02Hastq_2_2010 (1006402), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Как мы видим, дисперсия оценки τ пропорциональна уровню шума N₀ и пропорциональна ширине пика сигнальной функции g(τ), точнее обратно пропорционально квадрату ее второй производной в точке τ₀. Сопутствующие преобразования показаны на рис 8.4. Теперь остается найти вероятность аномальных ошибок (ошибок неоднозначности).

8.2.3. Аномальные ошибки.

Отношение сигнал / шум имеет отдельное обозначение: R=2Е/N₀. Если значение R недостаточно велико, например меньше 6, то возникают ложные пики р_у(τ). На рис 8.5 представлено изменение р_у(τ) для разных значений R. Вероятность появления аномальных ошибок определяется значением отношения сигнал/шум R и числом интервалов размещения сигнальной функции g(τ) на априорном диапазоне существования τ (а также выбранным порогом обнаружения). Если интервал существования τ содержит М позиций и они равновероятны, то на каждой позиции установленный порог может быть пересечен шумовым пиком R с конкретной вероятностью Р_лт. Нам необходимо определить вероятность ложного пересечения хотя бы на одном из М наблюдаемых интервалов. Вероятность не пересечения на М интервалах равна (1-Р_лт)^М. Вероятность пересечения хотя бы на одном их М интервалов равна: 1-(1-Р_лт)^М или примерно МР_лт.. Таким образом уровень ложных тревог растет линейно с увеличением числа возможных позиций сигнала.

8.2.4. Проблема априорной недостаточности. Метод функции правдоподобия.

Использование апостериорной вероятности по методу Байеса очень привлекательно законченностью суждений. Знание вероятностей позволяет осмысленно оценивать риски, потери. Однако есть два принципиальных затруднения при использовании метода Байеса. Во первых оцениваемый параметр (задержку τ) лишь условно можно считать случайной величиной. Во вторых значение априорной вероятности неизвестно. Поэтому использованное понятие "обратная вероятность" p(τ/y) или p_y(τ) не является плотностью вероятностей. В начале 20 го века Р. Фишер дал ей особое название: "Функция правдоподобия L_y(τ)". Соответственно метод оценки неиз­вестных параметров получил название "Метод максимума функции правдоподобия - МФП". Точечная оценка МФП находится в точке максимума L_y(τ). Получаемая оценка эффективна (т.е. имеет минимально возможную дисперсию) и не имеет смещения. Метод МФП математически безупречен.

В медицинской практике, имеющей много тысячелетнюю историю, априорные распределения можно считать известными. Если область существования параметра известна и исключает интервалы нулевой апостериорной вероятности, а начальное знание параметра достаточно неопределенно, то р_А размыто и слабо влияет на значение и точность апостериорных оценок. В этом случае можно предполагать распределение р_А равномерным, даже если истинная функция р_А неизвестна.

Метод максимума функции правдоподобия обобщает очень интересное свойство: если мы имеем ряд функций плотностей вероятностей и соответствующий ряд выборок из генеральных совокупностей, принадлежащих этим распределениям, то при подстановке выборок в закон распределения этих выборок максимум достигается для выборки принадлежащей "своему" распределению плотности вероятностей. Это утверждение легко проверяется для Гауссова и равномерного законов распределений, если считать изменяемым параметром распределений его среднее.

Приведенные рассуждения излагались по замечательной книжке Вудворд Ф.М. Теория вероятности и теория информации с приложениями в радиолокации. Сов. Радио 1955 В отличие от толстых "мухобойных" трудов она содержт всего 100 страниц и отлично написана.

8.2.5. Фильтрация Калмана - Бьюиси

Для оценки параметров траектории спутников требовалась высокая точность и приходилось обсчитывать большие реализации сигнала - размерностью в тысячи отсчетов и более. Этого требует метод МФП, причем полный обсчет всего массива должен проводиться за время до нового поступления отсчета данных. С такой загрузкой ЭВМ не справлялись. Бьюиси и Калман (1960) предложили процедуру, которая существенно упрощала требования к ЭВМ при малых потерях потенциальной точности. Сегодня похожая ситуация возникает при обсчете суточных записей ЭКГ при холтеровском мониторировании.

Для уяснения метода Калмана - Бьюиси требуется знание: 1) описанной выше процедуры оптимального точечного оценивания,

2) понятия экстраполяции (предсказания) значений функции на шаг и

3) процедуры обьединения неравноточных измерений с целью уменьшения дисперсии ошибок.

Нахождение точечных оценок подробно описано выше. Экстраполяция может обеспечиваться методом построения наименее уклоняющегося полинома и продолжением этого полинома на шаг к следующему отсчету. Остановимся на последней процедуре обьединения оценок.

П усть мы имеем две группы отсчетов для измерения одного и того же параметра τ . Они дали оценки и с дисперсиями ошибок σ²₁ и σ²₂. Обьединение этих оценок позволяет улучшить общую точность. Новое значение дисперсии будет: σ²_Σ= , а совместная оценка определяется формулой:

Нетрудно проверить, что

1) при σ²₁= σ²₂ и σ²_Σ=1/2σ²_1,2 ,

при σ²₁>> σ²₂ . Эти результаты интуитивно понятны.

Предположим, что для получения необходимой точности требуется использовать N отсчетов вектора сигнала . (см рис 8.5)По методу МФП получаем оценку . Для каждого нового поступления отсчетов необходимо заново находить оценку на всех N отсчетах. Возьмем малую группу n (n<<N) значений вектора сигнала. Тогда для этой группы получаемая оценка будет очень грубой (оценка ₁). Но таких оценок мы можем иметь много на полном массиве N. Совместная их обработка позволяет улучшать точность суммарной оценки до желаемого уровня.

В этом случае за каждый шаг в реальном времени на ЭВМ обрабатывается всего n << N отсчетов сигнала ( рис 8.5). Дополнительно требуется проводить описанные выше простейшие операции обьединения оценок. Калман и Бьюиси показали, что при использовании подобной процедуры потери точности по отношению к строгому алгоритму МФП не велики, а загрузка ЭВМ снижается примерно в N/n раз.

Фактически мы переводим усредняющую процедуру из пространства сигналов в пространство оценок. В пространстве сигналов наши усеченные оценки еще недостаточно точны, но уже достаточно отсеяны от возможных ошибок неоднозначности. Усреднение в пространстве оценок эквивалентно пропусканию оценок через фильтр, параметры которого обеспечивают требуемое уточнение

При использовании рекурсивных алгоритмов этот фильтр может быть простым в исполнении. Таким образом фильтр Калмана-Бьюиси - это структурный фильтр, совмещающий процедуру нахождения грубых (первичных) оценок в пространстве сигналов с последующим повышением точности усреднением в пространстве оценок.

Важнейшим моментом указанных процедур является сходимость алгоритма. Дело в том, что в начальный момент в пространстве оценок мы не знаем значений определяемых параметров и для работы фильтров "второго эшелона" задаем их произвольно или очень грубо. Для малых n велика вероятность аномальных ошибок. Поэтому в целом фильтр Калмана-Бьюиси может иметь сбои, аномальное поведение. Проверка сходимости алгоритма должна гарантировать устойчивую работу в конкретных условиях.

При использовании простейшего рекурсивного фильтра в структуре Калмана уравнение фильтрации может быть записано словами: "сумма уточненной на предыдущем шаге оценки с весом (N-1)/N с текущей грубой оценкой очередного шага с весом 1/N равна новой уточненной оценке". В медицинских приборах фильтр Калмана-Бьюиси используется при обработке больших массивов RR интервалов ритма сердца и при обработке суточных записей других параметров для обнаружении трендов. При обработке RR интервалов фильтр описывается уравнением:

Оно дает значение оценки RR в текущей точке n+1. Установившаяся дисперсия оценки R_n+1 меньше дисперсии R_n примерно в N раз, однако время сходимости алгоритма больше, чем N тактов. Дополнив алгоритм процедурой сравнения R^_n+1 и R_n легко реализуется процедура обнаружения нарушений ритма.

9. Проверка гипотез

Стандартной процедурой диагностики является проверка гипотез о наличии той или иной болезни. Врачи для этой процедуры используют свой опыт, набор признаков и интуицию. Программисты обязаны формализовать перечисленные процедуры. Врачебные процедуры обследования в совокупности используют многомерное пространство исходных признаков. В этом пространстве производится проверка многоальтернативных гипотез/решений (классификация по возможным заболеваниям). Начало диагностической процедуры содержит "анамнез", опрос признаков заболеваний пациента. Затем обследование. Некоторое приближение дает приводимая ниже таблица:

В клетках занесена вероятность присутствия признаков обследования для ожидаемых заболеваний, в последней строке вероятность заболевания, найденная как 1-П₁ⁱ(1-Р_к), где П₁ⁱ - произведение по I обследованиям, Р_к - вероятность значимости наблюдаемого признака для к-го обследования ((1-Р_к)- специфичность признака). В результате мы можем определить вероятность каждого заболевания по результатам ряда обследования. Если она превысит установленный нами порог уверенности, то диагностическое заключение поставлено. В противном случае необходимо назначать новые обследования. Конечно во врачебной практике не составляются подобные таблицы. Однако мы начали жить в эпоху ЭВМ и содание подобных программ наверняка грядет.

9.1. Статистические методы распознавания образов

Использование статистических методов позволяет сформировать суждения о достоверности распознавания. На практике в отличие от простейшей процедуры обнаружения одного сигнала (или проверки двух конкурирующих гипотез) происходит распознавание многих образов. На рис 9.1 показано возможное "поле" пиков апостериорных вероятностей для группы обнаруживаемых образов. При использовании статистической теории принятия решений пространство (поле) сигналов должно быть расчерчено соприкасающимися границами порогов принятия решений. Можно проводить границы вокруг каждого пика апостериорной вероятности, создавая "острова" принятия решений, окруженные "морем неуверенности". Таким образом мы указываем для каждого акта распознавания его надежность, вероятность правильного решения.

Характеристики

Список файлов лекций