02Hastq_2_2010 (1006402), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

4.2 . Интерполяция Ньютона

В

Исаак Ньютон

ыше была рассмотрена процедура интерполяции для рекуррентных точечных отсчетов сигналов ЭВМ. Часто реальные данные заданы таблично. Расстояния ординат отсчетов могут быть не кратными. Поэтому общие процедуры интерполяции более сложны. Ими занимался еще И. Ньютон (1643-1727 см Рис 4.1), Сын бедного крестьянина, величайший ум человечества. Он дал метод нахождения коэффициентов степенного интерполирующего полинома. Задачей увлекались многие математики, в том числе Ж. Л. Лагранж (1736-1813, см. рис 4.2, величайший математик 18 века. Сын военного. Против воли отца увлекся математикой). Лагранж показал, что для произвольно заданного набора ХiYi, когда решение ищется в виде полиномов, всегда существует только один полином G_n(x), обеспечивающий выполнение поставленной задачи:

G_n(x) = sum(y_iF_i(x), суммирование от i=0 до i=n

П о методу Лагранжа его коэффициенты Fi имеют вид:

.

уi - заданные значения графика в точках Хi. Результат совпадает с полиномом по методу Ньютона. Соединяются сразу все точки графиком.

Процедура интерполяции для больших массивов достаточна сложна, поэтому используют

Ж анн Лагранж разделение всего массива на части и по ним проводят интерполяцию. Возможные разрывы функции и ее п
роизводных сшивают по границам.

Интерполяция входит в стандартный набор вычислительных программ, например, МатЛаб. Сегодня обычно используют вариант Сплайн интерполяции. Она так же включена в пакет программ, наряду с простейшими видами интерполяции: соединение заданных точек ступенчатыми импульсами и наклонными прямыми. (см рис 4.3)

При Сплайн интерполяция опускаются неравномерные значения интервалов по оси Х. Интервал Х так же делится на участки и проводится полиномиальная интерполяция на каждом участке. На границах участков производится сшивание значений производных. На интерполирующий полином накладываются дополнительные ограничения: , где f¹¹-вторая производная интерполирующего полинома. Это ограничение минимизирует мощность колебаний интерполирующего полинома.

Степенью сплайна называется степень аппроксимирующего полинома. Напомним, что Интерполирующая Функция обязана проходить через все заданные точки XiYi.

Пример сплайн интерполяции показан на. рис 2.

Пример в пакете программ Мат Лаб. (Spline Tool) Программа interp1dem : Экспериментальные точки Хi разбиваются на зоны по три – пять (в зависимости от заданной степени ин терполирующего полинома. (В Spline Tool осуществляется программно). В каждой зоне проводится полиномиальная нтерполяция. На границах зон сшиваются первые и вторые производные. (осуществляется програмно). Сплайн функция выдается как результат по всем зонам. Программа:

% Задание табличной функции

=[0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8 1.2];

=[-3.5 -4.8 -2.1 0.2 0.9 2.3 3.7];

% Вывод графика табличной функции маркерами

plot(x, y, ‘ko’)

% Задание текущих точек интерполирования

Xi = [x(1):0.01 :x(length (x)) ];

ynear = interp1 (x,y,xi ‘nearest’); %Прямоугольная инт.

yline = interp1 (x,y,xi ‘linear’); %Соединение прямыми

yspline = interp1 (x,y,xi ‘spline’);%Сплайн

hold on

plot (xi, ynear, ‘k’, xi, yline, ‘k:’, xi, yspline, ‘k-.’)

titl (‘Различные способы интерполяции функций’)

xlabel (‘\itx’)

ylabel (‘\ity’)

legend (‘табличная функция’, ‘прямоугольники (nearest)’, …

’линейная (linear)’, ‘кубические сплайны (spline)’, 4)

interp1dem

Двумерная интерполяция используется при построении эквипотенциалей с использованием многоэлектродных поясов при ЭКГ обследовании. Каждый электрод имеет свой потенциал, они разные, а нужны линии равного потенциала на поверхности тела. Поэтому проводится двумерная интерполяция по координатам и потенциалам электродов. Получаем двумерное непрерывное распределение потенциалов. Используя следующую функцию МатЛаб (функция griddata) находим линии равного потенциала полученной двумерной функции. Это эквипотенциали.

В 20м веке активно развита теория интерполяции для равномерного расположения интервалов Xi. (Уиттакер 1895, Котельников 1934), Она рассмотрена в разделе АЦП.

При интерполяции важным вопросом является характер результирующей кривой, ее колебательность и спектральный состав. Процедуры с интерполирующим фильтром гарантирует ее спектральные характеристики, в то время как классическая интерполяция гарантирует только полиномиальное воплощение, а сплайны дополнительно обеспечивают минимум выбросов и минимум колебательности результирующей кривой (но не их отсутствие). (см рис 2)

4 .3. Аппроксимация Гаусса (Рис 4.4).

П

Гаусс Карл Фридрих (1777 - 1855) Дед бедный фермер. Отец – садовник, умер до рождения сына. Воспитывала бабушка. Гаусс – великий математик 19го века. Его называли "королем математики". В 25 лет прфессор Гетингентского университета. Работы по алгебре, геометрии, анализу, теории комплексных чисел, теории вероятности, астрономии, геодезии, механике. С 1821 года член корреспондент С-Петербургской А.Н. с 1825 – ее член. В 1823 предложил метод наименьших квадратов в астрономии и геодезии. В 1833 изобрел и построил электрический телеграф. Изучил русский язык, гогда ему было 62 года.

ервые работы по усредняющей Аппроксимации опубликовал И. Гаусс в 1823г . При интерполяции искомая функция обязана проходить заданные точки. Форма кривой жестко ограничена полиномами (или частотными характеристиками (откликами) интерполирующего фильтра). В усредняющей аппроксимации искомая кривая не обязана проходить через точки, но должна "наименее" уклоняться от них. Ее форма произвольна, она должна задаваться априорно. У Гаусса это был эллипс орбит планет. Используемая кривая должна иметь набор оптимизируемых параметров (масштаб, сдвиги, наклон и т.д.), обеспечивающих наименьшее уклонение.

Предположим, что мы имеем набор (i) экспериментально измеренных значений Ф(xi) в точках xi (i=1,2…к) и пытаемся подобрать удобную, заранее нами выбранную функцию f(,a,b,х) c параметрами "а,b".. Параметры могут быть значениями масштабных коэффициентов и др. (Можно работать не с набором экспериментальных отсчетов, а с полученным экспериментально графиком. Тогда минимизации подлежит не сумма квадратов, а интеграл квадрата разности. Сама процедура остается без изменений.)

Представим сумму квадратов ошибок измеренных значений в виде:

(или )

Будем изменять параметры "а,б" до достижения минимума остатка. Найденные значения "а, б" называются оценками. (Их обозначают а^, б^). Для нахождения оценок систему уравнений необходимо дифференцировать по "а" и "б", результаты приравнять нулю: Это точка Min.

,

Полученные уравнения называется "нормальными". Их решение дает значения оценок а^, б^. Качество Аппроксимации определяется суммарным квадратом остаточных ошибок (невязкой Q):

(или )

Еще раз обратим внимание, что в качестве искомой функции приближения мы подбираем заранее известную, эталонную с набором параметров. В движении планет это эллипс. В теории распознавания (и выделении сигнала в шумах) это эталонный образ. При обработке лабораторных данных обычно это полиномы. В любом случае функция подбирается на основе априорных знаний или эвристически. Острым остается вопрос правильности выбора эталонной функции. Разумным критерием оценки качества является анализ величины невязки.

Качество найденной функции может оказаться плохой, с большой невязкой Q. Тогда предполагают, что искомая функция должна быть не одной, а состоять из набора эталонов. Этот набор может быть частью базисного ряда. Базисные ряды имеют бесконечное число ортогональных членов. Впервые они были введены Фурье (1768 - 1830) в виде набора синусоид.

Пусть мы использовали k первых членов ряда и определили невязку Q_k. Для оценки качества аппроксимации увеличим число членов на единицу (используем K+1 членов) и найдем Q_k+1. Если Q_k и Q_k+1 отличаются незначительно, то число членов ряда выбрано правильно.

4.3.1. Выделение сигнала в шумах.

Например, массив данных на графике похож на протяженное облако и зрительно трудно выделить характер результата (см рис 4.5). Попробуем аппроксимацию в виде полинома а₀+bx+cx²+…. Если ограничимся первыми двумя членами, то мы получим среднее нашего «облака». Возникла четкая линия. Можно делать заключения. Еще лучше использовать полиномы второго порядка. Пробовать кривую Гаусса, синусоиду, и т.д. Критерием качества является интуиция, изменение невязки Q_k и опять интуиция. Если известен эталон сигнала и закон распределения маскирующих шумов используются методы теории математической статистики (см раздел …).

Усреднение в «целом», по всему интервалу Х приводит к потере мелких особенностей, скрытых в эксперименте. Для подробного анализа используют малый выделенный участок оси Х, на нем проводят аппроксимацию, участок передвигают по массиву входных данных и этим выделяют малые особенности. Обычно передвигают сдвиг на один шаг, точку, это «скользящая аппроксимация». (Малый выбранный участок выделяется умножением всего массива на выделяющий импульс. Он может иметь вид прямоугольника, ехр(-х²), SinX/X, и др.). Пусть длительность выделяющего импульса много меньше всего интервала Х, но много больше длительности одного шага входных данных. Отношение длительности выделения к длительности шага определяет степень усреднения.

При скользящей аппроксимации небольших массивов следует учитывать, что первый и последний (начальный и конечный) участки результирующего графика (длительностью в ширину выделяющего импульса) практически не обеспечивает усреднения. На первом шаге отклик отображает только одну первую точку без усреднения, на втором – усреденное значение для первого и второго шага и т.д. Выделяющий импульс как бы входит в экспериментальный массив и полное усреднение достигается для точек, лежащих правее на длительность импульса. В конце выходной график имеет участок «выхода» фильтра (он расположен за границей массива).

Обычно результирующий график дополняется отображением меток доверительного интервала полученных значений. Например, с вероятностью 0,95. Метки доверительных значений наносятся на выходной график в точках через интервал усреднения. Доверительный интервал для участков «входа и выхода» имеет увеличенное значение, т.к. усреднение ослаблено.

Пример

Рассмотрим пример полиномиальной аппроксимации на интервале. Ее будем проводить полиномом вида а+бх+сх²+.... В таблице 3 приведены формулы определения оценок для полиномов нулевого, первого и второго порядков.

Таблица 3

Выходные кривые этой аппроксимации являются графиками оценок (усредненный график а^, график первой и второй производной). Формулы упрощаются, если помнить, что коэффициенты типа и являются константами, их значения для N =10 приведено в таблице 4.

Характеристики

Список файлов лекций