Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990 (1000004), страница 38
Текст из файла (страница 38)
РХ8. К определению устойчивости автокабелей в нелииейпой системе +/ б! Рис. ийз, К определевию параметров автокабелей а системах с адноаиачимми иелииейимми характеристиками В"л()со) и равна сохо На рис. 12.8, б дан пример расположения годографов для случая, когда автоколебания в нелинейной системе отсутствуют. На рис. 12.9, а, б изображены годографы нелинейных характеристик звеньев„которые часто встречаются при исследовании нелинейных систем РЛ. Из зтих характеристик следует, что в нелинейных системах, частотные 248 характеристики линейных частей которых не имеют точек пересечения с участием действительной оси от — 1 до — со, автоколебания отсутствуют, т. е.
когда выполняется условие устойчивости линейной системы, получаемой из нелинейной путем замены нелинейного звена линейным. й НЬЗ, СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛ ИНЕИНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Для оценки статистических характеристик нелинейных систем РА можно использовать метод статистической линеаризацни, основанный на замене нелинейной характеристики линейной, которая в известном смысле статистически равноценна исходной нелинейной характеристике. Для приближенной оценки, когда оперируют моментами первого и второго порядка (математическим ожиданием и дисперсией), можно считать статистически равноценными характеристики, имеющие равные значения этих моментов при заданном законе распределения входного сигнала.
Заменим нелинейную зависимость у=р(х) линейной характеристикой г=йх, (12.15) которая имеет такие же математические ожидания н дис- персию, какие имеются на выходе нелинейного звена с характеристикой у=г" (х). С этой целью представим (12.15) в виде з = "олг»+ "пх О где х — центрнрованная случайная функция.
Выберем коэффициенты йе и йц такими, чтобы т, = йегп» = и; о' = й' а'; = от, (12,16) (12.1?) причем знак йм должен совпадать со знаком произволной нелинейной характеристики г'(х) . Величины йе и йц называют коэффициентами статистической линеаризации. Для их вычисления нужно знать математическое ожидание и дисперсию сигнала на выхо- где т», т„, п4 — математические ожидания сигналов; а~, а~~, аз,— дисперсии сигналов. Из выражений (! 2.16) следует, что статистическая равноценность имеет место, если йе = т„?гп„, /гц — — + о„Ъ„ де нелинейного звена: (12,18) 2А п1~ — 2т,т„= О; 2йм и'„- — 2М [ху) = О.
Следовательно, в этом случае коэффициенты статистической лииеаризации вычисляют по формулам о я, т„lи„; Ам= " = —, ~ (х — и„)г(х)в(х)бх. п~ пэ Х Х рр (12,19) Таким образом, статистическая линеарнзация из условия минимума дисперсии ошибки дает то же значение коэффициента А„которое было найдено при первом способе линеарнзации; коэффициент линеаризации относительно случайной составляющей Ам имеет другое значение, Рекомендуется брать их среднее арифметическое значение: й1= (йп+йм)/2. Обратим внимание, что коэффициенты статистической линеаризации зависят от математического ожидания 250 т„= ) )с (х) в (х) с$х; и'-„= ) Р'(х) в(х) с(х, где в (х) — плотность вероятности распределения слу- чайного сигнала на входе нелинейного звена.
Рассмотренный метод статистической линеаризации не всегда является наилучшим, поэтому целесообразно статистическую линеаризацию выполнить из условия наилучшего приближения корреляционной функции сиг- нала на выходе нелинейного звена к корреляционной функции на выходе линейного звена.
С этой целью опре- делим коэффициенты статистической линеаризации с уче- том того, чтобы дисперсия отклонения сигнала на выходе нелинейного звена, определяемая выражением М 1(г — у)'1 = Ааэ и'„+ йм о'„' — 2йа т„т„— 2йм М (ху! + + М (уЧ, была минимальной. Приравняв нулю производные от по. следнего выражения по Фз н йм, запишем уравнения и дисперсии сигнала на входе нелинейного звена (в этом заключается существенное отличие статистической линеаризации от обычной).
Коэффициенты статистической линеаризации, как следует из выражений (12.17) — (12.19), зависят не только от характеристик нелинейного звена, но и от закона распределения сигнала на его входе. Во многих практических случаях закон распределения этой случайной величины может быть принят гауссовским. Это объясняется тем, что нелинейные звенья в системах РА соединяются последовательно с линейными инерционными элементами, законы распределения выходных сигналов которых близки к гауссовским при любых законах распределения их входных сигналов. Чем более инерционна система, тем ближе закон распределения сигнала на выходе к гауссовскому, т.
е. инерционные устройства системы приводят к восстановлению гауссовского распределения, нарушаемого нелинейными звеньями. Кроме того, изменение закона распределения в широких пределах мало влияет на коэффициенты статистической линеаризации. Поэтому полагают, что сигналы на входе нелинейных звеньев распределены по гауссовскому закону. При этом коэффициенты йо и й~ зависят только от математического ожидания и дисперсии сигнала на входе нелинейного звена, поэтому для типовых нелинейных характеристик коэффициенты й, н й, могут быть заранее вычислены, что существенно упрощает расчеты систем методом статистической линеаризации.
Пример 12.1. Определить козффипиенты статистической линеари. задпи для дискриминатора с синусоидальиой характеристикой р= =А Мп ох. Решение. В соответствии с выражениями (12.17) и (12.19) з = й т = Аз)пот ехр — р~ оз/2); / о х х С х йзт = — ~ — (1 — сок атх ехр ( — а о„'/2))— А Г 1 з ? ох ) 2 (12.20) й,, = Ап ехр ( — а от/2) соз от На рнс, 12.10, а, б изображены зависимости, вычисленные по формулам (12.20) для А=5, а=о,з!4, нз которых видно, что увеличение дисперсян входного сигнала о„приводит к уменьшению кот зффипиептов статистической линеаризапии; при большом уровае помех их значения близки к нулю.
251 Зависимости (12.20) приближенно справедливы и для дискри. минатора с характеристикой Аяп х при — и~<ах~(ж; О при ( ах ( ) зт. Выражение (12.2!) часто используется для аппроксимации дискриминационных харантеристик при анализе систем автоматического сопровождения вели РЛС и систем автоподстройни частоты. (12.21) лв 2 райх 0 ад Еу 46 гя» Рис. 12.10. К определению коэффициентов статистнчссной линеари- вации $12.6.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКОИ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ДЛЯ АНАЛИЗА СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ И СРЫВА СЛЕЖЕНИЯ Возможность замены характеристик нелинейных звеньев линейными зависимостями позволяет при анализе нелинейных систем использовать методы, разработанные для линейных систем РА, Применим метод статистической линеаризации для анализа стационарных режимов в системе РА (рис.
12.11). Нелинейным устройством является дискриминатор с характеристикой г"(е), где е— сигнал ошибки системы. Задача анализа заключается в оценке влияния характеристик дискриминатора на точность системы и определении условий, при которых нарушается нормальная работа системы и происходит срыв слежения. При анализе точности работы системы относительно неслучайной составляющей сигнала гр(1) нелинейный элемент г(е) в соответствии с методом статистической линеаризации заменяется линейным звеном с коэффици-, 252 ситом передачи лс. По формуле (6.!3) найдем математическое ожидание сигнала ошибки: лт = !йп)тат (р)<р(р) а о 1 где ну,(р) = — передаточная функция 1 + Фо (лте ое) йт (Р) ошибки системы. (!2.22) Рис.
12.11. Структурная схема нелиней- ной системы РА 253 Отметим, что математическое ожидание сигнала ошибки (12.22) имеет конечное значение, если степень медленно изменяющего сигнала !р(1) не превышает порядка астатнзма системы. При анализе системы относительно случайной составляющей п(1) (помехи) нелинейный элемент заменяется линейным звеном с коэффициентом передачи йь При этом выражение для дисперсии сигнала ошибки в соответствии с (6.20) принимает вид г ! 1 Г 1 1 Н ~ 5 (ю)йо, (!2.23) 2н,~ ~ 1+ Ф, (те ае) йт (р) ~ — чч где Я (ю) — спектральная плотность помехи.
Для определения гп, и о, необходимо решить систему алгебраических уравнений (!2.22) и (!2.23). Для этого можно использовать метод приближенных вычислений, в соответствии с которым при каких-либо значениях т, и о,' находятся коэффициенты статистической линеаризацин йе и Фь после чего по формулам (!2.22) и ()2.23) вычисляются значения пт, и а и т. д. до тех пор, пока не совпадут два последовательных приближения. Уравнения (!2.22) и ((2.23) могут быть решены и графически. Проиллюстрируем это на конкретном примере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
