Теория механизмов и машин. Курсовое проектирование под ред. Г.А.Тимофеева, Н.В.Умнова 2012г (1004943), страница 10
Текст из файла (страница 10)
группу звеньев, связанных кннематическими парами. Как следует из гл. 2, кинематические характеристики любого звена однозначно определяются законом движения только одного начального звена. Следовательно, можно не решать системы уравнений для всех звеньев, а проводить анализ динамики всего механизма, изучая движение одного начального звена. Такой подход, принятый в теории механизмов и машин, связан с построением динамической модели, для которой уравнения движения механизма записывают в форме энергий и в форме моментов. Построению динамической модели и определению закона движения механизма под действием внешних сил и посвящена настоящая глава. 3.1.1.
Общие уравнения движения машины Уравнение движения механической системы с одной степенью свободы можно записать в форме уравнения Лагранжа второго рода: где Т вЂ” кинетическая энергия всей системы, т. е. суммарная кинетическая энергия всех звеньев; Д— обобщенная сила; д — обобщенная скорость; д— обобщенная координата. Обобщенная сила определяется как сила, совершающая на возможном перемещении системы (при любом допустимом изменении координаты д) работу, равную работе всех действующих в системе сил. Обобщенная сила имеет размерность силы, если д — линейная величина, и размерность момента, если д — угол. Обычно в качестве обобщенной координаты принимают угол ср„поворота начального звена динамической модели (кривошипа) исследуемого рычажного механизма, а значит, и главного вала машины (<р„= = <р„).
Обобщенную угловую скорость обозначают в„, прн этом в„= в„. Тогда обобщенная сила представляет собой момент М, и уравнение (3.1) примет вид Кинетическая энергия Т есть сумма кинетических энергий звеньев механизма, поэтому для плоского механизма можно записать 2 2 У 2 Т= ~.+Х "+ " °,,33, 2 У 2 2 где,У~ — момент инерции первой группы звеньев относительно оси главного вала машины, учитывающий инерционность крнвошипа, ротора двигателя и звеньев редуктора; т, .Уз — масса и момент инерд ции относительно центРа масс У'-го эвена; г~э в— У' У скорость центра масс и угловая скоростьу-го звена.
Выделим в уравнении (3.3) член, не зависящий от угловой скорости главного вала: Здесь отношения скоростей — передаточные функции или аналоги соответствующих скоростей, Рве =Р, (3.11) (3.8) 28 которые зависят лишь от обобщенной координа- ты <р„. Поэтому выражение (3.4) можно переписать в виде Т '(™) 'и (3.5) 2 где,УХР(1Р„) — суммарный приведенный момент инерции всех звеньев механизма: УГ(8.) =У1"" У11'(ф.)' (3.6) ,У "Р = сопз1 — приведенный момент инерции пер- 1 вой группы звеньев;,У1"Р(д,„) = чаг — приведенный момент инерции второй группы звеньев: .Уйе(1Ри) = ,'~ (тучкову +,Увуа~~ ). (3.7) У Здесь ччв и ач, — передаточные функции (аналоги скоростей).
Иногда аналог угловой скорости звена у обозначают как передаточное отношение и;, где 1 — номер звена, с которым связана обобщенная координата. Инерционную характеристику машины .У11Р(<р„), определяемую соотношениями (3.6) и (3.7), называюг приведенным к динамической модели моментом инерции машины, или приведенным моментом инерции. Динамическая модель, обладающая таким моментом инерции, будет иметь кинетическую энергию Т г, равную кинетической энергии всей машины: При этом динамическую модель называют звеном приведения, а равенство (3.8) кинетических энергий — условием приведения масс и моментов инерции.
Составляющая,У"г суммарного приведенного 1 момента инерции определяет инерционно-массовые характеристики тех вращающихся звеньев, которые по отношению к динамической модели имеют постоянные передаточные отношения, например ротор двигателя, либо образуют с ним единое целое, например кривошип.
Другие звенья рычажного механизма характеризует составляющая .У11", изменение которой связано с расположением звеньев в процессе движения, что учитывается входящими в соотношение (3.7) передаточными функциями (аналогами) скоростей. В связи с этим для машин циклового действия приведенные моменты инерции.У ч' 11 и .У"Р являются периодическими функциями угла <р с тем же периодом, что и у аналогов скоростей.
Аналогично приведенному моменту инерции обобщенный силовой параметр М в уравнении (3.2) называют приведенным к динамической модели моментом сил, или приведенным моментам, обозна- чаемым далее М "г. Расчет приведенного момента Х можно проводить исходя из сравнения элементарных работ на возможных перемещениях„однако более удобно сравнивать соответствующие им мощности. Мощность приведенного момента на звене приведения Р г =Мига (3.9) должна быть равна суммарной мощности всех сил, действующих на звенья механизма: Р=,'1",)М (а +,'Г(Р1,((чл(соз(Е~,ч~), (3.10) У где М, а — момент, приложенный к звену у, и его угловая скорость; Ею ч1 — векторы силы, приложенной в точке с индексом к, и скорости этой точки (мощность М а; считают положительной, если направления М и а- совпадают).
Согласно условию приведения, т. е. условию равенства мощностей: после подстановки выражений (3.9) и (3.10) в (3.11) получают М,"~=ЯМУ~ У+~Р, — "', У аи ь ам или М~г — — $М ~а +~Рь ч „. (3.12) Из активных сил в уравнении (3.12) учитывают движущие силы, силы полезною сопротивления и силы тяжести подвижных звеньев. Работа сил сопротивления всегда отрицательна, поскольку эти силы направлены противоположно движению.
Работа сил тяжести в процессе движения может быть как положительной, так и отрицательной, но при этом суммарная работа их за цикл равна нулю. Так как силами трения пренебрегают, то реакции в кинематических парах не совершают работу и, следовательно, не учитываются в расчетах (см. (3.10) и (3.12)). Для цикловых машин приведенный момент сил М"г есть периодическая функция обобщенной Х координаты 18, период которой определяется периодом входящих в уравнение (3.12) функций.
Анализ формул (3.10) и (3.12) показывает, что выражение для приведенного момента можно получить из выражения для мощности всех действующих сил, если в нем скорости всех звеньев заменить передаточными функциями скоростей. Аналогично, на основании формул (3.3), (3.6) и (3.7) заключаем, что выражение для приведенного момента инерции можно получить из выражения удвоенной кинетической энергии машины, если за- '~Е ««Рм ) «Ом' дТ Юм (3.13) «(ю «1ю п««Р Н«О Е= — = — — =0) —, йр,1« йр' МЕ нр л«Е ч П« =«П арнач нр Рве.
3.1 29 менить скорости звеньев их передаточными функциями. Чтобы представить уравнение движения (3.2) в виде, обычно используемом в динамике машин, вычисляют необходимые производные кинетической энергии, записанной в форме (3.5): ~нЕ ««Рм ) Юм~ Юм + ( дт ( „, Ы,"' йр„ ««г до«««««:««р ««« (,пр + упр «М Е О«2 + «пра Е 1 1 м Е м г «рм ат (иР)Е', Подставив эти выражения в уравнение (3.2), мож- но получить аа,пр .Г~ра + "1н Мпр Е м 2 1 Е По форме уравнение (3.13) представляет собой уравнение динамики вращающегося тела с переменным моментом инерции. В него входят только парамег- РЫ ДВИЖЕНИЯ ДИНаМИЧЕСКОй МОДЕЛИ вЂ” «Рм, ОЗ, Вм.
Основываясь на уравнении (3.13), можно сформулировать понятие динамической модели машины. Динамической моделью машины называют простейший механизм, состоящий из одного звена, образующего вращательную пару со стойкой, движение которого тождественно движению начального звена (рис.
3.1). Динамическая модель имеет переменный момент инерции .Упр и вращается под действием момента МпР (см. рис. 3.1, а). Параметры динамической модели — приведенные момент инерции.У"Р Е и момент МепР— определяются условиями приведения (3.11), (3.13).
Иногда динамическую модель строят не в виде вращающегося звена с переменным моментом инерции, а в виде материальной точки переменной массы, зафиксированной на невесомом вращающемся звене на плече 1(см. рис. 3.1, б). В этом случае параметрами модели являются при- ВЕдЕННая МаССа П«пр И ПрИВЕдЕННая СИЛа Гар, КОТО- рые также определяются условиями приведения (3.8), (3.11). В уравнение (3.13) подставляют величи««ы гпР ««МпР гпР = п«пр12 и МпР ««Рпр1 е е ' е е Таким образом, задачу о движении многозвенного механизма машины можно свести к рассмотрению движения условного звена — динамической модели машины. Определив по уравнению (3.13) закон движения динамической модели, а значит, и входного звена рычажного механизма, можно найти законы движения остальных звеньев с помощью функций положения, аналогов скоростей и ускорений, полученных при предварительном кинематическом анализе механизма.
Уравнение (3.13) — нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно переменной «рм аа «р„, так как юм аа ф, а„= «р . Чтобы упростить расчеты, полагают, что звено приведения совпадает с начальным звеном. Поскольку далее кинематический анализ проводят только для динамической модели, индекс «м» опускают либо заменяют номером звена приведения. Левую часть (3.13) можно представить в виде полной производной кинетической энергии по обобщенной координате «р, для чего в уравнение следует подставить угловое ускорение тогда уравнение (3.13) примет вид йр ««««р 2 п««р 2 п««р В случае, когда все действующие силы, а значит, согласно (3.12) и приведенный момент МпР, зависят только от положения механизма (от обобщенной координаты «р), в уравнении (3.14) можно разделить переменные: 2 «4' —" амМЕ"'®ах (3Л5) Интегрируя выражение (3.15) в интервале значений угла поворота динамической модели от начального положения «р„„до текущего «р и обозначая суммарную работу ар Ае — — ) М" Рп««р, (3.16) получают уравнение, определяющее зависимость угловой скорости О«модели от угла поворота «р: 2 2 Т(р) — -4Р(ф...) — "'" =А (ф) (317) где .У"~(<рпп„) и аппп — приведенный момент инерции и угловая скорость динамической модели в начальном положении; Ах — суммарная работа всех действующих в машине внешних сил в интервале значений от увп,„до <р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
