Х,Y:

,

.

Однако использование корреляционного момента K_xy в качестве меры связи признаков Х,Y не совсем удобно, так как при переходе к другим единицам измерений корреляционный момент тоже изменяется. Поэтому в качестве меры связи признаков используется не корреляционный момент, а коэффициент корреляции, выборочная оценка которого:

,

где - выборочные оценки среднеквадратических отклонений случайных величин Х,Y.

В общем случае, когда случайные величины Х,Y связаны произвольной вероятностной зависимостью, коэффициент корреляции может принимать любое значение в интервале -1  r_xy  1, причем он равен предельным значениям r_xy =  1 только в том случае, если случайные величины связаны линейной зависимостью

В случае независимости случайных величин Х,Y коэффициент корреляции равен нулю: r_XY = 0. Обратное утверждение верно не всегда [32]. То есть, из условия равенства нулю коэффициента корреляции r_XY = 0 в общем случае не следует независимость случайных величин. Однако, если совместное распределение пары случайных величин Х,Y оказывается нормальным, то равенство r_XY = 0 означает их статистическую независимость. Поэтому проверка предположения независимости признаков Х,Y в этом случае сводится к проверке гипотезы H0: r_XY= 0. Проблема непосредственной проверки сформулированной гипотезы в условиях реальных экспериментальных исследований, объем которых всегда ограничен, заключается в том, что истинное значение коэффициента корреляции нам неизвестно, для анализа доступен лишь его выборочный аналог .

Известно, что в случае справедливости гипотезы H0: r_XY= 0, распределение выборочного коэффициента корреляции симметрично и сконцентрировано около нуля, поэтому гипотезу о независимости признаков следует отвергнуть, если значение выборочного коэффициента корреляции слишком сильно отличается от нуля. Для поверки статистической значимости отклонений от 0 выборочного коэффициента корреляции используется статистика следующего вида:

,

которая подчиняется распределению Стьюдента с числом степеней свободы n-2.

Учитывая, что Т – случайная величина «достаточно большим» является такое значение статистики, для которого выполняется неравенство /Т*/ Т_/2, где /Т*/ – абсолютное значение статистики, рассчитанное на основе выборочных значений; Т_/2 – значение квантили стандартного t-распределения с n-2 степенями свободы, соответствующее доверительной вероятности /2. Как неоднократно указывалось ранее достаточная достоверность результатов проверки гипотезы достигается на уровне =0.95, =0.99 или =0.999.

В том случае, если доказан факт наличия связи между случайными показателями Х,Y, возникает задача построения функциональной зависимости, описывающей эту связь. Для решения этой задачи используется аппарат регрессионного анализа.

Регрессионный анализ [36] объединяет широкий круг задач, связанных с построением функциональных зависимостей между переменными X и Y. Статистический подход к задаче построения функциональной зависимости Y=f(X) основан на предположении, что результате проведенных исследований сформированы пары значений (x_i, y_i) i=1,...,n. В основе регрессионной модели лежит предположение о том, что значение переменной Y может быть представлено в виде суммы двух составляющих, первая из которых закономерно зависит от X, то есть является функцией X, а вторая - случайна по отношению к X. То есть Y=f(X)+, где  - некоторая случайная величина. Иногда  называют ошибкой эксперимента, связывая её присутствие с несовершенством метода измерения значения Y.

Характеристики

Список файлов учебной работы